運用多元表征培養學生數感的教學探索

作者簡介：陸桂莉，1985年生，廣西南寧人，本科，一級教師，主要研究方向為小學數學教育。

摘 要：數感是小學數學核心素養的主要表現之一。自《義務教育數學課程標準（2022年版）》實施以來，數感的培養得到了中小學數學教育界格外的重視。小學數學教師雖然都知道培養學生數感的重要性，但如何通過優化數概念教學培養學生數感，仍然是個難以突破的實踐難題。以人教版數學二年級下冊“1 000以內數的認識”教學為例，通過整合教材中的例2和例3展開課例研究，教師可以借助“情境引數，建立數感”“活動感數，發展數感”“生活悟數，提升數感”這三個教學步驟，運用數學多元表征的學習方式，整體優化數概念課堂教學，從而構建起數概念教學“三部曲”，培養學生數感。

關鍵詞：多元表征；培養數感；情境引數；活動感數；生活悟數

中圖分類號：G62 文獻標識碼：A 文章編號：0450-9889（2024）10-0065-04

數學概念是整個數學知識結構的基礎，其中數概念的教學核心是培養學生的數感。然而，在實施小學低年級的數概念教學時筆者發現，一些學生對數概念的學習內容并不是十分感興趣，認為這些有關數的認識的學習自己早已知道。事實上，這種“知道性”學習，往往是只知其然而不知其所以然，學完以后依然說不出數的意義，對數的感知能力依然薄弱，更不會在生活中感知數、運用數、表達數，無法形成良好的數感。此外，許多教師在數概念教學中也存在一定的問題，比如重趣味輕實效、重內涵輕外延、重抽象輕表象、重結論輕過程、重實物表征輕語言表達、重概念建構輕知識應用等。一些教師甚至對數感的培養存在認知上的盲區：只知道數感在小學數學教學中很重要，但如何在教學中落實對學生數感的培養并不是十分清楚，也沒有進行過相關的研究。那么，如何在教學中培養學生的數感呢？筆者認為，數學概念具有一定的抽象性，數概念對低年級小學生來說尤其抽象難懂，而小學低年級又是學生學習數概念較為集中的階段，在低年級的數學課堂教學中培養學生的數感，是非常值得探究的問題。

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數學課標》）明確指出，數感主要是指對于數與數量、數量關系及運算結果的直觀感悟［1］7。由此可以看出，對于抽象的數概念教學，《2022年版數學課標》更加強調了學習過程的直觀性，便于學生在直觀的學習過程中有所感悟。為了達到這個教學效果，教師在教學中可以采用多元表征的教學方式，把數概念和直觀模型聯系起來。

表征是認知心理學的重要概念，我國心理學家荊其誠先生認為表征是信息在心理活動中的呈現和記載方式［2］12，所以表征也稱心理表征（mental representation）。隨著信息技術越來越廣泛地應用于心理、教育等領域，表征的含義得到了擴展與豐富，此階段的表征是指：當認知對象缺席時，可以用來代替認知對象的任何符號或符號集。而所謂的認知對象，既可以是外在客觀世界的一個事物或事物的某一特性，也可以是人的內在的想象與認知。在數學學習中，既有內隱的心理層面的知識整合與建構，也有外顯的能夠呈現認知過程和認知結果的多樣化的數學表達，這就是數學多元表征。目前研究的數學多元表征本質上是使用不同性質的外在表征形式替代數學學習對象，使思維過程可視化、顯性化，使數學理解走向多角度多思維，促進內在表征（心理表征）的豐富、生動與深刻［2］13。美國數學教育心理學家萊什（Lesh）提出了概念的五種外在表征系統，即實物情境表征、教具模型表征、圖形或圖表表征、言語表征、書寫符號表征［3］。筆者將該系統運用于數概念教學，構建了數概念教學的多元表征系統（如圖1）。下面筆者以人教版數學二年級下冊“1 000以內數的認識”教學為例，通過整合教材中的例2和例3，探討在數概念教學中運用多元表征培養學生數感的教學策略。

圖1 根據萊什的多元表征系統構建數概念的多元表征系統

一、教學準備

為了準確把握二年級學生學習“1 000以內數的認識”的現狀及所存在的問題，筆者在課前準備階段對部分剛剛學完本課的學生進行了調查，希望借此診斷教學中可能存在的問題。

