學生反思性學習能力培養的策略分析

葉巧卡

數學反思性學習由于思考角度不同，有多種定義.其一認為，數學反思性學習就是學習者對所學知識的正反兩個方面的思考過程，是對知識的全面認識和思考；其二認為，數學反思性學習就是學生自覺主動地對自己的數學學習行為、方法以及由此產生的數學結果進行的審視和調控.我國著名的心理學專家林崇德教授認為，一個學習好的學生，應該是善于反思學習的學生.波利亞說過：“數學問題的解決僅僅是一半，更重要的是解題之后的回顧.” 反思是學好數學知識的重要環節，同時也是提高學生數學認識水平的關鍵.

本文中針對學生存在的下面四類典型問題——基礎知識問題、運算問題、綜合能力問題、考試心理問題，分別提出了不同的、具體的反思學習策略，從而提高學生對數學的理解并培養學生解決問題的技能.下面按照圖1所示的流程進行闡述.

1 針對基礎知識問題的反思學習策略

基礎知識問題主要指學生對數學概念的理解不到位，記憶模糊不清，錯在粗心大意或是對基礎知識掌握不扎實.造成這類問題的關鍵是學生對數學概念，以及相似或相關的知識點等不清楚或記憶模糊.

1.1 教師層面

首先，在教學中可以通過簡化概念、圖像化表達、聯系已知概念、舉例說明、重點標注、引導學生思考等手段，促使學生更加牢固地掌握基礎知識.

其次，要善于根據已有經驗，準確把握易錯點，并采取得力措施，如對易混淆易錯的概念進行比較對照、反復強調、反復梳理等，加強對易錯易混知識點的教學.

再次，有意識將學生的練習、作業或各類考試中出現的問題暴露出來，與學生一起分析導致知識缺漏、思維障礙的原因，避免無意識地再次犯錯.

最后，對于基礎知識問題總是出錯的學生，可以引導他們多重視課本基本概念和基礎知識的學習和記憶.

這樣在教師的經常引導下，學生能夠真正投入到課堂學習中，逐步形成較強的反思能力，減少低級錯誤的產生，從而促進數學學習能力的提高.

例如，在一次考試中有下面這道題：

西梅以“梅”為名，實際上不是梅子，而是李子，中文正規名叫“歐洲李”，素有“奇跡水果”的美譽.因此，每批西梅進入市場之前，會對其進行檢測.現隨機抽取了10箱西梅，其中有4箱測定為一等品.

（1）現從這10箱中任取3箱，求恰好有1箱是一等品的概率；

（2）以這10箱的檢測結果來估計這一批西梅的情況，若從這一批西梅中隨機抽取3箱，記X表示抽到一等品的箱數，求X的分布列和期望.

本題12分，但整個年級學生的平均分只有5.9分，大大低于預期.筆者針對本題進行了如下反思：

分析原因：原因是學生理解錯誤，把第（2）問看成了超幾何分布，事實是二項分布.為什么會這樣？其實是學生對這兩種分布的本質沒有理解透徹.

辨析實質：如何才能讓學生清晰地理解和掌握二項分布與超幾何分布的本質區別呢？筆者作了如下講解.

首先，對比兩種分布的概念，以幫助學生更好地理解它們.接下來，幫助學生明確它們的本質區別：

超幾何分布可以看作是古典概型，它涉及從總體中不放回地抽取 m 個元素，總體中一共有 n 個元素.這意味著每次抽取都會減少總體數量.

二項分布則是由 n 個相互獨立的兩點分布組成，每個兩點分布都有相同的成功概率.在題目中，關鍵詞通常包括“以頻率作為概率”或者“使用樣本來估計總體”，以及“從大量不明確總數的產品中進行抽取”.此外，這個分布也涉及到有放回的抽樣和相互獨立事件.

總之，離散型隨機變量分布列問題的關鍵在于仔細審題，捕捉關鍵詞，以確定使用哪種分布類型來解答.最后，通過多個實際例子幫助學生判斷上述問題是使用超幾何分布還是二項分布來解決，從而更清晰地區分這兩種分布.

1.2 學生層面

首先，學生需要重視基礎知識的學習和對知識的深刻理解.這可以通過深入閱讀教材，真正領悟數學概念的內涵和外延，確保基本公式和定理牢記于心.

其次，最好能自己仔細演繹一遍，以強化記憶和理解.同時，重做錯誤的練習題是一個有益的反思過程.

最后，通過反復學習和反思，建立起知識體系.通過重新解答做錯的問題并認真分析反思，可以找出學習行為或思維方式上的問題，從而不斷提高學習能力.只有掌握了知識，才能真正掌握學習的本領.

