“平面直角坐標系中的直線”單元復習教學實錄

武祥甲

本節課是上教版選擇性必修第一冊第1章“平面直角坐標系中的直線”的復習課.本章中學生學習了直線的傾斜角、斜率，直線的方程，兩條直線的位置關系，點到直線的距離等知識.本節課將對整章的知識進行梳理，形成知識網絡；對重點知識加以復習鞏固，加深學生的理解；結合實例滲透數形結合、轉化與化歸的方法和解析幾何的基本思想，發展邏輯推理、直觀想象和數學運算素養.

1 教學分析

1.1 學情分析

本節課所授班級學生處于區內中等偏下水平，雖然已經學習了直線的傾斜角與斜率、直線的方程、兩條直線的位置關系、點到直線的距離，但學生的知識點是零散的，知識系統還未形成.

1.2 教學目標

（1）通過復習直線的傾斜角與斜率的相關基礎知識，推導出直線的點斜式方程、點方向式方程、點法式方程，進一步體會“確定直線點與向，方程各異本一樣”.

（2）結合實例，鞏固對直線的傾斜角、斜率概念的理解，根據題目特點選擇適當的直線方程求解問題，靈活運用兩條直線的夾角公式、點到直線的距離公式，體會數形結合、轉化與化歸的數學思想，發展邏輯推理、直觀想象和數學運算素養.

1.3 教學重點及學習難點

教學重點：通過梳理本章知識點形成知識體系，使學生感受相關數學思想方法.

學習難點：能根據不同的條件設直線方程，并合理選擇運算方法解決問題.

2 教學過程

2.1 復習基礎構建知識網絡——由厚到薄

師：前幾節課我們學習了直線的傾斜角與斜率、直線的方程、兩條直線的位置關系和點到直線的距離，今天一起來復習平面直角坐標系中的直線.那怎么樣確定一條直線呢？

生：兩個點，或者一個點和一個方向.

師：對，接下來我們一起看例1.

例1? 已知直線l：y=ax+1和點A（1，2），B（5，-1）.

（1）①直線AB斜率k=，傾斜角θ=；

②直線AB的點斜式方程為；

③直線AB的點方向式方程為；

④直線AB的點法式方程為；

⑤直線AB的一般式方程為.

（2）①直線l與線段AB相交，則a的取值范圍為，直線l傾斜角θ的范圍為.

②若直線l與線段AB不相交，則a的取值范圍為，直線l傾斜角θ的范圍為.

（3）若a=1，則直線AB關于直線l對稱的直線方程為.

（4）若直線l∥AB，且直線m被直線l和直線AB所截得的線段的長為725，則直線m的斜率k為.

師：請第一列的同學根據圖1按順序分別回答第（1）題的5個小問.

生1：利用k=y2-y1x2-x1=tan θ，得出k=-34，從而推出θ=π-arctan34.

師：直線的斜率有兩種表示形式，即k=y2-y1x2-x1=tan θx1≠x2，θ≠π2.已知直線斜率求傾斜角時，當k>0時，θ=arctan k；當k=0時，θ=0；k<0，θ=π+arctan k.接下來我們看第（1）題第②問.

生2：直線AB的斜率k=-34，選擇點A（1，2），可得點斜式方程為y-2=-34（x-1）.

師：很好！由直線斜率的表達式k=y2-y1x2-x1可得點斜式方程為y-y0=k（x-x0）.

生3：直線的方向向量d=AB=（4，-3），選擇點A（1，2），可得點方向式方程為x-14=y-2-3.

師：由直線斜率的兩種表示形式k=y-y0x-x0=tan θ=sin θcos θ，通過變形可得出直線的點方向式方程為x-x0cos θ=y-y0sin θθ≠0且θ≠π2，其中方向向量d=（cos θ，sin θ）.

生4：由直線的方向向量d=AB=（4，-3），可得直線的法向量n=（3，4），從而得出直線的點法式方程為3（x-1）+4（y-2）=0.

師：通過直線的點方向式方程x-x0cos θ=y-y0sin θ，可以進一步推出其點法式方程為（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，其中法向量n=（sin θ，-cos θ）.

生5：化簡可得3x+4y-11=0.

師：在求直線方程的時候，如果直線方程的形式沒有特別要求，通常把它化成一般式.

