計算幾何應用性課程改革探索與實踐

王錚　孔令德

［摘 要］計算幾何是一門代數、幾何和計算機技術相融合的計算機類專業課，以研究曲線曲面建模為主要內容。傳統計算幾何課程內容偏數學理論，教學方法比較單一，而且缺乏豐富的教學資源，導致課程難教難學。針對這一狀況，結合應用型本科高校辦學定位中對學生能力培養的要求，文章提出通過重構教學內容、改革教學方法和建設課程資源等，加強對學生實踐能力的培養，提高學生的綜合能力。

［關鍵詞］計算幾何；應用性；課程改革；教學內容；教學方法；教學資源

［中圖分類號］G642.0［文獻標識碼］A［文章編號］2095-3437（2024）04-0053-05

自20世紀40年代計算機出現后，很多復雜的幾何問題都可以借助計算機來解決，這促進了計算幾何學科的誕生。計算幾何主要研究如何繪制物體的三維線框模型，是對物體的形狀信息進行計算機表示、分析與綜合，由函數逼近論、微分幾何、代數幾何、數值分析和計算機科學組成的一門交叉學科。

在國外許多知名大學中，計算幾何課程面向高年級本科生和研究生開設，而國內在本科階段開設該課程的高校寥寥無幾，大多是在相關專業的研究生階段開設。實際上，計算幾何在計算機圖形學、機器人學、地理信息系統、計算機視覺和計算生物學等領域都有著重要的作用。特別是近年來，美國對我國尖端技術惡意打壓和限制，能否攻克“卡脖子”技術難關，對我國科技自主發展有重要的意義。計算幾何對我國計算機建模技術的發展有著重要的作用，因此在本科階段開設本課程有著比較現實的意義。本課程可以培養學生自由曲線曲面建模和3D實體造型等方面的能力，為學生畢業后從事虛擬現實、游戲開發、仿真技術、科學計算可視化和計算機輔助設計與制造等領域的建模工作打下良好的基礎。

一、存在的問題

計算幾何涉及多個學科知識的綜合應用，教與學都有一定的難度[1]。筆者所在的學校是應用型本科院校，以培養學生的知識技能應用能力為主要目標，學生的學習起點較低、能力較弱。課程組在參考其他院校本課程的開設方法時，發現傳統的教學內容、教學方法對學生的綜合能力要求較高，而教學資源的缺乏容易讓學生對課程知識的學習望而卻步。

（一）課程內容難

計算幾何主要的研究內容是幾何形體的數學描述和計算機表述，涉及大量的數學理論。無論是本科階段還是研究生階段，在開設本課程的高校中，教學重點大多是計算幾何知識中蘊含的數學理論知識，偏重算法的推導和證明，不強調算法的實現過程。純理論的課程內容，使得學生學習時不容易理解，更難以加以運用，學習之后感覺云里霧里，不知所以。

（二）教學方式單一

在傳統教學方法中，教學的主體是教師，教師根據教學大綱制定授課計劃，按照授課計劃按部就班講授課程。而計算幾何課程本身較難，在傳統教學中，學生的參與程度不高、積極性不高、興趣不濃，教學效果一般。

（三）考核方法單一

計算幾何課程傳統考核方式以筆試為主，通過客觀題和程序填空題等考查學生對理論知識的掌握程度，對編程能力要求不高，難以衡量學生的編程能力和算法設計及實現能力，難以很好地體現教學效果。

（四）缺少教學資源

在課程本身難度較高、學生基礎較差的情況下，為學生提供多種類型的教學資源以方便學生課上、課下學習，對提升學生的學習動力、增強學習效果有重要的作用。而目前國內計算幾何課程公開的教學資源有限，科學合理地建設課程資源，對幫助學生學習非常重要。

二、問題解決方法

針對計算幾何課程教學中存在的問題，課程組在多年的一線教學實踐過程中不斷探索，針對性地提出了問題解決方法，顯著提升了教學效果。

（一）優化教學內容

計算幾何覆蓋的知識面很廣，為了適應本科教學，教學內容的設計應該符合應用型教學的特點，以提高學生的實踐能力為主要目的。

課程組經過探索，針對應用型本科院校的學情，提出了“把握主線，重在實現”的教學思路，摒棄了傳統教學中重理論輕實踐、重數學輕代碼的特點，在教學內容方面既把握課程主線，覆蓋課程內容的基本原理，又兼顧培養學生的編程實踐能力，選擇合適的、經典的案例，以便學生能更好地理解和實現算法。

在課程教學中，主要講解曲線曲面建模的方法，包括Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面、NURBS曲線曲面等內容，并且給出了具體的編程實現方法，有助于提高學生的編程實踐能力。

此外，為了使教學內容與社會實際需求接軌，課程組將學科前沿知識、企業實際項目和教學內容進行了有機結合，將企業項目案例中3D建模和實體打印等內容穿插在教學過程中，為學生畢業后從事虛擬現實、游戲開發、仿真技術、科學計算可視化和計算機輔助設計與制造等領域的建模工作打下良好的基礎。

