整體建構(gòu)多向關(guān)聯(lián) 核心問(wèn)題分層進(jìn)階
——以 “圓的再認(rèn)識(shí)” 教學(xué)為例

□朱曙光

在實(shí)際教學(xué)中，不少教師在課堂上提出的問(wèn)題或多或少都存在瑣碎、隨意、封閉等問(wèn)題，導(dǎo)致數(shù)學(xué)本質(zhì)指向模糊以及知識(shí)鏈接斷裂，進(jìn)而使學(xué)生的思維空間受限。為解決這些問(wèn)題，筆者所在團(tuán)隊(duì)積極探索構(gòu)建問(wèn)題鏈的有效方式，以促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)并構(gòu)建結(jié)構(gòu)化認(rèn)知。

問(wèn)題鏈?zhǔn)墙處煾鶕?jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)，精心提煉出核心問(wèn)題及其驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題，從而形成的具有邏輯關(guān)聯(lián)的問(wèn)題序列。這樣的問(wèn)題序列能有效鏈接知識(shí)概念，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，并為探究路徑奠定基礎(chǔ)，從而促進(jìn)學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)概念的深度理解和知識(shí)結(jié)構(gòu)的建立。下面以 “圓的再認(rèn)識(shí)” 的教學(xué)為例，具體闡述問(wèn)題鏈的生成、架構(gòu)以及在教學(xué)中的應(yīng)用。

一、單元整體解讀，聚焦本質(zhì)關(guān)聯(lián)

中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中說(shuō)： “圓出于方。” 這揭示了圓與方之間的內(nèi)在關(guān)系。這里的 “方” 指正方形，有兩種解釋：一是以正方形對(duì)角線的中點(diǎn)為圓心旋轉(zhuǎn)對(duì)角線，即可得到圓（如圖1）。二是通過(guò)不斷切去正方形的角，將其逐漸轉(zhuǎn)化為邊數(shù)更多的正多邊形。隨著邊數(shù)的增加，其形狀逐漸逼近圓（如圖2）。這兩種解釋都揭示了正多邊形與圓之間的關(guān)聯(lián)，也為認(rèn)識(shí)圓提供了教學(xué)思路。

圖1

圖2

目前多個(gè)版本的教材都對(duì)正多邊形與圓的關(guān)系進(jìn)行了深入探討。其中，人教版教材和蘇教版教材都提及了劉徽的割圓術(shù)： “割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。” 意思是不斷增加正多邊形的邊數(shù)，使其從正六邊形逐漸變化為正十二邊形、正二十四邊形等。當(dāng)邊數(shù)趨于無(wú)窮時(shí)，正多邊形的形狀將無(wú)限接近圓（如圖3），從而求得圓周率的近似值是3.14。而北師大版教材則引用了阿基米德的研究，通過(guò)對(duì)比圓的外切正多邊形和內(nèi)接正多邊形，進(jìn)一步驗(yàn)證了 “圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)增加時(shí)，其面積逐漸逼近圓的面積” （如圖4）。

圖3

圖4

在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生沿著古人的研究路徑，自主發(fā)現(xiàn)正多邊形與圓之間的這種緊密聯(lián)系。同時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生深入探究正多邊形變化過(guò)程中周長(zhǎng)和面積的變化規(guī)律。在后續(xù)的教學(xué)中，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生利用劉徽的割圓術(shù)來(lái)探究圓周率，進(jìn)而計(jì)算圓的周長(zhǎng)。利用阿基米德的研究，進(jìn)一步說(shuō)明 “圓內(nèi)接和外切正多邊形的邊數(shù)越多，其面積越大，而圓的面積則是最大的” 。

二、把握學(xué)情特征，明確目標(biāo)定位

問(wèn)題的來(lái)源不應(yīng)僅限于教材，還應(yīng)緊密關(guān)聯(lián)學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)。教師需要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，明確教學(xué)目標(biāo)，提煉核心問(wèn)題。為此，筆者設(shè)計(jì)了相關(guān)的前測(cè)題，用以檢測(cè)學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)。

