案例討論式教學在力學課程中的探索

李十泉 孟瑋

摘?要：在土木工程專業力學課程教學中，探討了“空手劈磚”案例的不同工況及力學知識。由學生分組開展分析與討論，形成3種工況，并明確了相應的力學模型。在不同工況下，開展了磚的結構簡圖、內力分析、影響因素、危險截面、應力分析和動力分析。隨著課程的逐步推進，學生逐步運用所學知識開展討論，并分析了相關的力學現象。分析結果表明，工況3的效果最好，劈磚荷載約為608N，與相關文獻吻合。該討論式案例的引入調動了學生的興趣，促進學生的思考、討論、建模、分析和交流總結的能力，提升了課程的教學效果。

關鍵詞：討論式教學；案例教學；工況分析；力學模型；力學課程

中圖分類號：G642.0??文獻標識碼：A

Abstract：In?the?teaching?of?mechanics?course?of?civil?engineering?specialty，different?working?conditions?and?relevant?mechanics?knowledge?of?"Cracking?Bricks?by?Empty?Hands"?were?discussed.After?analysis?and?discussion?by?students，three?kinds?of?working?conditions?were?formed，and?the?corresponding?mechanical?models?were?clarified.The?structure?diagram，internal?force?analysis，influencing?factors，dangerous?section，stress?analysis?and?dynamic?analysis?of?bricks?were?analyzed?under?different?working?conditions.The?analysis?results?show?that?working?condition?3?has?the?best?effect，and?the?splitting?load?is?about?608N，which?is?consistent?with?the?relevant?literature.The?introduction?of?the?discussion?case?aroused?students'?interest，promoted?students'?ability?of?thinking，discussion，modeling，analysis?and?communication?summary，and?improved?the?effect?of?mechanics?course.

Keywords：discussion?teaching；case?teaching；working?condition?analysis；mechanical?model；mechanics?courses

我校土木工程專業的力學課程包括理論力學、材料力學、結構力學等，工程管理專業、土木工程（轉本）和工程管理（轉本）專業均開設工程力學課程。理論力學、材料力學、工程力學均屬“基礎力學”范疇。相關力學課程的教學，對學生邏輯思維、專業能力、建模分析能力和科學素養的培養十分關鍵，也是相關專業教學中的重點。可基于“基礎力學”或“力學課程群”角度，對相關力學課程開展教學探索。

“空手劈磚”表演展現了技巧和力量，觀者震撼。該表演中有何力學技巧？相關力學課程的知識點包括：工況分析、模型建立、得到結構簡圖、靜力分析、截面幾何性質、應力計算、應力分析、強度理論、運動分析、動力分析、沖擊荷載、動載效應等。

在力學課程中，由學生分組討論，引導學生在學、思、辨、論中學習，運用力學知識，開展分析與討論，掌握相關知識點，提升教學效果。本文是我校學生在工程力學課程中對該案例開展討論及課程實施的小結。

1?集體討論

若使用道具磚、劣質磚，其強度過低，不進行討論。多數表演者使用燒結普通磚［1］或蒸壓灰砂磚［2］（簡稱“磚”，尺寸為240mm×115mm×53mm），其強度較高。雖表演者力量較大，但要表演成功，仍屬不易。

在課程教學中，以磚為分析對象，由分組后的學生，結合教學進度，分析磚在劈磚表演中各階段的受力情況［3］、應力分析及斷裂條件［4］，探討空手劈磚的技巧。

2?分組討論及工況分析

針對“空手劈磚”開展分析時，首先要明確不同工況及其相應力學模型。學生討論、整理、歸納得到工況：（1）簡支；（2）懸挑；（3）一端抬升再劈磚。空手劈磚實際為沖擊作用，在課程教學之初，先按靜力模型分析，后續教學中考慮動力效應。需要明確的是：磚為脆性，其抗拉強度遠低于抗壓強度，故其最終因抗拉強度不足而脆裂。