（一）學情調查及結果分析

調查結果顯示：二年級學生的思維形式已經開始從形象思維向抽象思維過渡，他們對于1 000以內數的組成和讀、寫是沒有多大問題的，但是讓他們說說1 000以內數的意義以及他們對1 000這個數的大小的感知，學生普遍存在感知困難。對于這個結果，筆者不免有些困惑：首先，學生學習1 000以內數的組成和讀、寫都不難，為什么唯獨對1 000這個數的感知普遍薄弱呢？本課教學的難點究竟在哪里？學生的學習難點又在哪里呢？其次，在常規教學中，教師都會給學生提供教材上的點子圖、小棒、計數器這些學習素材，為什么學生還是不能合理估數呢？常規教學中，教師已經給學生安排了擺一擺小棒、撥一撥計數器等動手操作活動，為什么學生還是說不出數的意義呢？

（二）問題成因分析

仔細回顧教師們的整個教學過程，筆者發現，導致出現以上問題的原因，可能來自兩個方面。一方面，在本課教學中，有些教師將教材中的3個例題進行了整合教學，導致教學內容過多，學生感知數的時間過少，從而不利于學生數感的培養和發展。雖然人教版教材例2、例3中呈現了點子圖、小棒、計數器、數軸等多元學習素材，但教師并沒有對這些學習素材進行關聯和優化，學生盲目地跟隨教師的指令進行操作，卻沒有將直觀操作與以抽象思維為特點的數概念關聯起來，即外在表征與內在表征沒有統一起來，從而導致學生沒有真正理解數概念的本質，不能有效感知數的意義。也有一些教師過分關注“數的認識”的結果，認為學生知道數的組成和讀、寫就行了，因而沒有給學生足夠的時間去經歷操作、體驗，感知數的大小的過程，導致學生對“位值”的體驗不夠，從而無法形成對數位的深刻感悟。另一方面，有些教師沒有通過創設適宜的數學問題情境，更沒有搭建適合的學習支架把例2和例3有機地整合起來，導致學生沒有經歷整體感知知識間的聯系的過程，因此對大數1 000的感知存在明顯不足。

二、教學實施過程

為了避免出現以上問題，筆者經過反復研究，決定綜合運用多元外在表征促進學生內在表征的豐富、生動與深刻，并為此構建了數概念教學“三部曲”（如圖2），通過“一引”“二感”“三悟”促進學生對數概念的理解，發展學生感知數、估數的能力。其中的“情境引數”指的是創設生活情境，由實物引出數；“活動感數”指的是讓學生在數數活動中感知數的本質；“生活悟數”則是讓學生結合現實生活情境悟數，檢驗學習效果。下面筆者以“1 000以內數的認識”為例，探討數概念教學“三部曲”的實踐。

圖2 數概念教學“三部曲”

（一）情境引數，建立數感

《2022年版數學課標》在第一學段教學提示中指出：數的認識教學應提供學生熟悉的情境，使學生感受具體情境中的數量［1］20。小學生的思維是直接建立在表象上的，學習的知識越接近學生熟悉的生活情境，學生越容易理解。受年齡的限制，低年級小學生的生活經驗還不夠豐富，因此在理解一些復雜、抽象的數學問題時會存在較大的困難，而實物和情境是他們認識數的一種直觀的表征方式。實物情境表征指的是借助實物解釋學習內容或問題情境的一種表征方式。教師可以在導入環節借助實物情境表征呈現學生所熟悉的實物，由實物引出數，幫助學生初步建立數感。

例如，在“1 000以內數的認識”的教學導入環節，筆者創設情境，用學生熟悉的糖果實物引出例2中的百位數235，開啟了這節新授課。

師：同學們，6月有一個屬于你們的節日，知不知道？（齊答“知道”）沒錯，“六一”兒童節。兒童節就要到了，老師給同學們準備了一些小禮物，請看！（教師從袋子里抓出一把實物糖果）你能估一估它們大約有多少顆嗎？不好估？那老師把糖果平鋪開來。（教師用課件出示糖果圖，如圖3。）現在請你估一估這里大約有多少顆糖果吧。還不好估？那老師再給出一個標準量“100”（圈出一部分糖果），請大家再估一估。

