光的分支流現象散開角度的研究

摘要：光支流現象是激光在肥皂膜介質中傳播而產生的一種特殊的光散射現象． 肥皂膜作為可以產生光支流現象的介質未來有望成為新型實驗平臺，因此，研究光支流現象與肥皂膜之間的關系具有重要的科學意義． 系統研究不同條件下的光支流散開角度的統計分布規律，結果表明光支流的散開角度呈高斯分布．實驗中，通過改變激光入射角度，發現光支流的形態和散開角度與液膜的厚度分布、變化幅度的大小等因素有關． 此外，光支流的散開角度還與皂液中蔗糖質量濃度成正相關． 該研究結果將為光支流現象在醫學診斷、液膜檢測等方面的應用提供了更多可能性．

關鍵詞：光支流；散開角度；高斯分布；影響因素

中圖分類號：Ｏ４３６． ２ 文獻標志碼：Ａ 文章編號：１００１-８３９５（２０２４）０３-０３５９-０６

ｄｏｉ：１０． ３９６９ ／ ｊ． ｉｓｓｎ． １００１-８３９５． ２０２４． ０３． ００７

分支流現象是無序系統存在的一種波動結果， 普遍存在于自然界不同波長的波中 ［１］． 研究人員最早在二維電子氣 ［２-７］和微波空洞 ［８-９］中觀察到了電子分支流和微波分支流，隨后又在聲波、水波、電磁波等中觀察到了類似的現象 ［１０-１４］． 最近，光學中的分支流現象也引起了人們的廣泛關注． 當激光在肥皂薄膜介質中傳播時，因薄膜厚度的局部隨機變化而使光波傳播方向發生偏轉，聚焦成細絲，然后持續分叉，形成樹枝一樣的美麗圖案，這就是光的分支流現象． ２０２０ 年，以色列理工學院 Ｓｅｇｅｖ 等 ［１５］首次觀測到肥皂膜中的光支流現象，并討論了光支流現象的產生原理和第一分叉點． ２０２２ 年，Ｓｅｇｅｖ 團隊 ［１６］又在其他類型的光支流現象上取得新進展， 在實驗中首次觀測到空間非相干光的分支流現象．Ｈｕａｎｇ 等 ［１７］在深入研究了光支流現象的產生原理后，首次提出用準粒子的概念來理解光支流現象， 并結合幾何光學理論建立了模擬光的分支流流動的模型． 在此基礎上，科研人員分析了光支流現象的斷層特性，證明了激光細絲的末端光強迅速降低是因為此處的液膜厚度迅速變薄的原因 ［１８］． 在探究光支流現象的影響因素上，曾建華等 ［１９］首次在實驗中探究了肥皂膜的形貌大小、光源波長、光源強度對光支流現象明顯程度的影響． 而后，陳卓等 ［１］探究了光源波長、光源入射角度、肥皂液的濃度、肥皂泡的厚度、肥皂泡的半徑對光支流現象明顯程度的影響，并得出了肥皂液濃度并不是影響光的分支流現象主要因素的結論．

光支流現象的相關研究不僅有助于理解、研究和探索其他類型的支流現象，同時在光流體學、基礎生物學和醫學檢驗方面具有重要意義． 目前研究人員們對光支流現象的產生原理已經有了科學的認識，但是對于光支流現象影響因素的研究還只停留在初級階段，實驗中通常使用的是水平放置的半球形肥皂膜，雖然可以產生明顯的光支流現象，但是由于液膜受外界因素的影響很大，需要十分精確的控制每次實驗的皂液用量和肥皂泡各個位置的弧度，不利于重復實驗． 本研究以豎直放置的圓形平面皂液膜作為激光的傳播介質獲得光支流現象， 該豎直放置的平面液膜有著明顯的、特殊的厚度變化特征． 基于此，研究了光支流散開角度的分布特征，以及激光從不同方向入射和皂液中蔗糖質量濃度對光支流形態和散開角度的影響． 該研究結果為利用與開發光支流提供了參考依據．