（二）改革教學手段和方法

隨著信息技術的發展，教師在上課時，可以使用豐富多樣的輔助教學手段，以提升教學效率。此外，采取科學合理的教學方法對激發學生興趣、提升教學效果也有著重要的作用。采用好的教學方法和手段，可以收到事半功倍的效果。

1.改革教學手段

課程組在授課時充分利用現代信息技術，以學習通為主要的在線教學工具，同時使用QQ和微信等軟件輔助教學。

（1）課前預習

在學習通發布教學資源和課前預習任務，提出預習問題。

（2）課上學習

根據學生上傳的答案檢驗預習效果，并且使用學習通組織課堂簽到、搶答和討論等活動，輔助課堂教學。

（3）課后拓展

課堂結束后，在學習通發布課后拓展案例，組織學生以個人或者小組等形式完成拓展案例，并且上傳和展示結果，學生之間互評后教師進行總結。

2.改革教學方法

為了提升教學效果，課程組經過探索和實踐，采用“運行案例，講解原理，翻轉討論，以賽促學”的教學模式，通過案例化、翻轉課堂等方法，激發學生的學習興趣，指導學生積極參加相關比賽、申報軟件著作權，培養學生的綜合實踐能力。

（1）案例化教學

無論是醫學圖像還是航空航天設備，都需要由計算機事先經過精密計算建立三維幾何模型，之后再進行工業化生產[2]。案例化教學可以讓學生了解課程知識的應用價值。以學科經典案例和企業實際項目為載體呈現課程知識點，先引入案例、提出問題，分析和提煉其中需要用到的具體知識，之后再講解原理，把抽象理論的學習具體化到實際案例中，可以取得較好的教學效果。

將課堂時間按照1∶1的比例一分為二，在結合案例講解算法原理、分析程序代碼之后，要求學生課內討論并且進行編程實踐訓練，教師進行輔導，將理論知識和實踐操作有機結合。

（2）翻轉課堂

學生是學習的主體，教師是學生學習的引導者。翻轉課堂可以營造良好的課堂氛圍，有利于培養學生分析解決問題的能力[3]。課程組秉持以學生為中心的理念，指導學生參與教學的全過程。在課程教學中，提前給學生布置任務，課堂上組織學生通過小組討論總結各自的方法和觀點，之后由學生登臺闡述自己小組的討論過程和結論。通過這樣的方法，加深學生對學習內容的理解，培養學生的思辨能力、團隊合作能力和表達能力。

此外，課程組還指導學生參與微課視頻的錄制。在錄制視頻時，學生以學習者的視角，提出、分析和解決問題，最終編程實現算法案例。相比從教師視角制作的微課，從學生視角制作的微課更有利于學生理解和掌握課程知識。

（3）以賽促學

在課程教學基礎上，課程組堅持“以賽促學，以賽促教”，通過比賽檢驗教學效果，促進課程建設，激發學生的學習興趣。課程組每年都會指導學生參加多種相關國家級和省級比賽，并且積極申請軟件著作權，通過這些措施，促進學生對專業知識的應用和創新[4]，提升學生的綜合素質和應用能力，讓學生認識到課程的重要性和實際應用價值，體現實踐教學與綜合實踐素質培養的效果[5]。

（4）人文培養

人文精神培育有利于理工科大學生的全面發展和綜合素質提升[6]。在授課中，課程組引入我國悠久的茶文化歷史，把我國的紫砂壺作為課程參照物進行數字化建模，既傳授了專業知識，又讓學生了解了我國的傳統文化，培養了學生的人文情懷，激發了學生的學習興趣。

（三）改革評價方法

本課程注重過程考核，通過線上、線下兩方面來進行。學生的綜合成績 = 平時考核成績×40% + 大作業考核成績×60%。

平時考核即結合出勤率、課前預習、課堂參與和課后拓展等情況進行評價。其中，出勤率、課前預習和課后拓展考核由學習通軟件輔助完成，課堂參與情況考核在課堂上完成。

大作業考核由三部分組成，具體包括：期中實踐考核，考查學生綜合運用前半學期所學知識進行實踐操作的能力，包括相對復雜的案例的開發、現場運行和答辯等環節；期末實踐考核，考查學生的綜合實踐能力，要求學生利用課程知識，編程開發完成一個比較復雜的案例，并且通過現場運行和答辯的方式來展現，最后提交開發報告；期末在線測試，在學習通上錄入試題并且組織學生在線完成考試，主要考查學生對基本理論知識和主要算法原理的掌握情況。

（四）建設課程資源

教學資源是知識的載體，課程組建設了計算幾何課程“四位一體”課程資源。

1.編寫了計算幾何教材

課程組編寫了計算幾何教材（見圖1），教材以培養學生實現算法的能力為主，對于主要知識點，都給出了具體的編程實現方法，有助于提高學生的編程能力。

2.錄制了課程教學視頻

課程組錄制了20個知識點的微課教學視頻頁，這些視頻覆蓋了課程的主要教學內容，學生可以利用這些微課自主學習，對提高教學效果起到了積極的作用[7]。

3.開發了課程案例資源庫

案例是理論知識的總結和應用。通過學習案例，學生可以深入理解其理論原理，同時提升編程實踐能力。案例要圍繞課程內容，由淺入深，選擇經典的例子，提供盡量多的調用接口，以便學生直接調用開發或者深入研究內部代碼，并且最終要呈現出可視化的運行結果。

