數學學具開發與應用：促進學生深度學習

馮征

［摘 ?要］ 學具開發與應用是學生數學學習的重要組成。在小學數學教學中，教師要引導學生開發趣味性學具、模型性學具、齊整性學具等，學具開發與應用能為學生的數學學習導航、助力、蓄能。學具開發為學生的數學學習打開了一扇門，能促進學生的深度學習。

［關鍵詞］ 小學數學；學具開發；學具應用；深度學習

學具是學生數學學習的重要載體、媒介，對于提升學生數學學習效能具有重要的意義和價值。學具的不足、不到位會導致學生數學學習的膚淺，教師必須重視學具的引進、開發和使用。學具開發、使用能促進學生數學“深度學習”，學具不僅是學生的學習輔助手段，更是學生數學學習的重要組成。學具的開發彰顯著學生的本質力量，體現著學生的生命實踐智慧。傳統的數學教學往往不注重學生的學具開發，而僅僅是讓學生將現成的學具拿來使用。這種對學具的教學態度，遮蔽了學具的智力開發功能，導致學生在使用學具的過程中對其內在原理一無所知。開發學具不僅能讓學生理解數學知識，還能激發學生的數學思維，引發學生深度探究數學知識。

一、開發趣味性學具，讓學具為學生學習導航

開發小學數學學具能激發學生的數學學習興趣，能調動學生的數學學習積極性。趣味性的學具指學具不僅“有意義”，而且“有意思”，使其成為激發學生數學學習興趣、調動學生數學學習積極性的重要載體。好的學具能為學生的數學學習導航，數學學具是學生數學學習的“導航儀”“方向盤”“發動機”；好的學具往往既具有趣味性，又富含知識性，能助推學生深度思考與探究。

比如教學“觀察物體”時，筆者開發了一種新穎的、獨特的學具——“貼滿雙面膠的硬紙板”（貼貼板）。這樣一種簡單的操作便捷的學具，能激發學生的數學學習興趣，為學生的數學學習導航?！百N貼板”是學生學習的媒介、載體，讓學生能有效地、快捷地將從正面、側面、上面看到的形狀呈現出來，便于學生互動與交流，學生可以迅速地擺放出“從正面看到的形狀”“從上面看到的形狀”“從側面（左面、右面）看到的形狀”等。當筆者呈現出由小正方體方塊組合成的組合形體時，學生會在頭腦中迅速將所觀察到的三視圖借助“貼貼板”展示出來。這樣的學具不僅具有實用性，而且具有靈活性。學生在學習中反復操作，在反復操作中深化對立體圖形的“三視圖”的認知、把握。這樣的“玩中學”“學中玩”的學具應用能有效提升學生的數學學習效能。借助這樣的學具，學生的數學學習興趣盎然。

趣味性的學具不僅是學生數學學習的點綴，更是學生數學學習的助推器，是學生數學學習的動力引擎。教師要充分發揮趣味性學具的導學功能，彰顯趣味性學具的導學價值，讓趣味性學具發揮應用的功能、功效。開發、應用趣味性學具，要求教師在教學中潛心研究數學知識，研究學生數學學習的具體學情，將教學目標、要求、內容等寓于趣味性學具之中。

二、開發模型性學具，讓學具為學生學習助力

學生數學學習的過程就是對數學知識進行自主建構、創造的過程。在小學數學教學中，教師要引導學生開發模型性學具，比如引導學生制作“厘米尺”“量角器”“時間尺”“天平”等。開發模型性學具關鍵是要引導學生充分經歷模型建構的過程。模型性學具的開發、創造能發展學生的高階思維，促進學生對數學知識的深度理解。在學具開發過程中，教師要引導學生不斷修正學具、改進學具、完善學具，讓學具真正成為學生數學學習的“利器”。

以“量角器”的學具建構、創造為例，在教學“角的度量”時，教師借助問題不斷引發學生的認知沖突。從“兩個角的大小比較”引入“參照角的確立、1°小角的建立”；從“用1°小角去測量角的大小”到“將若干個1°小角連接起來，建構一個量角器的雛形”；從“讀數的方便”的內在心理需求到“給量角器標注刻度”的實踐；從“量角器的擺放”到“給量角器兩圈刻度”等。在實踐的過程中，有的學生感覺單刻度讀數比較方便，于是設計了單刻度的量角器；有的學生感覺兩重刻度操作比較方便，因而設計了雙刻度的量角器。當學生自主建構、創造了“量角器雛形”之后，不僅對“角的度量”的本質、對“量角器”的本質有了深刻的理解和把握，能自主地、自然地用自己研發的“量角器雛形”去測量角的大小，而且對“測量”“測量工具”的本質有了相應的理解和把握。這樣的模型性學具的開發，對學生的數學學習遷移、應用具有重要的意義和作用。