圖3 糖果估算實物情境圖

糖果是多數小學生喜歡的食物。這樣的實物情境表征，不僅調動了學生學習的興趣，而且讓學生感受到了數學來源于生活，可以在拋開現實情境中的實物的物理屬性之后抽象出數，感受到大數的引入也是源于“用數學的語言表達現實世界”的需要。這樣的實物情境表征在其他數概念教學中同樣適用，如“認識分數”可由蛋糕、月餅的切分引出分數、“認識百分數”可由不同甜度的糖水引出百分數。諸如此類的實物情境表征，旨在給學生提供充分的可感知的現實生活情境，使學生可以將數概念與它們所表示的實際含義建立起聯系，從而逐漸發展學生的數感和估算能力。

（二）活動感數，發展數感

著名數學家波利亞說：學習任何知識的最佳途徑是自己去發現，因為這種發現理解最深，也最容易掌握其中的規律、性質和聯系。低年級學生認識數的學習過程少不了數數。因此，執教“1 000以內數的認識”一課，可以設計多層次、多角度、多維度的數數活動，讓學生去認識數的組成，學會讀、寫數，從而逐漸加深對“1 000”這個數的認識，發展對大數的數感。

1.運用圖形表征引出數數過程

圖形表征是借助圖形的幾何直觀或者建立表象對概念進行表征的一種表征方式。比如針對教材中的例2，筆者通過創設情境，用“235顆糖果”抽象出“235個點子”的點子圖（如圖4），經歷由“散亂的實物”到“有結構的點子”的數學抽象過程，從實物情境表征過渡到圖形表征，由具體到半抽象，讓學生經歷數學思維結構化、數學表達圖形化的過程；接著讓學生通過操作活動，學會用計數單位“一”“十”“百”去圈畫點子圖（數數），發展“進率”概念，使學生對數的組成產生結構化的直觀認識。

圖4 將235顆糖果抽象為有結構的235個點子

在數數活動中，學生用言語表征經歷用計數單位“一”“十”“百”數數的過程，體驗引入較大的計數單位的必要性，感受幾個百、幾個十、幾個一用加法組合起來表達一個三位數的數學表達方式。

如果把本課教學中的例2和例3整合在一起進行教學，可以整體優化課堂教學。圖形表征“點子圖”具有直觀、可視的作用，是認識自然數的有效工具；數軸這一圖形表征則是“數”與“形”的完美結合，是認識自然數、小數、分數的直觀工具，借助數軸認識數，很容易發現數字系統的內部結構，這對學生數概念的最終形成有很大幫助，有助于全面發展學生的數感。因此，在本課教學中，教師可以繼續呈現更多的點子（如1 000個），利用彩點點子圖與數軸結合推進圖形表征教學，讓學生仔細、認真地觀察彩點點子圖并數數，在觀察和數數的活動中感悟1 000這個數究竟有多大。

師：剛才我們一起研究了235這個數，同學們對百位數有了自己的認識。敢不敢挑戰更難的任務？（齊答“敢”）其實老師準備的糖果不止235顆。這一次，老師用彩點代替了糖果，有這么多（課件呈現彩點點子圖，如圖5上）。你能用最快的方法數出這么多的彩點究竟有多少個嗎？這一次，老師還請來了數軸幫助大家（呈現數軸圖，如圖5下）。這個彩點點子圖與數軸圖同樣出現在了你們的學習單上，請拿出你們的學習單數一數吧。

本環節筆者再次讓學生經歷了由圖形表征向語言表征轉換的過程，從圖形中逐步抽象出1 000這個數和計數單位“千”“百”“十”，使學生認識到了用數軸表示數的新方法及其便捷性，體會到了數序的概念。學生從不同角度去認識1 000這個數，有了自己的發現，如1 000里有100個10、100和900合起來是1 000等，并在觀察和數數的過程中進一步發展了對1 000這個大數的數感。之后教師聯系例2，讓學生在數軸上找一找235這個數，學生在這次找數活動中對數軸有了更豐富的認識，逐漸熟悉了數軸中的數序。

