基于問題解決的初中數學深度學習促進策略

陳鑫海

摘 要：深度學習是培養學生掌握核心學術內容、批判性思維與問題解決能力、有效溝通與合作、自我導向學習等能力的必經過程，是培養學生應對未來社會挑戰關鍵能力的必經路徑。基于學生初中數學學習的現狀，以人教版七年級下冊“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時教學為例，探討促進學生深度學習的有效策略，可以總結出做法：創設真實問題情境，通過強化主動理解，可以有效發展學生的批判性思維；設計問題描述活動，通過強化思維整理，可以有效促進學生的新知建構；設計問題探討活動，通過強化知識深層加工，可以有效重構學生的認知體系；設計問題分析活動，通過感悟數學學科本質和基本思想，可以促進學生的知識遷移；設計解決問題活動，通過建構問題解決模型，可以促進學生形成解決問題能力；設計回顧與反思活動，通過搭建反思支架，可以促進學生形成評價與反思能力。

關鍵詞：初中數學；問題解決；深度學習；活動設計；六維能力

中圖分類號：G63 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）07-0077-06

結合當前義務教育質量監測結果可知，當前初中數學課堂教學依然存在一些亟待解決的難點問題，如教師對課堂教學缺乏有效調控，學生在課堂中依然處于機械、被動的淺層學習狀態，師生缺乏對教學過程的有效反思，等等。史寧中教授把學生缺乏根據情況預測結果和根據結果探究成因的能力作為數學教育的短板，要求教師在解決問題教學中重視培養學生“一頭一尾”的能力，“一頭”即發現和提出問題的能力，“一尾”即學習過程中的評價與解決問題后的反思能力。在筆者看來，深度學習是提升學生這“一頭一尾”能力的有效路徑。

“深度學習”是一個不斷演進的概念。最初針對學習的過程展開研究，等同于深層學習，與淺層學習相對；之后逐漸向教學領域延伸，與教師的教關聯起來。1976年，瑞典哥德堡大學的兩位心理學家弗倫斯·馬頓（Ference Marton）、羅杰·薩爾喬（Roger Saljo）在《學習的本質區別：結果與過程》一文中首次提出表層學習與深層學習的概念，認為學生在學習過程中采用不同的學習方式會產生不同的學習結果，深層學習主要以聯系和理解為主要特征，而淺層學習以機械記憶重復和孤立的信息為主要特征。1987年，澳大利亞學者約翰·比格斯（John Biggs）在其專著《卓越的大學教學：建構教與學的一致性》中強調了深度學習與教師教學之間的關聯，認為深度學習是學習者個體與教學環境進行交互的方式。2000年，諾埃爾·恩特威斯爾（Noel Entwistle）在《通過教學和評估促進深度學習：概念框架和教育背景》一文中通過對大學生學習過程的訪談調研，認為深度學習是一種以理解意義為目的的主動學習方式，包含聯系觀點、尋找模型和原則、使用證據、檢查論證的邏輯性和正確性等特征；淺層學習則主要采用死記硬背的學習方式。直至2011年美國的威廉和弗洛拉·休利特基金會發起了一項由美國研究學會（AIR）組織實施的深度學習SDL項目（Study of Deeper Learning： Opportunities and Outcomes），2012年美國國家研究院（NRC）發布了一個《為了生活和工作的教育：在21世紀發展可遷移的知識和技能》（Education for Life and Word：Developing Transferable Knowledge and Skill in the 21st? Century）的研究報告，“深度學習（Deep Learning）”的概念才得以正式確立，開始與21世紀技能即掌握核心學術內容、批判性思維與問題解決能力、有效溝通、合作、自我導向學習、學習心態這六維能力相互融通［1］。