學者李政道說：“自己做的儀器永遠比買來的好?！毖邪l模型性學具的過程，從本質上說就是引導學生復演數學知識誕生的歷程。教師要引導學生因需造材、因序改材、因用創材。通過對學具的創造性開發，助推學生更好地進行數學思考、探究。在這個過程中，教師要賦予學生充分的時空、權利，引導學生大膽地猜想、嘗試、探究，鼓勵學生積極地實踐。模型性的學具應當成為學生本質力量的感性顯現，成為學生生命實踐活動的智慧結晶。在小學數學教學中，教師應當引導學生積極開發模型性學具，并樂在其中。

三、開發齊整性學具，讓學具為學生學習蓄能

齊整性學具是能集中反映數學知識本質的學具。齊整性學具“負作用小”“干擾性弱”，有利于學生數學學習的“正遷移”。在數學學習中，學生常用的小棒、小圓片、小方塊、釘子板、幾何模型等是具有齊整性特質的學具。在數學教學中，教師要引導學生開發齊整性學具，讓齊整性學具為學生的數學學習助力、助能。學具的有效開發、巧妙使用，能促進學生的認知、思維等的進階，能促進學生數學學習力的提升，促進學生數學核心素養的生成。

比如教學“長方體和正方體的認識”時，筆者引導學生借助結構化素材，制作齊整性學具。學生以小組為單位開展群體性的研討、協商，通過開發齊整性學具促成學生的數學學習感悟。比如，“面與面相交的線叫作棱”“棱和棱相交的點叫作頂點”等。同時，通過引導學生開發齊整性學具，融入表面積、體積等相關的概念內涵，能為學生后續學習長方體、正方體的表面積、體積奠定堅實的基礎。

借助這樣的結構化素材，學生能搭建一個長方體框架，進而能認識到長方體有3組棱，每組有4條棱，一共12條棱；能認識到長方體有8個頂點，每一個頂點都有3條棱相交；能認識到長方體有6個面，每2個面相交于1條棱；能有序地數長方體的12條棱，并能巧算長方體的棱長總和，用相交于同一個頂點的3條棱的長度和乘4；能感悟到長方體的表面積就是長方體各個面的面積總和，可以用前面加上面、加右面面積的和乘2；能感悟到衡量長方體的大小就是看長方體中能放置幾個小正方體的方塊等。結構化的材料有助于學生制作學具，在制作學具的過程中，學生不再是被動地、膚淺地接受知識，而是主動地建構知識。在制作長方體學具的過程中，學生能發揮自我的空間想象力，能突破自我的思維定式、想象定式。

學具是學生數學學習的重要支撐，也是學生數學學習的有機組成。教師要積極引導學生認識學具、制造學具、創造學具，要積極引導學生改造學具、應用學具等。引導學生對學具進行深度加工、建構和創造等，是教師教學的應有之義、應然之舉。開發數學的齊整性學具，要求教師發掘數學知識的本質，充分利用學生身邊的資源、素材等，激發學生開發學具的熱情，讓學生的學具開發成為“做思學共生”“學玩創一體”的活動。教師要為學生的學具研發打造平臺、提供保障、創造契機。從某種意義上說，學生學具制作的過程本質上就是數學學習的過程?！靶W具”蘊含著“大學問”，能體現學生數學學習的“大世界”。

學具開發為學生的數學學習打開了一扇門。教師要充分發揮學生的主體作用，引導學生對學具進行開發、改進、優化、完善、創新。同時，教師要當好學生學具開發的領頭羊、領路人，引導、鼓勵、支持、助推學生的學具開發、制造。趣味性學具、模型性學具、齊整性學具等是學具的重要類別，它們能為學生的數學學習導航，能為學生的數學學習助力，能為學生的數學學習蓄能。對學具進行開發、優化、創新，必將引發學生的學習變革，讓學生的數學學習走向深度、走向深刻。教師要充分調動學生的學具開發、應用的積極性，充分發揮學具的育人功能。