（一）對(duì)正多邊形的認(rèn)知

【前測(cè)題1】下列哪些圖形是正多邊形？你認(rèn)為怎樣的圖形是正多邊形？

從測(cè)試結(jié)果來(lái)看，大部分學(xué)生能夠準(zhǔn)確識(shí)別正多邊形，部分學(xué)生還從邊的長(zhǎng)度和角的角度對(duì)正多邊形進(jìn)行了思考。盡管他們尚不能準(zhǔn)確描述正多邊形的定義，但已對(duì)正多邊形有了初步的認(rèn)識(shí)。

（二）對(duì)圓的數(shù)學(xué)史的了解

【前測(cè)題2】你知道有哪些數(shù)學(xué)家研究過(guò)與圓相關(guān)的內(nèi)容嗎？他們分別有什么成就？

從測(cè)試結(jié)果來(lái)看，大部分學(xué)生僅知道祖沖之（如圖5），對(duì)其他數(shù)學(xué)家，如劉徽、阿基米德等，則知之甚少。這表明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)史的了解相對(duì)有限，需要教師引導(dǎo)他們接觸更多的數(shù)學(xué)文化。

圖5

（三）對(duì)正多邊形與圓關(guān)系的認(rèn)識(shí)

【前測(cè)題3】你認(rèn)為正多邊形和圓之間有聯(lián)系嗎？如果有，請(qǐng)簡(jiǎn)單說(shuō)一說(shuō)。

測(cè)試結(jié)果顯示，有12.8%的學(xué)生聯(lián)想到了方中圓（外方內(nèi)圓）和圓中方（內(nèi)方外圓）的情況。近三分之一的學(xué)生提到了圓與正多邊形的某種聯(lián)系（如圖6）。然而，他們主要關(guān)注的是兩者的外部特征，因此還需要通過(guò)活動(dòng)引導(dǎo)他們關(guān)注兩者內(nèi)部的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，深化他們對(duì)極限思想的理解。

圖6

基于教材研讀和學(xué)情分析，確立本內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)如下。

（1）通過(guò)比較正多邊形與圓，發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，建立平面圖形的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并在圖形的演變中感悟極限思想。

（2）在使用直尺畫(huà)圓、尋找正多邊形邊的過(guò)程中，運(yùn)用正多邊形與圓的關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題，想象圖形的變化，了解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用，體會(huì)數(shù)學(xué)之美。

（3）了解圓的研究發(fā)展歷史，感受古人的智慧，感悟數(shù)學(xué)文化，掌握科學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法。

三、提煉核心問(wèn)題，思維分項(xiàng)進(jìn)階

教師通過(guò)教材解讀和學(xué)情分析，明確本內(nèi)容的研究主題：正多邊形與圓有什么聯(lián)系？進(jìn)一步提煉出三個(gè)核心問(wèn)題，并將這些核心問(wèn)題分解為一系列具有驅(qū)動(dòng)性的子問(wèn)題（如表1），促進(jìn)學(xué)生的思維不斷進(jìn)階，學(xué)習(xí)逐步走向深處。

表1

在研究主題下，核心問(wèn)題呈現(xiàn)出遞進(jìn)式關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生思維從感知向領(lǐng)悟、內(nèi)化進(jìn)階。而核心問(wèn)題下的驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題既呈現(xiàn)遞進(jìn)式關(guān)系，又存在并列式關(guān)系，共同促進(jìn)研究主題的落實(shí)。

（一）在分析想象中感知正多邊形與圓的聯(lián)系

在探究正多邊形與圓之間聯(lián)系的過(guò)程中，教師需要幫助學(xué)生在頭腦中形成幾何圖形的表象。只有建立豐富的表象，才能進(jìn)行幾何圖形的特征探究。而表象的形成離不開(kāi)分析與想象。

