通過“尺規作圖” 突破幾何的局限

武 瓊 烏小黑

（1.陜西省寶雞市渭濱區金陵小學，陜西 寶雞 721008）

（2.陜西省寶雞市金臺區陳倉路小學，陜西寶雞721004）

尺規作圖的教學在小學階段的數學學科教學中具有特殊的作用。小學生普遍處在好奇心最強烈的階段。面對“尺規作圖”這一新鮮事物，學生往往會樂于探究何為“尺”、何為“規”，無刻度直尺和圓規這一組合能發揮怎樣的作用。教師應當在這一階段的教學當中引導學生對“尺規作圖”這一概念進行探究，了解尺規作圖的理論基礎，學習尺規作圖的作圖方法。

一、尺規作圖的含義與淵源

尺規作圖需要借助直尺以及圓規，繪制出幾何圖形，在幾何知識的學習過程中能夠發揮重要的輔助作用。尺規作圖能夠使學生的動手實踐能力和空間想象能力得到良好的培養，推動學生的全面發展。這一方法也得到了越來越多的關注。在數學學科的教育實踐當中，尺規作圖也始終受到關注與應用。尺規作圖最早來源于雅典時期，并在漫長的歷史發展當中衍生出了許多有趣的問題。尺規作圖在當下已經發展成為幾何教學中的重要部分，成為學生研究幾何問題的重要工具。

二、尺規作圖在小學幾何教學中的價值

在小學階段的教學工作中，往往還要面臨著學生基礎薄弱的問題。而能否在這一階段打下良好基礎，決定了學生未來的數學學科學習之路是否順暢。尺規作圖可以充分提高學生的基礎知識水平，進而增強學生對基礎知識的理解，使學生具備更強的解決問題的能力，并使學生的邏輯思維能力得到鍛煉，使學生具有更強烈的學習熱情。在數學學科幾何知識的學習過程當中，尺規作圖能夠對學生的多項技能水平進行很好的鍛煉。在尺規作圖的過程當中，學生可以鍛煉推理能力、問題分析能力與邏輯思維能力，從而提高綜合素質和個人能力。

（一）動手操作能力的增強

幾何圖案往往需要借助一些輔助工具以及輔助線來認知。因此，要想解決數學學科中的幾何問題，就必須具備一定的動手能力。盡管在數學課本上的那些公式和定理，已經經過了眾多優秀數學家的驗證，但這些被整理和總結出來的公式定理往往過于簡練，對于小學階段的學生來說，因為他們還處在思維發育并不完善的時期，所以很難在短時間內理解和接受。學生往往需要通過死記硬背來記住這些知識點，卻并沒有將知識點真正融會貫通。要改變這一現狀，就讓使學生更加直觀地進行觀察和實際動手操作，從而使學生真正對書本上所講解的公式定理產生思考，進而理解公式定理的推導過程。例如，在《矩形周長》一課當中，需要使用直尺完成直線繪制，并依靠圓規完成對固定距離的確定。尺規作圖這一技能，正是通過這兩個特性來實現的。因此，學生在學習尺規作圖的過程當中，就必然要學習對直尺和圓規的運用。

（二）幾何抽象能力的提升

在學習數學學科的幾何知識時，肉眼觀察是一個重要環節。尤其是所面對的知識點具有較強的抽象性時，教師需要引導學生了解怎樣在直觀的圖形中表達出抽象的數學概念。直觀的圖形在幾何知識的教學當中具有舉足輕重的地位，尤其是對于小學階段的學生而言。教師應當注意圖案的精細程度，在尺規作圖的過程當中，需要做到更加精確，從而減小誤差，圖形以更加直觀的形式呈現出來，進而引導學生思考，激發學生的探索熱情，使學生能夠體會到數學學科的特殊魅力所在。通過尺規作圖的鍛煉，學生能夠依靠動手實操近距離接觸圖形的構成，了解其幾何特性，進而形成更為完備的幾何思維。廣大教育工作者應當注意引導學生形成尺規作圖的基本概念，使學生了解尺規作圖是如何實現的、能夠作出何種圖形以及不同的圖形尺規作圖的操作步驟，并了解尺規作圖背后的原理，增強空間感與想象力。例如，在人教版四年級下冊的《三角形》一課中，學生需要利用三條給定長度的線段，并依靠尺規作圖的方法，以圓弧確定焦點，使三條線段能夠移動拼接，形成一個三角形。學生在這個過程當中能夠體會到線段是如何轉化為圖形的，也能夠在動手實操當中展開思考，組成三角形的三條線段之間的關系，進而探究怎樣的三條線才能夠組成三角形，從而使學生推導出能夠構成三角形的線段有怎樣的特性、互相之間存在著怎樣的關系，從而對三角形這一圖形的了解更加深入。