課程組開發了42個案例的完整源代碼資源配合課程教學，這些資源包含課程主要算法的實現以及拓展方法。

4.3D打印，輸出成果

計算幾何課程內容的抽象性使其難以被學生理解和應用。課程組在編程開發可視化的案例資源庫的同時，還使用3D打印機制作出多個3D實物教學模型（見圖2），實現“所見即所得”，使學生切身經歷了理論知識在經過編程建?？梢暬笤佥敵鰹楫a品的過程，了解了課程知識的實際應用場景，掌握了理論轉換為實際應用的方法。

三、取得的成果

自筆者所在學校2017年開設計算幾何課程以來，課程組一直致力于對課程教學的研究與改革。筆者所在學校的計算幾何課程于2021年被山西省教育廳認定為“山西省一流課程”，在教學改革研究與探索中，主要取得了以下成果。

（一）構建了計算幾何課程能力體系

通過與以虛擬現實仿真技術為核心的合作單位——北京朗迪鋒科技有限公司進行校企合作，根據企業對人才知識與能力的要求，設計了課程教學的總體目標、知識目標和能力素質目標，根據能力素質目標確定知識點，將知識點組合成任務模塊，按照任務給出可視化實踐模型，完成課程能力體系的構建。

（二）提出了“理論講解—編程實踐—實物輸出”的三步教學方法

本課程的教學分三步走：線上線下相結合的理論學習—編程建立物體的幾何模型—3D打印物體的實物模型。這個過程不僅有助于加深學生對理論知識的理解，而且明顯提高了學生的編程實踐能力，更重要的是，可以讓學生親眼看到、親身體驗自己的學習成果轉化為實際應用的過程，體現了“學以致用”的教學目標。

（三）學生參加比賽、申請軟件著作權成果豐碩

經過幾年的努力，課程組指導的學生在中國“互聯網+”大學生創新創業大賽、中國大學生計算機設計大賽等比賽中獲獎多項，申報國家級、省級大學生創新創業項目多項，獲得軟件著作權多項。

四、評價及推廣

（一）學生評價

學生學習本課程后，表示“案例化的教學方法使得我們在學習課程時，了解到課程知識的實際應用價值，有了更明確的學習目標；課堂上的編程實踐極大地提高了大家的編程能力，避免了理論和實踐脫離的情況”。

（二）同行評價

校外高校同行使用課程組編著的教材和探索的教學方法講授課程之后，反饋：“孔令德教授編著的《計算幾何算法與實現》教材在講解基本算法原理的基礎上，更加注重算法的實現方法，有助于學生理解理論知識和提高編程能力，受到了學生的歡迎。”

蘇州大學的王平老師認為，計算幾何是一門難教難學的課程，傳統的教學方法偏重講解數學理論知識，不易理解，而課程組編寫的教材更加注重編程實踐能力的培養，提升了教學效果。

（三）企業評價

北京朗迪鋒科技有限公司反饋：“孔令德教授教學團隊培養的學生綜合素質很高，業務能力強，不僅具備扎實的算法理論基礎，而且具有很強的綜合實踐能力，在企業中可以擔當重任、獨當一面?！?/p>

（四）資源推廣

經電子工業出版社統計，全國有多所高校使用了課程組編寫的計算幾何教材，課程組通過新媒體平臺把課程的所有資源分享給使用該教材的教師授課使用，得到了廣泛好評。

五、結語

計算幾何是一門涉及多學科融合的計算機類專業課程，課程知識在我國圖形建模相關領域有著重要的應用，對學生就業有一定的幫助。課程教學有一定的難度，課程組從教學內容、教學方法等方面進行了改革探索與實踐，建設了豐富的課程資源，取得了較好的教學效果，為在本科階段開設本課程提供了一定的借鑒，為應用型本科院校計算機類專業課程教學改革提供了參考。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 孔令德.應用型本科計算幾何課程建設的探索與實踐[J].計算機教育，2018（5）：147-150.

[2] 李學，閆素旺.案例化教學在計算機機械制圖教學中的應用[J].鑄造，2022，71（3）：390.

[3] 趙麗，張慧.基于ITIAS的翻轉課堂教學行為及效果分析[J].中國大學教學，2022（11）：87-95.

[4] 單瑞霞，賈森，張麗華.基于“以賽促教、以賽促學”的應用型人才培養模式探索[J].裝備制造技術，2023（4）：288-290.

[5] 李志博，侯雪梅，張儉鴿，等.基于學科競賽的實踐知識體系構建與學生綜合素質培養[J].計算機教育，2023（2）：49-53.

[6] 韓佩. 理工科大學生人文精神培育研究[D].哈爾濱：哈爾濱理工大學，2017.

[7] 康鳳娥，孔令德.微課在“計算幾何算法與實現”課程教學中的應用[J].實驗技術與管理，2019，36（7）：151-154.

［責任編輯：周侯辰］