【核心問(wèn)題1】正多邊形與圓有關(guān)聯(lián)嗎？

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：將圓周等分，依次用線段連接等分點(diǎn)，會(huì)形成什么圖形？

教師出示一個(gè)圓，引導(dǎo)學(xué)生想象：圓上有3 個(gè)點(diǎn)，將圓周等分成了3份。依次連接這3個(gè)點(diǎn)，會(huì)得到什么圖形？學(xué)生反饋是正三角形。教師順勢(shì)引導(dǎo)學(xué)生利用正三角形尋找圓的圓心與半徑，接著繼續(xù)提問(wèn)： “若將圓四等分、五等分、六等分呢？”

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：能求出圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)與面積嗎？

教師出示兩個(gè)問(wèn)題：①如果圓的直徑是d，正方形的面積是多少？②如果圓的直徑是d，正六邊形的周長(zhǎng)是多少？（兩題任選其一）學(xué)生反饋：正方形可以分成2 個(gè)高是、底是d的三角形，從而求出它的面積是（如圖7）；正六邊形可以分成6個(gè)邊長(zhǎng)為的正三角形，從而求出它的周長(zhǎng)是×6=3d（如圖8）。

圖7

圖8

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接正多邊形與圓之間確實(shí)存在緊密的聯(lián)系。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)想象：如果將圓周十二等分、二十四等分，依次用線段連接等分點(diǎn)后將會(huì)得到什么圖形？繼續(xù)分割下去又會(huì)發(fā)生什么變化？學(xué)生發(fā)現(xiàn)：正二十四邊形已經(jīng)很像一個(gè)圓。若繼續(xù)分割，將逐步接近圓形。

通過(guò)對(duì)圓的不斷分割，學(xué)生從有限思考拓展到無(wú)限想象，從而得到極限思想的滲透與空間觀念的培養(yǎng)。而計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)與面積，進(jìn)一步展現(xiàn)了正多邊形與圓的結(jié)構(gòu)化聯(lián)系。學(xué)生通過(guò)充分的想象與計(jì)算，初步認(rèn)識(shí)到正多邊形與圓的聯(lián)系。

（二）在關(guān)聯(lián)類比中領(lǐng)悟正多邊形與圓的聯(lián)系

建立豐富的表象是探究幾何圖形特征的前提。教師要引導(dǎo)學(xué)生自主探究正多邊形與圓的特征，并關(guān)注這些特征在正多邊形變化過(guò)程中的變動(dòng)，進(jìn)一步感悟幾何圖形之間的聯(lián)系。

【核心問(wèn)題2】隨著邊數(shù)的增多，正多邊形會(huì)發(fā)生哪些變化？

在邊數(shù)逐漸增加的過(guò)程中，除形狀外，正多邊形的面積、周長(zhǎng)、對(duì)稱軸等都會(huì)發(fā)生相應(yīng)的變化。教師要引導(dǎo)學(xué)生自選其中一個(gè)方面進(jìn)行探究，進(jìn)一步感受正多邊形與圓的聯(lián)系。

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：正多邊形的面積有哪些變化？

對(duì)比正多邊形與外接圓的面積，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：外接圓與正多邊形之間空白部分的面積逐漸減小，因而正多邊形的面積逐漸增大（如圖9）。教師適時(shí)提問(wèn)： “正多邊形的面積會(huì)無(wú)限增大嗎？”

圖9

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：正多邊形的周長(zhǎng)有哪些變化？

通過(guò)圖形測(cè)量、計(jì)算、歸納、概括，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：隨著邊數(shù)的增多，正多邊形的周長(zhǎng)越來(lái)越長(zhǎng)，逐步逼近圓的周長(zhǎng)（如表2）。

表2

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：正多邊形的對(duì)稱軸有哪些變化？

通過(guò)畫(huà)圖與想象，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：正多邊形有多少條邊就有多少條對(duì)稱軸。隨著正多邊形邊數(shù)的增多，其對(duì)稱軸數(shù)量也逐漸增多。而圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，且這些對(duì)稱軸均位于直徑所在的直線上（如圖10）。