分組與規則：（1）每個教學班的學生隨機分為3組，抽簽決定各自分析的工況；（2）每組輪流選派5人，每周在課上PPT匯報1次，匯報時間3分鐘；（3）其他兩組各提出1個問題并立即回答，共2分鐘；（4）小組的課外討論不進行限制。

在實施過程中，各小組結合各自工況建立相應的力學模型，得到結構簡圖、內力圖；再明確危險截面、危險點；結合危險點的應力狀態，開展單元體應力分析，明確主應力及其方向；最終得到不同工況下磚是破壞條件和因素。

2.1?第一組：簡支工況

圖1（a）中，磚置于間距為L的固定面。劈磚作用力F距左側支座為a，距右側支座為c，即L=a+c。相應結構簡圖見圖1（b），內力圖見圖1（c）和圖1（d）。

此時，磚的下側受拉。取危險截面的下邊緣點A處的應力單元體，如圖1（e）。點A處正應力、切應力依次為：

σx=MWz（1）

τxy=FsSzIzb（2）

據第一強度理論，磚斷裂時，點A處：

σ1=σx2+σ2x4+τxy2σt（3）

要使主應力σ1盡量大，可從以下考慮：

2.1.1?截面選擇

磚的抗彎截面系數W為：

W=bh26（4）

若磚橫放，W1=5.4×104mm3；若磚縱放，W2=1.2×105mm3。故，橫放時，磚更易斷。

2.1.2?彎矩和正應力

當且僅當a=c=L2時，截面彎矩有最大值Mmax=FL4。據式（1）（2），有：

τxyσx=0.19（5）

將式（5）代入式（3），得：σ1=1.031σx。可見，τxy對主應力的影響遠小于σx。F在跨中時，σ1最大，磚易斷。

2.2?第二組：懸挑工況

將磚一端按壓在臺面，一端懸挑，見圖2（a）。其結構簡圖和內力見圖2（b）（c）和（d）。此時，各截面剪力相等；最大彎矩處截面為危險截面。危險截面的上邊緣點B為危險點，其應力見圖2（e）。

當σ1達［σt］時，磚斷裂。磚橫放時，要使σ1盡可能大，彎矩應盡量大。點B所在截面彎矩Mmax=FL，剪力也同時取得最大值Fs，max。此時，據式（1）（2）得σx=6Fcbh2，τxy=3Fs2bh。據式（3），因切應力不變，故正應力最大時（即c=L時），主應力達最大。即選擇遠端為劈磚位置，磚更易斷。

2.3?第三組：“一端抬升再劈磚”工況

磚一端擱置在固定面上，一端懸挑，并在劈磚前抬升小角度θ，見圖3（a）。F的作用點距離左側自由端距離為a，距離右側支座距離為L2，支承區長度為L1，力學模型見圖3（b），L=a+L1+L2。

磚繞O點的轉動慣量見（6）式：

J=mL23（6）

據動量矩定理，得：

M=F（L1+L2）=Jd2θdt2=Jα（7）

式（7）兩側積分，得：

Mt=Jdθdt=Jω（8）

式（8）積分后求解得：

t=2JθM（9）

代入（8）得：

ω=2MθJ（10）

沿磚長度方向，質點線速度可表達為：

v=ωx（11）

式中，x為質點與點O的距離。假設磚底面與桌面的接觸時長為Δt，因此產生的加速度a=vΔt=ωxΔt。假設磚與桌面接觸瞬時停止繞點O的轉動，受到桌面的分布支持力q，其合力Fq可近似表達為：