１ 實驗部分

１． １ 光支流現象的產生原理 光具有波粒二象性，理論上當一種介質具有無序的勢函數并且其關聯長度大于光波的波長時，在該介質中傳播的光波就可以表現出光的分支流 ［１］． 肥皂膜就具有這樣的特性，從微觀上看，激光入射的介質是肥皂膜兩層表面活性劑分子之間的一層非常薄的液體膜，在微小擾動下液膜的厚度通常在 ５ ｎｍ ～ １０ μｍ 之間波動，這樣微小的厚度變化難以直接觀察． 而通過薄膜干涉現象則可間接觀察到光支流現象． 通過對比光支流的形態和薄膜干涉圖樣，可以發現激光細絲的分叉和彎曲與液膜的厚度變化有明顯關系． 而液膜厚度對光支流現象的影響是間接的，由于薄膜的折射率隨厚度變化而變化，當液膜厚度的波動在１ ～ ２ 個波長范圍內時，折射率的改變就相當顯著， 可導致光的偏轉，從而產生光支流現象 ［１５］． 因此， 影響光支流形態的直接因素實際上是液膜的折射率，同時液膜的厚度和皂液的折射率都會對實驗結果產生一定的影響．

１． ２ 實驗儀器 肥皂膜是激光的傳播介質，理論上只要它的厚度波動在一定范圍內，就能產生光支流現象，同時與肥皂膜的形狀、弧度、大小和液膜平面與水平面所成的角度等因素無關 ［１９］． 采用自主搭建的光支流實驗分析系統（圖 １），直徑為１０ ｃｍ的透明亞克力圓環被豎直固定在頂部，圓環的上方與右方分別固定有波長為 ５２０ ｎｍ 的激光光源，圓環下方垂直放置盛有皂液的器皿，將該器皿自動上升即可使圓環獲得均勻的肥皂液薄膜． 該實驗系統以豎直放置的圓形平面液膜作為激光的傳播介質， 因此可在相同條件下最大程度減小因皂液量不同或皂液分布不均勻而造成的液膜厚度變化不同． 基于此光支流實驗系統，可獲得穩定、持久、明顯的光支流現象，并可進一步探究激光入射方向、皂液中蔗糖質量濃度等因素對光支流散開角度的影響．

２ 結果與討論

２． １ 光支流的散開角度 光支流現象是一種隨機的物理現象 ［２０］，其散開角度會隨時間不斷地產生變化，且變化的速度較快、幅度較大，所以用簡單求取平均值的方法來測量光支流的散開角度不夠準確． 為此，首先研究光支流散開角度的分布規律，為后續研究光支流散開角度的影響因素提供實驗基礎． 將激光光束入射角度與水平方向約 ０． ０２°入射至皂液薄膜，該皂液中的蔗糖質量濃度為 ０％ ． 在相同實驗條件下反復實驗，提取出 ２ ～ ５ ｓ 薄膜狀態較為穩定的實驗視頻并將其導出為每秒 ３０ 幀，通過Ｆｉｊｉ 軟件測量每幀圖片的光支流散開角度，可以精確到小數點后兩位． 發現光支流的形態和散開角度并不會保持一致，結果如圖 ２ 所示，圖中橫坐標為實驗次數，縱坐標為光支流的散開角度． 由該結果可知，光支流的散開角度主要分布在約 １７° ～ ２５°， 另有少量光支流散開角度為大于 ２５°或小于 １７°． 圖３ 為光支流散開角度的高斯擬合結果，其高斯曲線的擬合度 Ｒ２ 為 ０． ９９８ １１，光支流散開角度的期望值 μ 為２２． ３３，證明光支流的散開角度符合高斯分布． 因此，在接下來的實驗中將采用散開角度的期望值作為光支流的散開角度進行研究．

