大學數(shù)學互動式教學研究與實踐

*基金項目：2023年度黑龍江省高等教育學會高等教育研究課題“數(shù)字賦能新時代大學數(shù)學互動式教學的研究與實踐”（23GJYBJ055）；2022年度哈爾濱師范大學高等教育教學改革研究項目“OBE教育理念下數(shù)學類課程思政的教學改革與實踐”（XJGZ2022010）；2023年度哈爾濱師范大學高等教育教學改革研究項目“高等數(shù)學教學模式的改革與實踐研究”（XJGZ2023007）；天津中德應用技術大學2023年教學質量與教學改革研究計劃重點項目“基于教學評估的應用型本科高校數(shù)學類課程教學大綱的制定與實施”（A2304）。

" "作者簡介：李萍（1976—），女，碩士，副教授，研究方向：學科教學（數(shù)學） ；呂學琴（1979—），女，博士，教授，研究方向：微分方程數(shù)值解；侍述軍（1980—），男，博士，教授，研究方向：偏微分方程與幾何分析；王智（1976—），男，碩士，講師，研究方向：數(shù)學教育。

[摘 要]數(shù)字化時代互動式教學是一種以現(xiàn)代信息技術為載體，以激發(fā)學生學習興趣，提高學習效果為主要目的，以改善和提高學生的學業(yè)水平、學習能力為最終目的的教學方式。文章主要介紹了大學數(shù)學課程實施互動式教學所面臨的問題及采用互動式教學法的重要性。研究了開展互動式教學的措施，并結合大學數(shù)學課程的教學實踐，分享了課程互動式教學過程中的幾個具體實踐，并進行了分析與評價。

[關鍵詞]數(shù)字化時代；互動式教學；問題情境；教學效果

[中圖分類號] G642" " " " " " [文獻標志碼] A [文章編號] 1008-2549（2024） 05-0102-04

互動式教學貫穿小學、初中、大學的各個階段，在實現(xiàn)學生在課堂教學中的主體地位，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維及終身學習能力中起著至關重要的作用。由于大學數(shù)學課程無論從深度還是廣度來講，對學生都是一個考驗。開展互動式教學，教師必須思考如下問題：如何培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力；如何鼓勵學生大膽求真、勇于表達；如何引導全員融入多邊互動環(huán)境，激發(fā)學習被動、不愿思考的學生產生互動的興趣并積極參與互動[1]。教育數(shù)字化時代的到來，給互動式教學注入了新的生機。2022年《教育部2022年工作要點》發(fā)布，提出了實施教育數(shù)字化的戰(zhàn)略行動，積極發(fā)展“互聯(lián)網+教育”，加快推進教育數(shù)字轉型和智能升級。

一、大學數(shù)學課程教學現(xiàn)狀及學情分析

數(shù)字化時代，大學數(shù)學課程教學改革面臨著很多機遇和挑戰(zhàn)。了解數(shù)字化時代的特點及優(yōu)勢，掌握大學數(shù)學課程教學的現(xiàn)狀，掌握學生的學情，才能更好地開展教學改革。

（一）大學生數(shù)學學習基礎及學情分析

大學數(shù)學復雜難懂，學生往往在學習之初表現(xiàn)出很高的熱情，但隨著時間流逝，熱情會慢慢消失。一方面是因為大學數(shù)學本身抽象難懂，另一方面是學生的數(shù)學思維能力薄弱、以及錯誤的數(shù)學思考習慣導致的。他們在學習大學數(shù)學的過程中多是照著例題模仿，缺乏思考、總結的過程，對知識的遷移能力不足，困難越積越多。想改變這種狀況，就需要大學數(shù)學教師積極的引導學生思考，有意識的培養(yǎng)學生正確的學習習慣和學習能力。

轉變教學觀念、提高教師自身理論水平是實施互動式教學的關鍵。很多教師從事教學多年，傳統(tǒng)教學觀念根深蒂固，很難在短時間內改變。大學數(shù)學課程普遍課時較少，內容繁多，很多教師認為實施互動式教學需要耗費大量的課堂時間，會導致教學任務無法完成。互動式教學的效果還會受到學生情緒的影響，想要達到互動的預期效果需要教師具有較高的知識水平及語言能力。目前，互動式教學在大學數(shù)學課堂上實施多限于師生問答及練習，互動較少。一些教師為了在有限的學時內完成教學任務，不愿在課堂上花時間讓學生動手練習，而是把實踐壓力都留在了課后，學習效果依賴于學生的自律能力。教師要認識到，進行互動式教學不是教師的講與學生的練分別發(fā)生，而是二者的融合實施。教師有目的地選擇組織教學過程的最佳方案，保證在規(guī)定的時間內，使教學和教育任務的解決達到可能范圍內的最大效果[2]。