Fq=ma質心=mωL2Δt（12）

桌邊接觸點D的彎矩為：

MD=FL2+FqL′1（13）

式中，L1′是Fq與接觸點D的距離。將式（12）代入式（13），得：

MD=FL2+mωLL1′2Δt（14）

據（1）式得：

Mmax=σtW（15）

當MD達Mmax時，磚將開裂。故在L1不變時，應增大L2。

2.4?工況3的計算與分析

忽略橫截面切應力τxy的影響，結合規范［1］，取其抗拉強度允許值［σt］為2MPa，L為240mm，L1為50mm，L2為150mm；L1′近似取L1的一半，為25mm；磚質量取2.5kg；θ取10°；Δt取0.05秒，將以上參數代入式（1）（3）（4）（6）（7），取式（14）（15）相等，得磚開裂時F約為608N。文獻［5］估算結果與本文的工況3相吻合。但文獻［5］以磚的抗壓強度作為強度驗算的依據，明顯有誤。

3?集體分析——動載效應

在完成分組匯報之后，課程教師引導班級學生總結。以上討論中，存在多處近似處理和假設，準靜態分析是便于“靜力學”部分知識的運用。但空手劈磚的過程實際是力在短時間內沖擊荷載作用過程。在“動荷載”部分，沖擊作用下的動力因數［4］Kd為：

Kd=1+1+2hΔst（16）

式中，h為自由沖擊體與磚上表面間的落差；Δst為沖擊荷載作為靜荷載作用于磚上時，作用點的豎向線位移。

式（14）可理解為將靜荷載的作用效應進行了放大。基于式（16），要提高Kd，有以下途徑：（1）表演者應盡量將手抬高，增大h；（2）表演者應盡量將磚按緊于約束面上，減小Δst。否則，易導致表演失敗。

而實際上，h為自由沖擊體與磚上表面間的落差，并不是空手劈磚中的手掌高度。那其間差距如何考慮呢？有學生給出了自己的理解。

式（16）是基于自由落體質的解答。而空手劈磚時，“手”的加速度不同于重力加速度，式（16）可修正為：

Kd=1+1+2h′Δst（17）

式中，h′為等效沖擊高度，由表演者的臨場發揮（發力過程中的等效加速度）決定。

4?小結

在力學課程中探索了基于案例分析的討論式教學，取得了一定的教學效果，課外競賽成績有提升，獲得學校教務處的肯定。近年來，我校學生參加力學類競賽的成績逐步上升，獲江蘇省力學創新創意競賽特等獎2項、一等獎3、二等獎7項；江蘇省周培源大學生力學競賽個人一等獎1項、個人二等獎7項，團體二等獎1項；國際大學生工程力學競賽（亞洲區）二等獎1項。

本文所介紹的討論式教學案例，涉及知識點有靜力學、運動學、動力學、作內力圖、截面應力分析、強度理論、動荷載等，課堂實施的氣氛熱烈，但應控制好時間。主要結論如下：

（1）在課程教學之初，提出典型案例。結合力學課程的教學過程，逐步分析影響因素及課程知識點，從討論中調動了學習積極性，明確課程中所學知識的運用。學生在學、思、辨、論中，能體驗到理論知識的實用性。

（2）課外討論、課堂交流的案例討論式教學探索對基礎力學課程的學習氛圍和課堂效果有明顯提升，但其對專業能力培養目的標達成度如何，有待進一步評價。

參考文獻：

［1］中國國家標準化管理委員會.GB/T?5101，燒結普通磚［S］.北京：中國標準出版社，2017.

［2］中國國家標準化管理委員會.GB/T?11945，蒸壓灰砂實心磚和實心砌塊［S］.北京：中國標準出版社，2019.

［3］哈爾濱工業大學理論力學教研室.理論力學（Ⅰ）［M］.北京：高等教育出版社，2016.

［4］鄧宗白，陶陽，吳永端.材料力學［M］.北京：科學出版社，2013.

［5］張麗華.單手劈磚需要多大力［J］.力學與實踐，2017（39）：492495.

項目：南京理工大學泰州科技學院教育教學改革研究項目（YJG2016B12）；江蘇省青藍工程“優秀青年骨干教師”（2022）

作者簡介：李十泉（1985—?），男，漢族，江蘇如東人，碩士，副教授，主要從事工程力學的教學與研究。