２． ２ 皂液薄膜大小對光支流散開角度的影響 理論上在產生光支流現象的前提下，液膜面積越大， 它受到的微小擾動就會越多，受到液膜的表面張力的影響也會越大，所以為了讓實驗現象更明顯，將盡量選擇更大的圓環來進行實驗． 這里選擇了直徑為 １０ 和 ５ ｃｍ 兩種型號的圓環來獲得不同大小的皂液薄膜，并蘸取相同蔗糖質量濃度為 ２０％ 的皂液來進行對比． 兩種尺寸的的圓環產生的光支流如圖４ 所示，它們的面積和散開角度分別是 ２５ ｃｍ２、３３．００°和 ７． ５ｃｍ２、２９． １３°． 圖 ５ 結果表明皂液薄膜越大，光支流的散開角度越大． 由于在實驗中薄膜直徑大于 １０ ｃｍ 時極易破裂，后續的實驗中都將采用直徑為 １０ ｃｍ 的皂液薄膜．

２． ３ 激光入射方向對光支流散開角度的影響 為了研究激光入射方向對光支流散開角度的影響，分別將激光從水平方向、傾斜 ４５°方向和豎直方向入射至肥皂膜并進行比較，這里所采用的肥皂膜為蔗糖質量分數 ２０％ 的皂液． 發現，當激光水平方向入射時，光支流呈現出開口斜向下的喇叭形，激光豎直方向入射時光支流則呈現出左右對稱的喇叭形， 而斜入射時其形態介于兩者之間，結果如圖 ６ 所示． 這是由于豎直放置的皂液薄膜厚度為上薄下厚，因此可以將其看作劈尖，當激光垂直照射在膜表面時會觀察到水平的干涉條紋． 由于在此范圍內液膜的折射率隨厚度的增大而增大 ［１］，因而皂液薄膜的折射率也會沿豎直方向（法線方向）連續變化，可認為它是由許多折射率遞增的薄層所組成，當薄層的厚度趨于零、層數趨于無限多時就過渡到連續變化，在每個交界面上，光線滿足折射定律

ｎ １ ｓｉｎ θ １ ＝ ｎ ２ ｓｉｎ θ ２ ＝ ｎ ３ ｓｉｎ θ ３ ＝ …… （１）

所以，當激光水平入射時，光線與法線的夾角從上到下依次遞減，更多的光線會向下散開，呈開口斜向下的喇叭形． 而當激光豎直方向入射時，由于液膜在微小擾動下，薄膜厚度會發生局部隨機變化， 同時由于邊緣效應等因素，液膜的厚度變化幾乎可以看作是左右對稱的，并且中間薄兩邊厚，因此豎直方向的光支流呈現開口朝正下方的喇叭形． 圖 ７為激光沿不同方向傳播的示意圖． 進一步，在相同實驗條件以及實驗環境下大量重復該實驗，發現激光水平方向入射得到的光支流的散開角度為 ３３°， 激光傾斜 ４５°方向入射得到的光支流散開角度為２４． ０２°，而豎直方向入射時光支流的散開角度期望值為 １５． １５°，如圖 ８ 所示． 由此證明水平方向入射的光支流的散開角度分布范圍（１２° ～ ５５°）比豎直入射時散開角度的分布范圍（０° ～ ３５°）更廣． 這是由于豎直方向上除了空氣中的微小擾動外，液膜受重力的影響更大，所以豎直方向上的液膜厚度變化遠大于水平方向，故而呈現出這樣的結果．