無論以上研究者如何論述深度學習，但將深度學習的目標定位于使學生牢牢掌握、深刻理解更深層次的知識，并將自己的知識與技能運用到學校內外的任務和環境中，是大家一致認可的。這樣的深度學習，與數學教育有極大的內在關聯，更加強調學習的現實意義，更加有利于培養學生“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”［2］11的“三會”核心素養，從而順利提高學生在數學問題解決過程中那“一頭一尾”的能力。為此，《義務教育數學課程標準（2022年版）》要求教師注重發揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用，基于真實情境，提出能夠引發學生思考的數學問題或引導學生提出合理問題，讓學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納、遷移運用等［2］87深度學習的過程，從而逐漸提高學生“一頭一尾”的能力。下面筆者以人教版七年級下冊“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時教學為例，探討基于問題解決的初中數學深度學習促進策略。

一、創設真實問題情境，通過強化主動理解，有效發展學生的批判性思維

批判性思維作為一個技能的概念可追溯到杜威的“反省性思維”，即“能動、持續和細致地思考任何信念或被假定的知識形式，洞悉支持它的理由以及它所進一步指向的結論”［3］。學科教學中，將批判性思維和問題解決能力相提并論，則是指運用某一學科的核心工具和技術闡釋和解決問題的能力。初中數學教學中，為了培養學生的批判性思維和問題解決能力，教師應努力創設真實的有挑戰性和吸引力的問題情境或學習任務（如圖1），激活學生已有的認知經驗：當學生發現無法用舊知識解決新的問題或者情境中的問題與自己已有的認知存在些許差異時，認知沖突隨之產生。此時此刻，正是教學的“不憤不啟”之時，教師適時介入，引導學生經歷主動理解、集體討論和批判性接受的思維發展過程，可有效促進學生的深度學習，培養學生的問題意識，發展學生的數學認知。

教學實踐中，問題情境或學習任務的創設，必須建立在學生已有的認知經驗之上，以利于學生形成強烈的問題意識和積極的主動思維，從情境中去感知現象與其本質規律之間的矛盾沖突，從而理解數學學習的意義和價值。例如，在“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時中，教材首先呈現了一道思考題，即上一課時用代入法求解的一個方程組（如圖2），引導學生通過觀察兩個方程中同一個未知數y的系數相等這一特殊關系，發現為方程組求解的新方法。這樣的問題編排，其實已經為學生提示了一種發現數學知識產生過程的新思路。

然而深入分析學生的學習過程，可以發現以下問題：直接引導學生觀察兩個方程中未知數y的系數相等這種特殊關系，雖然能夠讓學生快速感知到一種新的問題解決方法，但這樣的感知過程卻是單薄的，思維發展的層次較低，不能有效激活學生已有的認知經驗，不利于誘發學生積極、主動的思考，不利于發展學生的批判性思維與批判性接受新知識的能力。為此，筆者變更了以上問題的呈現方式，先創設了一個真實的有挑戰性和吸引力的問題情境（如下頁圖3“問題1”中提到的兩種問題呈現方式），觸發學生已有的認知經驗，引導學生自主感知知識產生和發展的過程；再回歸教材所提供的方程組（如下頁圖3中的“問題2”），讓學生運用從“問題1”中習得的方法，去自主理解和解決“問題2”中的問題，從而有效促進學生的主動理解和批判性思維的發展。

二、設計問題描述活動，通過強化思維整理，有效促進學生的新知建構

在課堂教學中，促進學生展開深度學習，關鍵在于設計有效的深度學習活動，激活學生的原認知，引導學生經歷同化與順應的學習過程，在新認知與原認知之間建立起有效的“聯結點”，通過歸納概括新知識而獲得新知識的意義，同時將新知識納入已有的知識結構，從而建構起新的認知體系［4］。同化和順應是瑞士心理學家皮亞杰在其兒童認知發展階段理論中提出的兩個重要概念，用來描述個體適應環境的機能：同化是指把外部環境中的有關信息吸收進來并結合到兒童已有的認知結構當中的一種學習過程；順應則是指外部環境發生變化，而原有認知結構無法同化新環境所提供的信息時所引起的兒童認知結構發生重組與改造的過程，即個體的認知結構因外部刺激的影響而發生改變的過程。