2 針對運算問題的反思學習策略

學生最常見的問題是出在數學運算上，他們通常將自己的運算錯誤歸因于粗心，然而實際上，這些錯誤更常源于他們對公式的錯誤記憶或者未正確選擇適當的計算方法，更深層次的問題在于他們對數學法則、公式等缺乏真正的理解，甚至可能因為自行“創造”公式等原因而導致錯誤.

2.1 教師層面

首先，可以幫助學生提高數學運算能力，通過準確記憶與計算相關的公式，特別是那些具有規律性的公式，例如三角函數的誘導公式，可借助簡單的口訣來幫助記憶，從而更好地運用公式進行計算.

其次，教師可以幫助學生通過課本的脈絡將那些規律性的公式聯系起來，以便更好地記憶和應用它們.對于規律不那么明顯的公式，可以通過在日常教學中多次運用、回顧、整理和強化記憶來幫助學生記憶和應用.

再次，定期對學生進行公式默寫檢查也是一種有效的方法.

最后，進行專題訓練，特別是在學生掌握得不夠好的領域進行限時練習，可以幫助他們提高解題熟練度，如練習對數和指數的運算，以及復雜函數的導數計算等.

另外，良好的數學運算能力需要學生具備一定的邏輯思維能力，因此，可鼓勵學生通過分析來深化對公式的理解，從而提高邏輯思維水平，進一步提高數學運算能力.

2.2 學生層面

首先，學生應當重視數學的基本知識、核心技能和基本思想方法的學習.

其次，鼓勵學生積極參與課堂總結或問題反思，以便他們整理每堂課所掌握的知識、方法和技巧，并在這一過程中思考自身的收獲和不足之處，這有助于鞏固他們的學習成果.

最后，建議學生在每次考試后進行深入的自我反思，包括考試狀態、犯過的錯誤以及學到的知識，以總結解題思路.

通過這樣的反思過程，學生能夠不斷鞏固所學內容，提高課堂學習效率，增強綜合能力，并降低運算錯誤的發生率.

3 針對綜合能力問題的反思學習策略

綜合能力問題意味著學生可能已經掌握了一定的基礎知識，但他們在運用知識解決問題時存在一些不足之處.他們的思維方式相對單一，不具備辯證性，缺乏對問題的多角度思考，難以靈活應對新問題.通常情況下，學生可以解決老師已經講過的題目，但問題一旦稍有變化，他們還是會堅持老師所講題目的解題思路，缺乏變通性，陷入定勢思維，難以應對新問題.最近幾年的數學高考題再次表明：日常教學中僅僅側重于訓練解題速度和解題數量，而不注重培養學生自主思考能力是不夠的.

3.1 教師層面

首先，教師可以采用多樣化的方法，例如提供不同形式的練習或變式問題，以便學生獲得更多的體驗和理解，從而培養他們的聯想和批判思維能力.

其次，重點總結各種題型，特別是那些重要的題型.實際上，不論什么題型，都存在一般的解題思路和方法.只要學生熟練掌握某類題型的解答要領，并能仔細分析特定題目的特點，就能夠有效地解答這類問題.

再次，通過反復練習類似的錯題，學生可以逐漸形成舉一反三的能力，提高解題的靈活性和創造力，并時刻獲得新的見解，從而提高思維能力.

最后，采用多種方法和手段，通過比較、總結和綜合運用數學知識，幫助學生更深入地理解和掌握數學知識，提高他們的綜合能力水平.

學生的思考方式不會與標準答案完全相同，但如果能夠培養學生的自我反思能力，根據自己的想法尋找合適的解題思路，然后結合標準答案進行修正，學習效果將會顯著提高.

3.2 學生層面

首先，對于學生經常出現的計算錯誤或復雜的問題，建議他們創建一個“學習反思記錄”，用以審視并修正錯誤.在學習過程中，學生難免會遇到不會或答錯的問題，特別是那些經典難題.通過對這些問題的訂正和深刻反思，學生可以發現錯誤背后的原因，并通過糾正這些錯誤來彌補自己的數學知識漏洞，使數學學習更為深入，朝向深度學習邁進.

其次，鼓勵學生進行問題的不同變式練習，因為變式之間常常存在看似相似但又稍有變化的關系，這將激發學生從更加靈活的角度來分析和研究問題.

最后，鼓勵學生主動對經典數學問題進行適度的調整和改編，使他們能夠全面經歷問題的演變和發展過程，從而提升知識的遷移能力.

例如，有一次在班級答疑群里學生甲提出課本（人教A版）必修一第155頁第7題“設函數f（x）=ax2+bx+c （a>0，b，c∈R），且f（1）=－0.5a，求證：函數f（x）在（0，2）內至少有一個零點”想不到怎么做，按照常規思路，若f（0）f（2）<0則可得到函數f（x）在（0，2）內有一個零點，可是好像沒法證明，如果有兩個零點就更復雜了.