教師要將教學理論應用到教學實踐中，實施過程很重要，需要教師具備多方面的能力，如收集和處理信息的能力、收獲新知識的能力、提出問題的能力、思考問題的能力、分析和解決問題的能力和創(chuàng)設問題情境、使用信息技術、創(chuàng)建數(shù)學模型的能力。同時，教室還須了解數(shù)學學科的發(fā)展史，關心國家大事，能夠將數(shù)學文化應用到教學中。這就需要教師既要在平時的生活中多學習，努力提高自己，也要加入課程組，發(fā)揮團隊的優(yōu)勢，集思廣益。

大學數(shù)學課程結合現(xiàn)代化教學平臺，實施混合性教學是很多高校數(shù)學教師的選擇。實施混合式教學、進行教學實踐、積累教學經驗、形成教學成果、申報一流課程，這一系列的教學改革都需要政策的保障。有了政策的保障，教師才能放開手腳，大膽進行教學嘗試。課時安排上要為混合式教學提供線上課時和線下課時，利用多媒體技術進行情境教學需要網絡技術和平臺的支持，要進行教學技能培訓、理論培訓、制定激勵機制等提高教師的能力和熱情。

二、大學數(shù)學課程實施互動式教學法的重要性

傳統(tǒng)的互動式教學法是教師和學生通過交流、協(xié)商、探討等方式，激發(fā)教學雙方的主動性、創(chuàng)造性的教學方法。實施互動式教學就是要在平等、民主的條件下，讓學生處于輕松、愉快的環(huán)境中，充分發(fā)揮自己的想象力，積極參與活動、積極思考、積極討論，從而在教師主導的多樣性的教學活動中實現(xiàn)學生的主體地位，提高學習能力。教師作為活動的組織者，需要思考如何選擇、組織學生進行活動，如何構建互動的外部環(huán)境，發(fā)揮教師的主導作用，把教與學有機地結合起來。數(shù)字化時代，信息技術、教育平臺、大數(shù)據等網絡技術手段的融入給大學數(shù)學互動教學帶來了新的方式，互動式教學不僅有師生互動，還有學生與平臺互動，教師與平臺互動，以及生生互動等多種互動方式。互動式教學是提高學生主觀能動性、培養(yǎng)學生學科素養(yǎng)及自主學習能力的有力保障。

三、大學數(shù)學課程互動式教學實施策略

全球范圍內，教育體系正經歷著數(shù)字化轉型的浪潮，高等教育領域也不例外。在轉型過程中，要將學習者和教育工作者置于中心位置，滿足他們不斷變化的需要[3]。互動式教學能夠體現(xiàn)教師的主導作用和學生的主體地位，借助數(shù)字化發(fā)展的機遇，其實現(xiàn)方式更加豐富。

（一）利用線上教學平臺開展互動教學

作為互動的重要載體，教學平臺的使用在實施互動教學過程中起著重要的作用。利用教學平臺可以發(fā)布預習資料、進行預習檢測、發(fā)布討論題目、進行調查問卷、數(shù)據分析等等。學習平臺時間靈活，不受時間和空間的限制，可以重復的學習。學生通過參與教學平臺的學習，互動來完成課前的預習，教師通過數(shù)據反饋來了解學生的學習情況。教師還可以通過教學平臺進行總結、答疑、考試、競賽等等。教學平臺還能對數(shù)據進行統(tǒng)計分析，為教師教學提供重要的參考。

（二）借助現(xiàn)代化技術手段創(chuàng)設問題情境，引導互動

問題情境是指教師在掌握學生現(xiàn)有學習基礎的前提下，有目的、有意識地創(chuàng)設的問題環(huán)境。“創(chuàng)設問題情境”是指教師精心設計一定的客觀條件，如提供學習材料、動手實踐、解決問題的方法等，使學生面臨某個迫切需要解決的問題，引起學生認知沖突，激發(fā)學生的學習興趣。利用現(xiàn)代技術手段可以創(chuàng)設出生動、形象直觀的問題情境，以動態(tài)演示的方式對最終呈現(xiàn)的效果進行演示，激發(fā)學生興趣，使教學情景更加輕松愉悅，讓學生更加容易理解，在動態(tài)的情境中更好地構建知識體系。

（三）開展主題探討，培養(yǎng)團隊合作意識

開展主題討論的前提是要有一個“切入點”。一個能讓學生感興趣的、能調動學生積極性的題目。可以是一些與生活相關的話題，如線性方程組在交通問題中的應用、矩陣在經濟學中的應用等等。教師將學生分成若干學習小組，每組設一個組長。教師布置討論題目，組長負責帶領組員進行分析、討論，匯總討論結果，形成討論報告。每組代表展示討論的成果。教師進行點評，指出優(yōu)點及存在的問題，根據小組表現(xiàn)記錄平時成績、加以適當?shù)墓膭罨颡剟睢３诉M行小組討論外，學習小組是互助的學習共同體，大家共同學習、互相幫助、共同進步。