三、小學數學尺規作圖教學現狀

從學習的角度來看，一方面要運用學習過的知識進行未知世界的探究，另一方面要運用學習過的知識展開問題的解決。因此，必須將學習與生活互相結合，讓書本知識融入生活。尺規作圖是一種較為簡單的實踐。就小學數學教學而言，當成功引入尺規作圖這一課題后，不僅有利于新課標要求的更好滿足，而且有利于學生創新能力的深層次培養，尤其是符合綜合素質培養的實際需求。創新能力和思維方法的培養將為學生未來的發展打下良好的基礎。

（一）新課標中對小學數學尺規作圖的要求

新課標中規定了在義務教育階段的培養要求，并對這些要求進行了細化。從小學中段學生角度來看，要在尺規作圖的作用下，既要掌握已知線段繪制的方法，也要掌握將三角形三條邊繪制在同一條直線上等方式。高年段的學生還應當學會利用圓規畫圓以及利用尺規作圖探究三角形的特點與三邊關系。與以前的課程標準相比，新課標在尺規作圖方面更加側重于引導學生了解尺規作圖背后的邏輯，從而讓學生在動手實踐中學習理論知識，促進學生綜合素養的提高，為學生未來的學習打下良好的基礎。

（二）小學數學教學中尺規作圖的難點

在尺規作圖的學習當中，小學階段學生的思維能力水平往往是最大的局限因素。小學階段的學生邏輯思維能力和探索認知水平還不夠高，對于世界的探究還處在觀察和分析當中，還沒有形成一套嚴謹的思維邏輯。尤其是低年級的學生，往往很難理解尺規作圖的定義和方法。低年級的學生往往掌握的數學概念較少，在探索問題時缺乏一些基礎知識，也就無法充分發揮直尺與圓規的工具作用。而與此同時，低年級的學生往往具有較為旺盛的精力和跳躍性的思維，在課堂上容易出現走神的情況，跟不上教師的思路，也容易把教學工具當成玩具來擺弄，使得作圖工具不僅對學習無法發揮幫助作用，反而適得其反，影響了學生的學習。

四、尺規作圖在小學數學中的教學策略

學生是課堂教學工作的核心，而教師則應當扮演一個引導者的角色，帶領學生完成課堂上所布置的學習任務。在尺規作圖這一模塊，就需要學生加強對圖形的認知和對概念的理解。尺規作圖能夠在學生的腦海中構建起抽象概念模型，使得學生的空間想象能力得到全方位的提升、邏輯思考能力得到多維度的發展。

（一）在實際教學過程中提出并解決問題

處于小學階段的學生在學習期間缺乏必要的主觀能動性作為支撐，需要在教師的引導之下被動地學習。這就需要教師加強課堂引導，提出問題和學習任務，在保持學生課堂主體地位的前提下正確把握教學方向，充分激發學生的興趣，在潛移默化中引導學生向著正確的探究方向前進。提出問題和解決問題可以使學生的邏輯思考能力得到有效增強。除此之外，尺規作圖還能有效增強學生的自信心和成就感，激勵學生主動思考問題。例如，在對尺規作圖進行初步接觸的過程當中，教師可以布置一個開放性的課后作業，使學生感知尺規作圖作為一項重要工具對于幾何知識學習的作用，進而思考如何利用尺規作圖解決遇到的實際數學問題。教師可以啟發學生嘗試通過獨立思考和合作探究，感受在尺規作圖當中利用圓規畫弧所產生的作用，進而啟發學生發現兩弧交點這一重要的解題關鍵。在這個情境的創設當中，學生可以體會到尺規作圖所帶來的樂趣，獲得自主探究的成就感。即使最后沒法獨立探究出正確結論，也可以對自身的解題過程進行反思。這一環節也為后續尺規作圖畫三角形的課程教學提供了鋪墊，達到了課程教學事半功倍的作用，提高學生的探索欲望和學習熱情，使學生真正接觸到數學的魅力所在。