圖10

基于此，教師用微視頻介紹劉徽的割圓術(shù)：劉徽通過(guò)極限思想，把圓分割成3072份，最終得到圓周率的近似值3.14，為圓周長(zhǎng)和面積的計(jì)算作出了巨大貢獻(xiàn)。

實(shí)際上，正多邊形與圓的關(guān)聯(lián)遠(yuǎn)不止于此，還有從中心點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離均相等等。教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)對(duì)對(duì)稱軸的探究，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓的對(duì)稱性。同時(shí)，在周長(zhǎng)與面積的變化過(guò)程中，再次深入滲透極限思想，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓周率與圓面積奠定思維基礎(chǔ)。

（三）在應(yīng)用操作中內(nèi)化正多邊形與圓的聯(lián)系

具身操作是內(nèi)化知識(shí)最好的方式。將正多邊形與圓的聯(lián)系用于解決問(wèn)題，可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的正向遷移與內(nèi)化，使學(xué)生的思維水平從結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)走向抽象擴(kuò)展。

【核心問(wèn)題3】如何應(yīng)用正多邊形與圓的關(guān)系解決問(wèn)題？

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：你能利用正多邊形與圓的關(guān)系，只用直尺畫(huà)圓嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣只用直尺通過(guò)不同的方法畫(huà)圓。學(xué)生反饋：一種方法是根據(jù)圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸畫(huà)圓；另一種方法是根據(jù) “圓出于方” ，先畫(huà)一個(gè)正方形，然后不斷切割正方形的角，使正多邊形的邊數(shù)越來(lái)越多，進(jìn)而 “形成圓” 。

無(wú)論是哪種方法，都體現(xiàn)了學(xué)生對(duì)圓更深入的理解和應(yīng)用。學(xué)生在逆向運(yùn)用圓與正多邊形關(guān)系的過(guò)程中，體會(huì)到圓與其他平面圖形的聯(lián)系，并在操作過(guò)程中將所學(xué)知識(shí)付諸實(shí)踐，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的魅力。

●驅(qū)動(dòng)性子問(wèn)題：正多邊形的頂點(diǎn)兩兩相連，會(huì)變成什么圖形？

教師出示相關(guān)圖形，并引導(dǎo)學(xué)生觀察想象：如果邊數(shù)繼續(xù)增加，圖形會(huì)發(fā)生什么變化？通過(guò)動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)圖形的變化（如圖11），驗(yàn)證了正多邊形與圓之間的緊密聯(lián)系。

圖11

教師引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題中兩次應(yīng)用正多邊形與圓的聯(lián)系，將它們的關(guān)聯(lián)進(jìn)行內(nèi)化，并繼續(xù)滲透極限思想，引導(dǎo)學(xué)生想象，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，讓學(xué)生將正多邊形與圓再次進(jìn)行關(guān)聯(lián)，從而感悟數(shù)學(xué)的魅力與美學(xué)。

雖然正多邊形與圓在本質(zhì)上是兩種截然不同的幾何圖形——一種是直線圖形，另一種是曲線圖形，但教師可以從數(shù)學(xué)史的視角出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生重走古人的探索之路，將這兩種圖形進(jìn)行關(guān)聯(lián)。這不僅能滲透極限思想，提升學(xué)生的空間想象力，還有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的結(jié)構(gòu)化理解。而這種結(jié)構(gòu)化理解可以為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)圓周率及圓的面積奠定思維基礎(chǔ)。在教學(xué)設(shè)計(jì)上，筆者所在團(tuán)隊(duì)則嘗試運(yùn)用問(wèn)題鏈驅(qū)動(dòng)的方式，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中自主提問(wèn)、自主探究、自主解決問(wèn)題，從而形成一種自主學(xué)習(xí)的范式，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。