數學科代表回答：由f（1）= －0.5a可得到a+b+c=－0.5a， 即3a+2b+2c=0，則 f（0）+f（2）=c+4a+2b+c=（3a+2b+2c）+a=a>0， 因此f（0）與f（2）至少一個大于0，又f（1）<0，由零點存在性定理可得到結論.

學生甲看到科代表的解答后反問，怎么想到這么巧妙的解法？科代表回答：為了充分利用已知條件.

學生甲覺得想不到這樣巧妙的思路，然后自己經過反復思考，對比各種情況，他從結論出發，得到了如下思路：

因為f（1）<0，所以取兩種很容易想到且符合在（0，2）上有零點的情況：如圖2，根據事件A，B分別取A的對立事件A：x1≤0， B的對立事件B：x2≥2.

A：0＜x1

A：x1≤0

B：x＜2

B：x≥2

分類的方法：先取符合條件的個別情況（簡單易想到的），再取對立事件，組合起來.用AB，AB，AB，AB可表示所有情況.其中AB，AB，AB符合（0，2）上有零點；AB+AB推出滿足f（0）>0，即可得到c>0; AB即A：f（0）≤0c≤0，且B：f（2）≥04a+2b+c≥0，又結合f（1）= －0.5a，推出a-c≥0（當c≤0時，又有a>0，即a≥c是肯定的）.綜上，c∈R，都只能有AB，AB，AB中的一種情況，即只能有（0，2）上存在零點的情況，證畢.

學生甲成功解決了問題，并得出了結論，即通過答案提示了零點存在的兩種情況，然后倒推常規分析方法.有時我們可能不會立刻想到巧妙的思路，但如果繪制函數的圖象，可以更好地幫助我們理解問題的構思.只要滿足f（1）<0，同時否定f（0）<0和f（2）<0的條件，就可以得出答案.當然，對于條件3a+2b+2c=0，需要充分加以利用.引導學生經常進行自我反思，按照自己的想法探索解題思路，然后與標準答案進行對比，將會提高學習效果.

4 針對考試心理問題的反思學習策略

考試心理問題是指學生在考試環境中面對陌生問題或難題時，可能會感到焦慮，難以集中注意力，思維變得混亂，反應速度減慢.這種情況通常與情緒緊張和心態失衡有關，尤其在重要考試時，這種問題可能更加顯著，而在平時則可能不會出現.出現這一問題的原因是多方面的，包括學生可能對數學感到擔憂，長期以來數學知識的掌握可能不夠牢固，導致在考試環境中難以保持平常的冷靜，從而影響他們在考試中的表現.

4.1 教師層面

首先，與學生積極互動，表現出對他們的關心.通過評估學生的數學學習情況，深入了解他們在不同方面遇到的問題，特別是在考試過程中，包括草稿紙的使用等方面的問題.根據不同情況提供相應的解決方法.

其次，強調培養學生解題的規范性和準確性，因為正確而規范的解答可以顯著減少錯誤.在日常作業中要求學生嚴格遵守解題的規范性，以提高解題速度和準確度.

其次，每次考試后，詳細分析學生的問題，鼓勵他們自己總結和分析.可以將典型問題整理成案例或課件，供學生查閱，幫助他們更好地理解易錯知識點.

最后，盡最大努力支持學生，包括定期輔導、答疑，以提高他們的信心.只有堅持不懈的努力才能取得更好的學習效果.

現代科技的發展也為數學教學提供了巨大幫助，例如智學網等應用程序可以幫助教師迅速評估學生的答題情況，及時提供反饋，有助于區分個別問題和共性問題，以決定是否需要進行個別指導或全班講評.

4.2 學生層面

首先，學生應重視數學學習，每日投入充足時間來鞏固基礎知識.

其次，在非智力因素方面，平時的訓練和培養至關重要.將一般性考試視為時間管理和情緒控制的練習場，努力克服焦躁情緒，提高自信心，以保持情緒穩定.

最后，每周的定時練習應設置時間限制，力求在兩小時內完成.考試時要明智地規劃時間，逐步提高解答“選擇、填空和解答題”的速度.只有通過漸進的量變，才能實現質的飛躍.堅持不懈才能看到顯著的效果.

一些學生已經總結出，每當他們完成一道數學題后，重新審視題目，總能夠發現一些常犯錯誤，這對于在考試中避開陷阱非常有幫助.此外，還有學生對一道關鍵性的問題進行了詳盡的反思，寫下了兩頁的思考，從中獲得了深刻的理解和領悟.這些都是學生通過反思性學習在數學問題中所獲得的成果.

總而言之，通過針對典型問題的反思性學習，可以培養學生批判性思維技能.學生通過從錯誤中反思、探究和吸取教訓，從失敗中找出原因，養成反思學習的學習習慣，從而不斷提高解題能力和創造性思維能力.