由此可見，圖形表征在數概念教學中發揮了直觀化的作用，方便學生通過觀察圖形建立數的表象，理解知識點之間的聯系。

2.運用教具模型表征理解數的本質

教具模型表征指的是顯示數學學習對象的內在關系的具體物。學生在認數時離不開直觀模型，這與小學生形象思維的特點是分不開的。“形”作為學習內容的載體，能將抽象的數形象化，幫助學生較好地理解數的意義、培養數感、掌握讀寫數的方法，使學生可以通過操作具體物的學習材料內化概念，進而理解數的本質。

例如，在理解235這個數的組成時，筆者對各版本的小學數學教材進行了分析，為學生精心準備了豐富多樣的操作材料：除了人教版教材中出現的直觀、結構化的小棒和計數器，還有計數小方塊以及學生熟悉的人民幣。學生在小組合作交流的活動中，通過操作多元化的教具模型，嘗試從數概念的各個方面認識數，體會到了表示數的多種方式（如圖6）。接著筆者提出了下面的核心問題，促進學生對數的本質的理解：“為什么你們選用的學具不一樣，卻都能表示235呢？”最后筆者讓學生對照計數器上的數位寫出和讀出數。在這個教學環節，筆者從問題出發，利用操作表征、語言表征、符號表征間的轉換，引導學生從直觀到抽象，既建立了“位值”概念，深入了解了數的組成，體現了讀、寫數的必要性，又理順了相關知識間的聯系。

圖6 學生對235這個數的多元化教具模型表征

由此可見，在數概念教學中，教師應想辦法給學生提供豐富的素材滿足學生不同的學習需求，使學生在操作活動中感受數的本質、理解數的意義。以上探究教學，筆者不僅注重多元表征的呈現，而且善于在教學中運用多元表征間的轉換、互譯，設計可以充分調動學生多種感官的學習活動，幫助學生積累數學活動經驗，讓學生經歷從具體到半抽象再到抽象的思維發展過程，從而逐漸深刻地理解數的意義，發展對1 000這個大數的數感。

（三）生活悟數，提升數感

數學概念的教學既要引導學生由具體到抽象，形成有關的數學概念，又要讓學生由抽象到具體，學會運用數學概念［4］，即用語言表征去表達現實世界。數來自生活并用于生活。為進一步強化學生的數感，在本課的最后環節，筆者選擇了生活中的一些常見物品（1 000張紙，1 000個人，1 000顆黃豆），讓學生多角度感受1 000有多大，如：估一估1 000張A4紙的厚度；問一個班大約50人，多少個班的人數大約是1 000人；一把黃豆有100顆，估一估，1 000顆黃豆可以裝到瓶子的哪個位置。

在這個環節，當老師問到1 000顆黃豆可以裝到瓶子的哪個位置時，學生積極回答：100顆黃豆在這里（手勢表示），因為1 000里有10個100，接著學生用手一百一百地進行比畫，大概比畫到了瓶子中間的位置就是1 000。學生通過實物、言語等多元表征，進行數與數的參照、量與量的對比，用重量、厚度、空間感將1 000這個抽象的數字還原到物體的數量上，變得形象直觀“看得見”，從而建立起對1 000這個數的具體、形象、豐富的認識。教師在教學活動中，以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性，引導學生進行估算，不斷增強學生的估算意識，使學生對1 000這個數有了更深的感悟。由此可見，在數概念教學中，教師應重視生活悟數這個教學環節，運用多元表征引導學生學會用數概念表達現實生活的意義，實現對數概念的深度理解，從而提升學生的數感。

綜上所述，筆者借助數概念教學“三部曲”之“情境引數，建立數感”“活動感數，發展數感”“生活悟數，提升數感”，運用多元表征優化課堂教學，幫助學生建立知識之間的聯系，從多層次、多角度、多維度實現了數的意義建構，同時達成了培養學生數感的目的。

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］程紅霞.以多元表征學習深化學生的數學理解［J］.小學數學教師，2021（10）.

［3］趙春香.優化表征呈現 助力概念教學［J］.小學數學教育，2023（22）：25-26.

［4］倪芳華.在多元表征中深化數學概念理解［J］.教育界，2018（4）：115-117.

（責編 白聰敏）