２． ４ 皂液蔗糖質量分數對光支流散開角度的影響由于產生光支流現象的介質實際上并不是皂液薄膜，而是皂液薄膜兩層表面活性劑分子之間的液膜 ［１５］，因此改變皂液中表面活性劑的比例并不能明顯改變液膜濃度，而改變中間水膜的濃度則會影響光支流的散開角度． 基于此，制取了蔗糖質量分數不同的皂液薄膜，并研究皂液中蔗糖質量分數對光支流散開角度的影響規律． 圖 ９ 為蔗糖質量分數由 ０％ 不斷增加至 ３５％ 所觀察到的光支流現象，可以發現隨著蔗糖質量分數的不斷增加光支流的形態保持一致，但是散開角度在不斷增大，并且散開角度的變化率越來越小． 這是由于在皂液中添加蔗糖會改變中間液膜的折射率，在常溫下蔗糖溶液的折射率與蔗糖質量分數成正比 ［２１］． 進一步分析圖 ９中不同蔗糖質量分數的皂液對應的光支流散開角度（圖 １０），皂液中的蔗糖質量分數由 ０％ 上升至５％ ，散開角度變化曲線的斜率約為 １． ４０５，散開角度隨蔗糖質量分數的增加迅速增加，而蔗糖質量分數在 ５％ ～ ３５％ 范圍內，散開角度變化斜率約為０． ２４３，散開角度隨蔗糖質量分數的增加緩慢增加．這可能是由于蔗糖質量分數除了改變了皂液的折射率，還同時改變了液體的黏度，因而使液膜表面張力和液膜的厚度變化的幅度不一致． 上述結果表明，光支流現象的散開角度會隨皂液中蔗糖質量分數的增大而增大，且變化的速度先快后慢． 與陳卓等 ［１］得出的肥皂液濃度并不是影響光的分支流現象的主要因素的結論相反，是因為他們在實驗中通過改變洗潔精的濃度來改變皂液濃度實質上并不影響液膜的濃度，所以要改變肥皂液的濃度只能添加水溶性物質．

３ 結論

本文以豎直放置的平面液膜作為激光的傳播介質，對光支流現象的散開角度分布規律和影響因素進行了一系列研究． 由于樣本足夠多時，光支流的散開角度符合高斯分布，因而在研究中散開角度的期望值可作為光支流的散開角度． 結果發現光支流的散開角度不僅會受到液膜厚度變化幅度的影響，還會受到皂液薄膜面積的影響，薄膜直徑越大光支流的散開角度越大． 而不同方向的入射激光獲得的光支流散開角度的分布也有所不同，垂直于激光入射的方向上液膜厚度變化的幅度越大，光支流的散開角度就會越大，并且光支流的形態與該方向上的液膜厚度變化的特征有關． 此外，光支流的散開角度還會受到溶液濃度的影響，當液膜中的蔗糖質量分數升高時，光支流的散開角度會隨之逐漸變大，且其變化速度呈現出先快后慢的趨勢． 皂液薄膜的厚度變化和皂液的濃度是影響光支流的散開角度的主要因素，此外還有其他一些因素同樣也會影響光支流的散開角度，例如激光光強、入射角度、 皂液薄膜中不溶解顆粒的數量等． 光支流現象并不是一種完全隨機，無法參考的物理現象，它的形態會受到諸多因素的影響并且呈現出一定的規律性， 光支流現象的研究將為醫學診斷和液膜檢測等方面的應用提供更多的可能．

致謝 松 山 湖 材 料 實 驗 室 開 放 課 題（２０２２ＳＬＡＢＦＮ２５）對本文給予了資助，謹致謝意．

參考文獻

［１］陳卓，李鴻英． 光的分支流現象影響因素研究［Ｊ］． 長春師范大學學報，２０２２，４１（２）：１８８-１９１．

［２］ＴＯＰＩＮＫＡ Ｍ Ａ，ＬＥＲＯＹ Ｂ Ｊ，ＷＥＳＴＥＲＶＥＬＴ Ｒ Ｍ，ｅｔ ａｌ． Ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｆｌｏｗ ｉｎ ａ ｔｗｏ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｇａｓ［Ｊ］． Ｎａｔｕｒｅ， ２００１，４１０（６８２５）：１８３-１８６．

［３］ＳＨＡＷ Ｓ Ｅ Ｊ． Ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｉｎ ｓｍｏｏｔｈ ｒａｎｄｏｍ ｐｏｔｅｎｔｉａｌｓ［Ｄ］． Ｂｏｓｔｏｎ：Ｈａｒｖａｒｄ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００２．

