提升高中生數學運算素養的策略

萬松強

摘要：數學運算是高中數學六大核心素養之一，本文中從課程標準和學生出現的問題出發，結合具體的例子，提出培養學生數學運算素養的常見策略和方法.

關鍵詞：數學運算;運算能力;高中數學;數感

1 背景與問題

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（簡稱《標準》）指出：數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養.主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果，等等.數學運算是解決數學問題的基本手段［1］.其目標是：通過高中數學課程的學習，學生能進一步發展數學運算能力；有效借助運算方法解決實際問題；通過運算促進數學思維發展，形成規范化思考問題的品質，養成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神［1］.但當前部分高中教學中還存在著“滿堂灌”、機械重復訓練等問題，與新時代高考杜絕偏題、怪題和繁難試題，使“死記硬背”“機械刷題”“題海戰術”的收益大大降低的考查方向背道而馳.同時，2022年的考題擊中了當前高中數學教學的“痛點”，在實際教學過程中并未重視教材，沒有把教學精力花在幫助學生掌握“四基”、提高“四能”上.從學生的解題來看，教師也不太習慣從基礎知識、基本技能、基本方法下手去分析和解決問題，這就是造成“運算量大”的重要原因.那么，有哪些策略可以提升學生的數學運算素養呢？

2 提升數學運算素養的策略

為了更好地發展學生的數學運算素養，教師需以教學內容為載體，有計劃、有目的地設計比較系統多樣的教學策略.

2.1 重視“四基”，理解運算對象

數學學科核心素養是“四基”的繼承和發展.“四基”是培養學生數學學科核心素養的沃土，是發展學生數學學科核心素養的有效載體，具體教學中要引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，感悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，促進學生數學學科核心素養的不斷提升［1］.在教學活動中，應結合教學任務設計合適的情境和問題，發展學生數學運算素養.

例1? （2022年全國高考乙卷數學第16題）若f（x）=ln a+11－x+b是奇函數，則a=，b=.

黃海波［2］老師在文《2022年全國高考乙卷文科數學第16題的研習體會》中完整寫出了網絡流傳的解法，同時黃老師也指出：“該解法利用奇函數的定義，結合指數式與對數式互化，施以復雜的代數恒等變形，解絕對值方程，分類討論，通過比較系數解得實數a，b的值．但運算復雜、過程冗長，且未能體現命題者的意圖”．網絡流傳的解法不僅思路不完整，方法也不普適，因為沒有分析數學對象的結構，這是本題“運算量大”的主要成因.

我們知道數學運算主要表現為：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，求得運算結果.提升學生的數學運算素養，理解運算對象的含義與作用至關重要，是實施運算的第一步，高中階段數學運算的對象從具體的數、字母符號擴展到向量、矩陣、函數等.

本題若能從數學對象——函數的概念、奇函數的定義以及性質出發，設函數f（x）的定義域為I，便有如下解題思路：

（1）由函數的定義域可知1I；

（2）由奇函數的定義可得－1I；

（3）由a+11－x≠0，可得（1-x）（a+1-ax）≠0，所以x≠1且 x≠a+1a，于是a+1a=-1，解得a=－12，且0∈I；

（4）進一步，由奇函數的性質f（0）=0，即可得到b=ln 2.

這個求解過程很好地體現了關注“教材”、重視“四基”的作用，同時有效化解了運算的難點.

2.2 理解本質，掌握運算法則

運算法則是運算的依據，是推理的基礎，也是結果具有唯一性的保障.數學運算法則在表達形式和使用方式上具有多樣性特點，因此應當讓學生領會其本質，在充分理解和掌握的基礎上靈活加以運用.

例2? 已知數列{an}的前n項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，求Sn.

大部分學生會直接運用公式，得到如下解法：

（1）當n=1時，S1=2a2，則a2=12a1=12.

（2）當n≥2時，an=Sn－Sn－1=2an+1－2an，則an+1=32an.

綜上可得，數列{an}是以a1=1為首項，32為公比的等比數列，從而由求和公式可得Sn=1－32n1－32=2×32n－2.

上述解法看似天衣無縫，實則問題百出，只需驗證S2便可知錯.那么，問題究竟出在哪里呢？仔細思考可以發現：當n≥2時，由遞推關系an+1=32an得到的數列{an}并非是等比數列，在求解過程中忽視了n=1與n≥2這兩種情況下數列的前后項之間的關系并不能順承下去.在反思過程中，學生對“由Sn求an”的運算法則會有更加深刻的理解.

2.3 整體提升，探究運算思路

《標準》強調從整體把握教學內容，促進數學學科核心素養連續性和階段性發展.學生數學學科核心素養水平的達成不是一蹴而就的，具有階段性、連續性、整合性等特點.因此，需要根據不同階段合理設計教學目標，在確定教學目標時，要把握好學生數學運算素養發展的各階段目標之間的關系.例如，借助向量研究距離問題，前期目標是以掌握向量運算為主，到后期則是需要在通過運算解決問題的過程中，形成正確的運算思路，不斷提升，變成解決一類問題的通性通法.