師：（這部分內容在講評例1時已經逐個板書在黑板左邊）兩個點或一個點和一個方向確定一條直線，通過斜率k=y2-y1x2-x1=tan θx1≠x2，θ≠π2可以得出點斜式方程y-y0=k（x-x0）、點方向式方程x-x0cos θ=y-y0sin θ、點法式方程（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，所以，總結為“確定直線點與向，方程各異本一樣”，接下來我們繼續看例1的第（2）題.

生6：直線l恒過點C（0，1），直線AC的斜率為1，直線BC的斜率為-25，結合圖2可得直線l的斜率a的范圍為-25，1，其傾斜角θ的取值范圍為0，π4∪π-arctan25，π.同理可得第②小問直線l的斜率a的范圍為-∞，-25∪（1，+∞），傾斜角θ的范圍為π4，π-arctan25.

師：根據直線斜率k=tan θ的函數圖象可總結得出，當傾斜角θ從0趨近于π2時，斜率的范圍從0趨近于正無窮，傾斜角θ大于π2趨近于π時，斜率從趨近于負無窮到趨近于0，所以反過來知道了斜率k的范圍就很容易定位傾斜角的走向，從而寫出傾斜角θ的范圍.當00）時，可得θ∈［0，arctan b）∪（π+arctan a，π）；當kb（a<0，b>0）時，可得θ∈arctan b，π2∪π2，π+arctan a.

師：哪位同學來回答第（3）題？

生1：如圖3所示，設對稱直線的斜率為k，則由夾角公式可得k-11+k=1--341-34，

解得k=-43.又直線l與直線AB交于點A（1，2），

所以直線AB關于直線l對稱的直線方程為4x+3y-10=0.

師：回答得非常好！還有同學有不同的方法嗎？

生2：當a=1時，直線l與直線AB交于點A（1，2），則點B關于直線l的對稱點為B1（-2，6），所以直線AB1的方程4x+3y-10=0，即為所求的對稱直線方程.

師：點B關于直線l的對稱點B1（-2，6）是如何算出來的？

生2：設B1（x，y），由l垂直平分線段BB1，且線段BB1的中點在直線l上，得y+1x-5=-1，5+x2-y-12+1=0.解方程組可得B1（-2，6）.

師：仿照上述方法，可得點、曲線關于斜率為±1的直線對稱的點的坐標、曲線方程（同學們課后選一個作為作業）.

（ⅰ）點A（x，y）關于直線x+y+c=0對稱的點為B（-y-c，-x-c），曲線f（x，y）=0關于直線x+y+c=0對稱的曲線為f（-y-c，-x-c）=0;

（ⅱ）點A（x，y）關于直線x-y+c=0對稱的點為B（y-c，x+c），曲線為f（x，y）=0關于直線x-y+c=0對稱的曲線f（y-c，x+c）=0.

請同學們記下以上結論，記好的同學看第（4）題.

生：如圖4，易得直線AB的方程為3x+4y-11=0，直線l的方程為3x+4y-4=0，則兩平行線間的距離d=|-4+11|5=75.易知直線m與直線l的夾角為π4，

則由k+341-34k=1，解得k=17或-7.

師：通過例1我們復習了傾斜角、斜率、直線方

程、距離和夾角，解題時要選擇

適當的直線方程.

2.2 強化應用提升應用能力——由薄到厚

例2? 三條直線l1：mx-y+m=0，l2：x+my-m（m+1）=0，l3：（m+1）x-y+（m+1）=0.圍成△ABC，當m取何值時，△ABC的面積取最大值、最小值？并求出最大值、最小值.

師：請同學們分別研究直線l1，l2，l3過哪個定點，l1，l2，l3之間有何位置關系，并畫出大致圖形.

生：直線l1和l3恒過定點A（-1，0），直線l1和l2互相垂直.設l1和l2的交點為C，l2和l3的交點為B（0，m+1），如圖5，△ABC是直角三角形，直角邊BC的長就是點B到直線l1的距離，即|BC|=-m-1+mm2+1=1m2+1，直角邊AC的長就是點A到直線l2的距離，即|AC|=m2+m+1m2+1，則

S△ABC=12|AC||BC|=12·m2+m+1m2+1=121+mm2+1.

師：分析得非常到位，掌聲鼓勵一下！那如何求△ABC面積的最值？

生：當m=0時，S△ABC=12；當m≠0，S△ABC=121+1m+1m.所以，當m=1時，△ABC的面積取最大值為34;當m=-1時，△ABC的面積取最小值為14.

師：解答本題的關鍵是發現l1，l3過定點和l1，l2互相垂直這兩個隱含條件，也就是要能快速找出直線所過的點和方向.