在課堂教學中，遵循如圖4所示的思維邏輯，教師可通過設計問題描述學習活動，引導學生經歷數學觀察、數學思考、數學表達、概括歸納的深度學習過程，首先讓學生對課堂中所發現的問題或所遇到的難以理解的現象進行客觀的感官描述，理清問題所在，然后讓學生集中思維目標，經歷比較、概括等思維整理過程，從而清晰地界定自己的困惑或判斷，以此推動學生對問題的理解與發現，使學生獲得知識的本質屬性或一般性結論，順利建構新知，提高數學表達能力。

例如，在“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時中，教師可基于前面的兩個問題，提出問題3和問題4（如圖5）。通過問題3，可引出方程組的三種解法，讓學生圍繞方程組的特征進行描述、判斷，敘述選擇方程組解法的緣由。學生通過觀察、比較，可以做出一般性的歸納概括，如：因兩個方程中都含有相同的項“x+y”，可以運用整體代入法，將方程①整體代入方程②后，便可解出方程組；因方程組兩個方程中有一個未知數的系數相同，將兩個方程左右兩邊分別相減，同樣可以為方程組求解。在以上問題解決過程中，學生經歷了解法展示和問題描述的活動過程，與原有知識經驗建立起聯系，有效激活了原認知，經歷了不同解法的比較、歸納、概括等思維整理與發展過程，從而順利產生了問題4的“想法”，建構了新的認知：當解含有相同的項或有一個未知數的系數相同的二元一次方程組時，可以運用整體代入法或做減法進行消元，這比直接運用一般的代入消元法更為簡便。

三、設計問題探討活動，通過強化知識深層加工，促進學生重構認知體系

知識深層加工是對相關知識進行系統整合的過程，要求遵循一定的規律，理順相應的關系，建立知識間的聯系，進而重構認知體系［5］。受限于學生的認知能力，初中數學教師創設以問題探討為主的學習活動，可通過組織學生對“同構問題”和“相似問題”進行問題分析與探討，使學生學會提煉有用信息和知識重點，厘清問題的構成要素，與更大的概念框架建立聯系，以形成結構性較強的知識體系，進而提出有價值的問題（如圖6）。

例如，在“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時前面四個問題的基礎上，教師可接著提出問題5和問題6（如圖7），引導學生對知識進行深層加工，展開問題探討學習活動。學生通過探討問題5可發現，與問題2比較，兩個方程中不存在可直接整體代入另一個方程的代數式，因此運用之前所學的方法無法直接解決上述問題，但與之相類似的是，這個方程組中存在一個系數剛好互為相反數的未知數，可以運用方程兩邊相加的方法進行求解。進一步觀察，學生很容易發現，問題5與問題2中的兩個方程組結構相似、解法相似，進一步抽象概括，可得出如下結論：當方程組中同一個未知數的系數互為相反數或相等時，兩邊相加或相減，就能消去這個未知數達到消元的目的，進而達成為方程組求解的目的，這便是加減消元法。問題6的提出，旨在引導學生更為系統、全面地思考解方程組的方法。在經歷了對“同構問題”和“相似問題”進行問題探討的過程之后，學生通過提取類似問題的構成要素，與同構問題進行比較，經歷更進一步的抽象概括，將所學內容全部有機地聯系起來，經歷知識整合與深層加工的過程，從而獲得了知識的深層意義，形成了更大的概念框架，重構了知識體系。

四、設計問題分析活動，通過感悟數學學科本質和基本思想，促進學生的知識遷移

把握數學基本思想和學科本質，指的是讓學生在進行問題解決的過程中通過靈活運用數學基本思想，深入把握數學知識本質，不斷提升思維品質和學習力，發展數學思維［6］。問題分析活動需要學生經歷對問題進行分解和排序的過程，以形成對問題本質的理解，進而提取和內化知識，確定解決問題的思路和方法，提出解決問題的策略，呈現解決問題的完整過程。如圖8所示，分析問題的學習活動設計應首先引導學生將問題進行分解和排序，轉化為用已學知識和方法能夠解決的問題，從中把握問題的本質，再調用原有數學活動經驗和思維方法，針對新的問題提出自己的解決方案，進一步感悟知識的本質內涵及其中所蘊含的數學基本思想，進而形成解決問題的基本策略，促進知識遷移。