我們知道，高中階段涉及的距離問題主要有：兩點間的距離，點到直線的距離，點到平面的距離，兩條平行線之間的距離，直線到平面的距離，兩個平行平面之間的距離，異面直線之間的距離.教師可以通過一題多解的方式讓學生掌握計算距離問題的常用方法——綜合幾何方法、解析幾何方法、向量方法;進一步，利用多題一解讓學生體會向量法求距離帶來的便利，同時歸納用向量研究點到平面距離問題的方法，從而得到通性通法，即程序思想方法：第一步，確定平面的法向量；第二步，選擇參考向量；第三步，確定參考向量在法向量上的投影向量；第四步，求投影向量的長度.

又如，在教材橢圓標準方程的獲取過程中不斷優化運算思路.

針對初始方程

（x+c）2+y2+（x－c）2+y2=2a，①

其結構復雜，又含有兩個根式，大部分學生會從等式兩邊直接平方入手，由此可得到x2+y2+c2+（x+c）2+y2（x－c）2+y2=2a2，然后再進行移項、平方，但看到會出現四次項而且過程復雜導致知難而退.

對根式平方是處理帶根號問題的常用方法，經歷了“先平方后移項”的痛苦后，有部分學生會思考“先移項后平方”，即對①移項、平方，得到a2－cx=a（x－c）2+y2，然后再兩邊平方得到（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

這樣“先移項后平方”會把四次項消掉，從而降低運算難度，這樣處理比第一種思路更清晰，運算更準確.

有了成功的案例后，學生的思路會更加開闊，有學生由兩個根式聯想到“有理化”的方法，于是將方程①變形整理為

［（x+c）2+y2+（x－c）2+y2］·（x+c）2+y2－（x－c）2+y2（x+c）2+y2－（x－c）2+y2=2a.

化簡后，得到

（x+c）2+y2－（x－c）2+y2=2cax.②

聯立①②，可得

（x+c）2+y2=a+cax，將方程兩邊平方，得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2）.

“有理化”的方法是將根式看成一個整體，通過有理化得到方程②，再通過聯立二元方程組求解出一個根式，最后平方化簡.有了整體思想和方程思想后，由方程①的結構聯想到等差中項的結構，于是便有了“等差中項法”，把（x－c）2+y2，a，（x+c）2+y2看成一個等差數列，設公差為d，于是可以得到（x－c）2+y2=a－d，（x+c）2+y2=a+d.將兩式平方后作差可得d=cax，于是可得（x+c）2+y2=a+cax，最后兩邊平方即可.

對于第一種思路“先平方后移項”，能夠通過整體思想將運算簡化嗎？仔細觀察發現，可將x2+y2+c2看成一個整體進行運算.

在具體的教學中，教師可以在學生獨立思考的基礎上，通過師生、生生交流，不斷厘清運算對象，優化運算思路，從而不斷提高學生學習數學的興趣，增強學好數學的信心.

2.4 提升“數感”，求得運算結果

數感是對現實世界中數量關系的直觀認識，是形成數學抽象能力的經驗基礎［3］.《義務教育數學課程標準（2022年版）》對義務教育階段的“運算能力”提出了統一的要求，小學階段主要以數的運算為主，初中階段的運算除了求得數值結果外，還包括代數式的化簡與變形、對代數式的結構與意義的探討、方程與不等式的變形，以及研究函數的性質等.高中階段的數學運算是在小學、初中階段基礎上的進一步發展，是更為嚴謹、形式化的“數學抽象”.估算是數學運算的一個重要方面，數感與估算活動有密切的聯系.從小學到高中對學生估算能力的要求也在不斷提高.如在小學階段，對于圓周率π，要求能直觀理解π是圓周長與直徑的比值，它是一個確定的數，大概是3.14.進一步地，在初中階段需要理解無理數的存在性和開方運算的意義，如單位正方形的對角線長為2，近似值為1.41；又如黃金分割比值為5－12，0.618只是它的近似值.在高中階段，學生需了解無理數e，e≈2.718，等等.

3 教學反思

章建躍老師說過：“推理是數學的‘命根子，運算是數學的‘童子功.”運算的重要性在數學中是不言而喻的，可以說運算是數學的“半壁江山”.

隨著新高考的實施，對學生的運算能力提出了更高的要求.而數學運算的培養與提升是一項系統工程，并非一朝一夕就能起到效果，需要教師進行長期的、反復的、螺旋式的培養.在平時的教學過程中，要關注教材，重視教材，對教材中的例題、習題進行深入挖掘、再次開發，而且還需在學生掌握“四基”、提高“四能”、理解數學本質的同時，深入分析“怎么思考問題，如何進行運算”，把培養運算能力貫穿于整個課堂教學中，有計劃、有目的、有意識、有系統地進行滲透，在課堂中留足時間讓學生動筆將運算進行到底，從而在問題解決的過程中，逐步發展學生的運算素養.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］黃海波.2022年全國高考乙卷文科數學第16題的研習體會［J］.中小學數學（高中版），2022（Z2）：110-111.

［3］史寧中，曹一鳴.義務教育數學課程標準（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學出版社，2022：53-70.