［４］ＡＩＤＡＬＡ Ｋ Ｅ，ＰＡＲＲＯＴＴ Ｒ Ｅ，ＫＲＡＭＥＲ Ｔ，ｅｔ ａｌ． Ｉｍａｇｉｎｇ ｍａｇｎｅｔｉｃ ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｏｆ ｃｏｈｅｒｅｎｔ ｅｌｅｃｔｒｏｎ ｗａｖｅｓ［Ｊ］． Ｎａｔｕｒｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ， ２００７，３（７）：４６４-４６８．

［５］ＪＵＲＡ Ｍ Ｐ，ＴＯＰＩＮＫＡ Ｍ Ａ，ＵＲＢＡＮ Ｌ，ｅｔ ａｌ． Ｕｎｅｘｐｅｃｔｅｄ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｆｌｏｗ ｔｈｒｏｕｇｈ ｈｉｇｈ-ｍｏｂｉｌｉｔｙ ｔｗｏ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｅｌｅｃ-ｔｒｏｎ ｇａｓｅｓ［Ｊ］． Ｎａｔｕｒｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２００７，３（１２）：８４１-８４５．

［６］ＭＡＲＹＥＮＫＯ Ｄ，ＯＳＰＡＬＤ Ｆ，ＫＬＩＴＺＩＮＧ Ｋ，ｅｔ ａｌ． Ｈｏｗ ｂｒａｎｃｈｉｎｇ ｃａｎ ｃｈａｎｇｅ ｔｈｅ ｃｏｎｄｕｃｔａｎｃｅ ｏｆ ｂａｌｌｉｓｔｉｃ ｓｅｍｉｃｏｎｄｕｃｔｏｒ ｄｅｖｉｃｅｓ［Ｊ］．Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｂ，２０１２，８５（１９）：１９５３２９．

［７］ ＬＩＵ Ｂ，ＨＥＬＬＥＲ Ｅ Ｊ． Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｆｌｏｗ ｆｒｏｍ ａ ｑｕａｎｔｕｍ ｐｏｉｎｔ ｃｏｎｔａｃｔ ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１３， １１１（２３）：２３６８０４．

［８］Ｈ？ＨＭＡＮＮ Ｒ，ＫＵＨＬ Ｕ，ＳＴ？ＣＫＭＡＮＮ Ｈ Ｊ，ｅｔ ａｌ． Ｆｒｅａｋ ｗａｖｅｓ ｉｎ ｔｈｅ ｌｉｎｅａｒ ｒｅｇｉｍｅ：ａ ｍｉｃｒｏｗａｖｅ ｓｔｕｄｙ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａｌ ＲｅｖｉｅｗＬｅｔｔｅｒｓ，２０１０，１０４（９）：０９３９０１．

［９］ＢＡＲＫＨＯＦＥＮ Ｓ，ＭＥＴＺＧＥＲ Ｊ Ｊ，ＦＬＥＩＳＣＨＭＡＮＮ Ｒ，ｅｔ ａｌ． Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ ｌｅｎｇｔｈ ｓｃａｌｅ ｏｆ ｗａｖｅｓ ｉｎｒａｎｄｏｍ ｍｅｄｉａ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１３，１１１（１８）：１８３９０２．

［１０］ＷＯＬＦＳＯＮ Ｍ Ａ，ＴＯＭＳＯＶＩＣ Ｓ． Ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｌｏｎｇ-ｒａｎｇｅ ｓｏｕｎｄ ｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈ ａ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｄ ｏｃｅａｎ［Ｊ］． Ｔｈｅ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆｔｈｅ Ａｃｏｕｓｔｉｃａｌ Ｓｏｃｉｅｔｙ ｏｆ Ａｍｅｒｉｃａ，２００１，１０９（６）：２６９３-２７０３．

［１１］ＭＡＴＴＨＥＡＫＩＳ Ｍ，ＴＳＩＲＯＮＩＳ Ｇ Ｐ，ＫＡＸＩＲＡＳ Ｅ． Ｅｍｅｒｇｅｎｃｅ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃａｌ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ｓｔｏｃｈａｓｔｉｃ ｂｒａｎｃｈｉｎｇ ｉｎ ｔｈｅ ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃｆｌｏｗｓ ｏｆ ｄｉｓｏｒｄｅｒｅｄ Ｄｉｒａｃ ｓｏｌｉｄｓ［Ｊ］． Ｅｕｒｏｐｈｙｓｉｃｓ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０１８，１２２（２）：２７００３．