例3? 已知三角形ABC的頂點A（3，-1），AB邊上的中線所在的直線方程為x+y+2=0，AC邊上的中線所在的直線方程為x-y+2=0，求BC邊所在的直線方程.

師：同學們根據題意畫出示意圖（圖6），哪位同學愿意分享一下你的思路？

生1：設點B（x，y），則線段AB的中點M的坐標為x+32，y-12.由點M在AB邊的中線所在的直線x+y+2=0上，得

x+32+y-12+2=0.由點B在AC邊的中線上，可得x-y+2=0，再根據方程組x+32+y-12+2=0，x-y+2=0，解得x=-4，y=-2，所以點B的坐標為

（-4，-2）.

師：求出點B后，如何求直線BC的方程？

生1：用同樣方法求出點C（-5，3）.進而求出BC邊所在的直線方程為5x+y+22=0.

師：還有別的方法分享嗎？

生2：求出點B（-4，-2）后，通過中線求出△ABC的重心坐標（-2，0），最后利用重心的坐標公式算出C（-5，3）.

師：這位同學回答得非常好！接下來請思考例3的變式.

變式? 已知三角形ABC的頂點A（3，-1），AB邊上的中線所在的直線方程為x+y+2=0，角B的平分線所在的直線方程為x-y+2=0，求BC邊所在的直線方程.

師：變式應該如何求解呢？

生1：由例3知B（-4，-2）.

師：求出點B（-4，-2）后，用直線方程的哪種形式表示直線BC呢？

生1：易得直線AB斜率為17，由方程x-y+2=0可得角B的平分線所在直線的斜率為1，由夾角公式得直線BC的斜率為7，進而得出直線BC的點斜式方程為y+2=7（x+4）.

生2：可以設點A（3，-1）關于角B的平分線所在直線的對稱點為A1（x，y），則點A1一定在直線BC上，由角B的平分線x-y+2=0垂直平分線段AA1，線段AA1的中點在直線x-y+2=0，可以得到y+1x-3=-1，x+32-y-12+2=0.解方程組可得A1（-3，5），從而推出BC邊所在的直線方程為7x-y+26=0.

師：有同學是根據例1第（3）題總結的結論直接得出點A關于直線x-y+2=0的對稱點A1嗎？

生3：我是根據點（x，y）關于直線x-y+2=0的對稱點為（-y-2，-x+2）的結論，得出點A（3，-1）關于直線x-y+2=0的對稱點為A1（-5，3）.

師：怎么和生2算的A1不一樣呢？哪里出問題了？

生3：喔，公式記混了.由點（x，y）關于直線x-y+2=0的對稱點為（y-2，x+2），可得點A（3，-1）關于直線x-y+2=0的對稱點A1（-3，5），從而推出BC邊所在的直線方程為7x-y+26=0.

師：真是學以致用.公式不太熟，但瑕不掩瑜，課后仿照例題把公式推導一遍.

師：對于變式，三位同學的回答都很精彩.在求直線方程的過程中，要根據題目的特點選擇直線方程.由于時間關系，變式2請同學們課后研究.

2.3 小結（師生共同完成）

（1）確定一條直線需要兩點或一個點和一個方向，可以量化為直線的斜率等于傾斜角的正切，由此可得到各種直線方程，具體如下：

k=y-y0x-x0=tan θ=sin θcos θ

點斜式：y-y0=k（x-x0），點方向式：x-x0cos θ=y-y0sin θ，點法式：（x-x0）sin θ-（y-y0）cos θ=0，一般式：ax+by+c=0（a2+b2≠0）.

（2）要根據題目的特點選擇直線方程.

（3）本節課的特點可以歸納（師）為：

確定直線點與向，方程各異本一樣，

根據特點慎選擇，掌握方法把好航.

在以后的數學學習中，要根據每章節的特點，慎重選擇解題方法，人生也是如此.

3 回顧與反思

本課通過3個例題及變式對本章的知識進行梳理并形成知識

網絡，使學生對本章基礎知識的理解、基本技能的掌握達到一個

新的高度．但是在教學過程中也發現了一些不足，比如，在講例

３的變式題時，一位學生利用點關于斜率為±１的直線對稱的點的

坐標公式，結果算錯了．由此說明，歸納總結出來的結論，還需要引

導學生明晰結論是如何推出來的.教學有法，教無定法．在今后

的教學過程中，將繼續探索和嘗試新的教學方法，努力提高學生

的學習興趣．Z