課堂教學中的問題分析學習活動設計，應有步驟有策略地展開，以利于學生對問題進行多角度、多層面的結構化分析，促進學生形成問題解決的邏輯結構及解決途徑，培養學生的結構化思維。例如，在“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時中，教師先通過呈現例3（如圖9），提出了一個新的問題，作為問題分析學習活動的起始，繼而提出了問題7和問題8，引導學生有序展開問題分析活動。學生在觀察例3中的方程組時很容易發現，這個方程組中的兩個方程中不存在未知數系數相同或相反的項，因此不能直接使用加減消元法進行消元，且方程組中含有未知數的項的系數比較復雜，若簡單使用代入法，不是不可以，只是運算量較大。學生經過系統思考，最終提出可以采用對方程組進行適當變形的方法加以解決，于是提出了將兩個方程轉化為未知數系數相同或相反的項的兩種方案，一種是將兩個方程中未知數x的系數都轉化為15，另一種是將未知數y的系數分別轉化為12和-12，再運用加減消元法來解決問題。

在以上學習過程中，學生通過問題分析，發現所給方程組中不存在同一個未知數系數相同或相反的項、無法直接使用加減消元法來解方程組，于是進一步感悟“消元”的知識本質、感悟其中的轉化思想——將二元一次方程組轉化為一元一次方程，從而提出了兩種問題解決方案，形成了解決問題的基本策略。

五、設計解決問題活動，通過建構問題解決模型，促進學生形成解決問題的能力

設計解決問題活動，旨在讓學生在類似的情境中，將逐漸完善的知識、經驗有效遷移運用到新的情境當中，通過建構問題解決模型，形成穩定的知識經驗，進而有效解決新的問題，形成解決問題的關鍵能力。如圖10所示，課堂教學中的解決問題過程是學生通過獨立思考，遷移運用已學知識，并選擇合理化的解決方案或相應的策略、模型，經過實踐操作解決問題的過程，同時也是將數學知識進行提煉和優化，將模糊、雜亂的數學思維條理化，以驗證、確認問題解決的過程和結果，最終形成問題解決的能力和思維模型的過程。獨立思考和自主操作，為的是明晰知識間的邏輯聯系，輔助梳理解決問題的途徑，通過經歷以上高階思維發展的過程，最終形成解決問題的相應策略或模型，并從經歷知識有效遷移與解決問題的過程中體驗到成就感。

例如，在“8.2 消元——解二元一次方程組”第二課時中，教師呈現問題9和問題10（如圖11），引導學生展開解決問題活動。為了解決問題9，學生通過獨立操作，得出了多種方法。除少部分使用代入法外，大部分學生選擇了將兩個方程進行適當變形的方法，如先通過“①×3，②×2”或“①×5，②×3”對兩個方程進行變形，再運用加減消元法解方程組。在完成解決問題的過程以后，學生進行了交流探討，發現在這個問題情境中，運用加減消元法消去未知數x比消去未知數y的運算量要大，由此可以得出結論：消去未知數y解方程組的方案更優。在對問題解決方案進行優化和評價的過程中，學生還可以歸納概括出解決問題的一些一般方法，如：在運用減法消元時，方程組的變形應盡量將未知數的系數轉化為它們的最小公倍數，以降低運算量，同時應盡量避免出現系數為負的情況。

六、設計回顧與反思活動，通過搭建反思支架，促進學生形成評價與反思能力

課堂教學中的反思支架，指的是對學生是否完成課堂學習任務或達成學習過程中的變化與發展等所設計的一種促進學生進行自我評價與反思的思維支架，以此培養學生的數學理性以及看待問題的深刻性，引導學生在反思與感悟中經歷從基礎知識、基本技能到核心素養升華的過程［7］。在筆者看來，要提升學生的數學核心素養，必須培養學生反思、質疑的能力，促進學生養成良好的學習習慣，提升學生的思維品質。如圖12所示，課堂教學中，教師所創設的課堂回顧和評價活動，側重引導學生展開從知識到方法、從方法到技巧、從技巧到數學思想等不