（四）參加學科競賽，通過實踐提升專業(yè)技能

大學生能參加的競賽很多，如“高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽”“深圳杯全國大學生數(shù)學建模競賽”“全國大學生數(shù)學競賽”等國家級的競賽。還有各種省級、校級、院級的學科競賽。這些競賽多以團隊形式參賽，學生分工協(xié)作，共同經歷成功或失敗，在競賽的過程中不但得到了鍛煉，而且加深的同學友誼、培養(yǎng)了合作意識、有了團隊的集體榮譽感。同時，競賽需要應用多學科知識，提高了學生知識的廣度、深度，把書本理論與現(xiàn)實生活結合起來，真正鍛煉了學生提出問題、分析問題和解決問題的能力。

四、大學數(shù)學互動式教學的應用實踐及反思

互動式教學可以應用在教學的各個階段，可以采用傳統(tǒng)式的師生互動，也可以采用多維互動。多維互動式教學模式的核心是以學生為中心，建立學生與學習內容、學生與學生、學生與老師等多角度、多方位、多層次的交互活動過程[4]。

（一）教學實踐案例

1.問題引導互動，探究問題答案

以“復數(shù)域上的多項式”教學為例，教師給出代數(shù)基本定理，提出問題：

問題1：多項式在復數(shù)域上有多少個根？

問題2：復數(shù)域上什么樣的多項式可約？什么樣的多項式不可約？

問題3：次數(shù)大于零的多項式在復數(shù)域上典型分解式如何？

復數(shù)域上多項式的相關問題比較簡單，知識點的選取是學生通過討論可以解決的。教師引導學生思考問題、總結問題、表述問題，進而得出結論，優(yōu)于傳統(tǒng)教學中給出結論，引導論證的教學方法。

2.借助幾何直觀，利用問題引導師生互動及生生互動

以“施密特正交化方法”教學為例，教師采用“啟發(fā)－探究”“小組討論”的教學方法，以及“直觀感知-操作確認”的認識過程組織教學活動。通過一系列的教學活動，引導學生進行主動的思考、探究、總結，幫助學生實現(xiàn)從具體到抽象、從特殊到一般的過渡，從而完成命題的推導與驗證，并且在充分理解命題的基礎上能對其進行簡單應用。借助幾何直觀，在互動過程中體會施密特正交化方法的推導及驗證過程，能夠應用施密特正交化方法推導簡單結論，并在師生互動及生生互動過程中，培養(yǎng)集體觀念、提高團隊合作意識及能力，提高思考問題、解決問題及總結結論的能力。

問題1：考慮二維幾何空間中，基可以是正交的也可以不是正交的，作為兩組基，它們之間有什么關系？教師通過引導學生進行思考，引出關聯(lián)矩陣及過渡矩陣，得出結論：過渡矩陣是可逆的，也就是說，這兩個基之間是可以相互表示的。

問題2：設是兩個線性無關的向量，想找兩個可由它們線性表示的正交向量怎么找？教師通過組織學生在小組討論中得出結論：過渡矩陣都是可逆的，而且可逆矩陣都可以作為基到基的過渡矩陣，選一個二階可逆矩陣，用這個基乘上這個可逆矩陣就可以了。

問題3 ：用這兩個向量構成的向量矩陣去乘上一個二階可逆矩陣，得到的兩個向量是線性無關的。但是，它們是正交的嗎？教師在電子屏上展示二維平面上兩個線性無關的向量，即同一點出發(fā)不共線的兩個向量要求學生繼續(xù)小組討論。有的小組畫的兩個正交的向量是獨立于前兩個向量之外的，教師在不斷追問中引導學生思考，這么畫如何求它們的線性表示？設出線性表示表達式會有多少個變量？我們可以把第一個向量畫在這行不行，和已知的第一個向量重合行不行？這樣變量是不是會少一些？那第二個向量要滿足什么條件？

學生經過小組討論得出如下結論：讓第一個向量等于已知的第一個向量，第二個向量應該和第一個向量正交，設出它的線性表達式，再利用正交的條件就可以求出第二個向量。此時教師利用多媒體演示第一個向量及第二個向量的選取，第二個向量按平行四邊形法則分解，調整它的長度讓一條邊與已知的第二個向量重合，讓學生體會這樣選取的好處，減少變量個數(shù)，并通過對討論過程和結果的分析總結，將得出的兩個正交向量的表達式寫在黑板上，讓同學們思考是否滿足可由前兩個向量線性表示的條件。