（二）注重推理和思考的過程

盡管大多數數學題目的結果是唯一的，但思考的過程和使用的方法卻并不唯一，這主要取決于學生個人能力的高低和思維方式的不同。在學習尺規作圖和將尺規作圖應用到實際問題當中時，也會由于學生綜合能力和偏好的不同產生不同的作圖方法。這種差異性也體現了思維的多樣性。推理和思考能力需要依靠于后天的學習，來自于不斷的鍛煉。因此，小學階段的數學教育工作者，應當在開展課堂教學活動時注意結果并不是唯一要關心的事情，也應當關注學生解題的過程，發現學生在思考過程當中是否存在誤區。在進行尺規作圖的教學工作時，教師可以將不同的方式按照嚴謹程度排出先后順序，并為學生詳細講解它們的推理過程，并指導學生對幾種作圖方式進行比較，看一看不同的思路之間的差異，找到各自的優勢與不足之處。這也可以使學生明白，在解題的過程當中，有哪些推理步驟是不能省略的。也可以使學生獲得更加深刻的印象，為課堂教學的成效提升提供更多的幫助和支持。此外，教師對尺規作圖的教學工作，也不應當被限制在知識點的框架之內，也可以將尺規作圖作為一項充滿趣味的探索性內容，引導學生按照自己的興趣展開自主探究，使學生感受數學學科的魅力所在。

（三）教學內容設計依照實際情況

以人為本的教育理念常常被我們反復提及，在尺規作圖的教學工作中也不例外。在對教學內容進行設計時，應當遵守總體性原則與漸進性原則，從而使學生打下良好的學科知識基礎，不斷提升自身的知識水平與思維邏輯。教師也應當針對不同年齡段的學生制定相應的教學計劃，使學生隨年級的不斷升高而不斷進步，循序漸進的掌握更多的知識內容，不斷增強自身的認知水平。而要想達到這種循序漸進不斷進步的效果，就需要教師在教學內容的設計上充分考慮到學生思維能力的發展階段。對于小學階段的學生來講，可以簡單地根據年齡劃分為低年級、中年級和高年級。而對于不同層次的任務，也可以大致分為三個階段。第一個階段要讓學生熟悉尺規作圖這一概念，能夠對尺規作圖的基本應用熟練掌握。第二個階段則要對尺規作圖產生理解和思考，并對背后的理論與操作方法進行探索。第三個階段，則要把思考的內容應用到實際問題當中，真正做到活學活用、融會貫通，能夠在解決實際問題時，發揮自身的想象力和主觀能動性，體會尺規作圖當中所蘊含的數學理念。如果對一個知識點只有死記硬背而沒有深入的理解，就很容易將這個知識點忘記。但如果對知識點產生了研究和思考，就可以在這一過程當中記得更加牢固，形成自身的思維模式，而非機械的記憶。更為重要的是，尺規作圖的學習過程與學生的綜合素養提升之間同樣具有非常緊密的聯系。

（四）注重給予學生反饋和評價

就教師的評價與反饋而言，其對于檢驗學生的學習成效來說，有著重要的影響和深遠的意義。同時，當教師的評價與反饋具有及時性和準確性后，有利于讓學生在更短的時間內實現自身學習效果的提升。特別是在尺規作圖的背景下，學生的動手實踐能力能夠得到較好的提升，但想要實現這一愿景，需要教師對學生進行正確的指導和幫助。此外，教師的評價與反饋與教師對學生的關注程度之間有著直接相關的正向關系。如果一些學生的學習主動性不夠好的話，較高的關注程度也是一種激勵方法，可以提高學生參與到課堂學習中的積極性，也能夠促使學生養成良好的學習習慣。除了教師的評價之外，同學之間的評價也十分重要。這種評價所能帶來的滿足感是其他激勵所無法替代的。

五、結語

總的來說，在小學階段的數學學科學習過程處在打牢基礎的一個階段，對學生思維邏輯的鍛煉和思考能力的提高具有十分重要的意義。而尺規作圖能夠極大地提升學生的個人能力，使學生的思維得到鍛煉，認知水平得到提升，綜合能力素質得到提高。在幾何知識的教學當中，廣大小學數學學科教師應當充分重視到尺規作圖的重要價值，把尺規作圖運用到幾何知識的教學工作當中，打破課本對于幾何知識的局限，引導學生學會使用尺規作圖解決所遇到的數學問題，激勵學生自主地探索尺規作圖背后蘊藏的幾何思維。尺規作圖，將幾何知識的教學從靜態的知識點變成動態的邏輯思維，真正促進學生個人能力的提高，提升學生的綜合素質能力水平，推動學生的全面發展。