［１２］ＨＥＬＬＥＲ Ｅ Ｊ，ＫＡＰＬＡＮ Ｌ，ＤＡＨＬＥＮ Ａ． Ｒｅｆｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ ａ Ｇａｕｓｓｉａｎ ｓｅａｗａｙ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｅｏｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｓｅａｒｃｈ：Ｏｃｅａｎｓ，２００８， １１３（Ｃ９）：２３．

［１３］ＹＩＮＧ Ｌ Ｈ，ＺＨＵＡＮＧ Ｚ，ＨＥＬＬＥＲ Ｅ Ｊ，ｅｔ ａｌ． Ｌｉｎｅａｒ ａｎｄ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｒｏｇｕｅ ｗａｖｅ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ ｉｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｃｅ ｏｆ ｒａｎｄｏｍ ｃｕｒｒｅｎｔｓ［Ｊ］．Ｎｏｎｌｉｎｅａｒｉｔｙ，２０１１，２４（１１）：Ｒ６７-Ｒ８７．

［１４］ＤＥＧＵＥＬＤＲＥ Ｈ，ＭＥＴＺＧＥＲ Ｊ Ｊ，ＧＥＩＳＥＬ Ｔ，ｅｔ ａｌ． Ｒａｎｄｏｍ ｆｏｃｕｓｉｎｇ ｏｆ Ｔｓｕｎａｍｉ ｗａｖｅｓ［Ｊ］． Ｎａｔｕｒｅ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０１６， １２（３）：２５９-２６２．

［１５］ＰＡＴＳＹＫ Ａ，ＳＩＶＡＮ Ｕ，ＳＥＧＥＶ Ｍ，ｅｔ ａｌ． Ｏｂｓｅｒｖａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｆｌｏｗ ｏｆ ｌｉｇｈｔ［Ｊ］． Ｎａｔｕｒｅ，２０２０，５８３（７８１４）：６０-６５．

［１６］ＰＡＴＳＹＫ Ａ，ＳＨＡＲＡＢＩ Ｙ，ＳＩＶＡＮ Ｕ，ｅｔ ａｌ． Ｉｎｃｏｈｅｒｅｎｔ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｆｌｏｗ ｏｆ ｌｉｇｈｔ［Ｊ］． Ｐｈｙｓｉｃａｌ Ｒｅｖｉｅｗ，２０２２，Ｘ１２（２）：０２１００７．

［１７］ＨＵＡＮＧ Ｃ Ｆ． Ａ ｎｅｗ ｍｏｄｅｌ ｆｏｒ ｅｘｐｌａｎａｔｉｏｎ ａｎｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｂｒａｎｃｈｅｄ ｆｌｏｗ ｏｆ ｌｉｇｈｔ［Ｊ］． Ａｐｐｌｉｅｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，２０２１，Ｂ１２７（４）：５８．

［１８］項姿睿，孫寶印，廖艷華，等． 光學分支流實驗的設計與研究［Ｊ］． 科技風，２０２１（２９）：１-３．

［１９］曾建華，胡舒琦，曾文強，等． 光分支流現象影響因素的實驗初探［Ｊ］． 上饒師范學院學報，２０２１，４１（３）：１９-２４．

［２０］楊曉虎，李麗輝． 隨機過程一般方法理論［Ｃ］／ ／第 １０ 屆中國不確定系統年會、第 １４ 屆中國青年信息與管理學者大會論文集． 銀川：不確定系統協會，２０１２：８６-９１．

［２１］許飛，朱江轉，高云靜，等． 蔗糖溶液折射率與濃度關系的理論和實驗探究［Ｊ］． 大學物理，２０２０，３９（１）：４５-４７．

（編輯 周 俊）