此時繼續(xù)提問引發(fā)學生思考：三個線性無關的向量，怎么求滿足條件的三個非零且兩兩正交的向量？學生按之前的方法畫出三維空間中的直觀圖形快速的計算，得出了結論，教師將表達式寫在黑板上，讓學生思考“如果給你n個線性無關的向量，滿足條件的表達式應該是什么樣的？”學生根據前面兩次得出的結論很快寫出答案。教師利用數(shù)學歸納法引導學生對此結論進行了嚴格的證明，進而引導學生將上面得出的表達式寫成矩陣形式，里面的線性表示矩陣可以看成過渡矩陣（已知的線性無關向量可以看成生產子空間的基）。過渡矩陣可逆，兩個向量組可以相互表示，在電子屏上演示表達式，逐步引導學生得到非奇異實矩陣能寫成正交矩陣和上三角實矩陣乘積的形式。

采取互動式教學，師生互動和生生互動相結合，學生積極性高、參與度高；教學過程中注重利用幾何直觀引導學生觀察思考問題逐步得出結論；注重抽象與直觀的互相轉化。學生利用幾何直觀解決了問題后，教師引導學生用數(shù)學語言進行描述論證，將結論回歸抽象；小組討論過程中注重積極引導而不是直接告訴學生結論，有利于學生自主學習能力的培養(yǎng)。后面對知識點進行了延伸，讓學生開闊了視野。

（二）教學反饋互動

教學情況的反饋方式很多，如問卷調查，平臺對學生學習情況、答題情況的反饋數(shù)據，學生作業(yè)的完成情況、課上表現(xiàn)、測試成績、學生評教等等，也可以通過撰寫小組討論報告以及與學生面對面的交流。對上述互動式教學的評價要在平時考核項中增加團隊合作和小組討論的部分，實現(xiàn)考核方式多樣化，客觀的評定學生的學習能力及課程掌握程度[5]。

此案例中，學生積極參與，通過集體討論，以報告的形式向教師提出教學建議，體現(xiàn)了學生集體的想法及意愿，學生參與到課程的設計及教學中來有利于實現(xiàn)學生與教師職能的轉化，培養(yǎng)學生實踐能力及自主學習和終身學習的能力。

互動式教學是信息傳播的過程，是通過媒介溝通教師與學生直接的橋梁。我國目前已進入到教育信息化2.0階段，相繼出臺了《教育信息化2.0行動計劃》《中國教育現(xiàn)代化2035》等政策文件，深入推進數(shù)字資源服務普及、數(shù)字校園規(guī)范建設、網絡學習空間覆蓋、教育治理能力優(yōu)化，啟動智慧教育示范區(qū)建設，初步形成中國教育的數(shù)字空間生態(tài)[6]。隨著教學改革的推進，國家對人才的迫切需求，需要教師充分利用數(shù)字化時代帶來的機遇，合理開展互動式教學的研究，加大實施力度。

參考文獻：

[1]張思弘.互動式教學助力高校應用型課程深度學習的路徑探析[J].福建教育學院學報，2023（01）：95-97.

[2]葉立軍，斯海霞.數(shù)學課程與教學論（第二版）[M].杭州：浙江大學出版社.2016.

[3]張選民，薛淑敏.高等教育數(shù)字化轉型的全球迭代與發(fā)展[J].中國高等教育，2023（08）：27-30.

[4]付莊，馮新，王堯.多維互動線上教學法在教學中的應用[J].高等工程教育研究，2021（01）：193-196.

[5]劉小菲，黨丹，王賀，等.《高等數(shù)學》課程互動式教學方法與多樣化考核模式研究[J].才智，2017（01）：108.

[6]李永智.智慧教育是數(shù)字時代的教育新形態(tài)[J].中國高等教育，2023（08）：24-26.

（責任編輯：孟冬冬）

Research and Practice on Interactive Teaching of College Mathematics

Li Ping1" Lv Xueqin2" Shi Shujun1" Wang Zhi1

（1.Harbin Normal University；2. College of Basic Science， Tianjin Sino-German University of Applied Sciences）

Abstract： Interactive teaching in the digital era is a teaching method that uses modern information technology as the carrier， with the main purpose of stimulating students' learning interest and improving learning effectiveness， and the ultimate goal of improving and enhancing students' academic level and learning ability. The article mainly introduces the problems faced by implementing interactive teaching in university mathematics courses and the importance of adopting interactive teaching methods. We have studied the measures for implementing interactive teaching and， combined with the teaching practice of university mathematics courses， shared several specific practices in the process of interactive teaching， and analyzed and evaluated them.

Key words： Digital era; Interactive teaching; Problem scenario; Teaching effectiveness