多視角解題反思，促運算素養發展

陳爾明

課題信息：福建省教育科學“十四五”規劃課題“新課標背景下高中數學反思性解題教學研究”，課題編號為Fjxczx22-030.

解題教學是高中數學教學的重要組成部分，尤其是高三數學復習課大部分是解題教學．高中數學教學中，學生需要解大量的題目，多數學生常因為陷入題海，缺少反思意識或無暇實施反思過程導致數學學習陷入困境．在新課程標準和評價方式下，從會解題轉型到會解決問題，對學生知識體系建構是否完整、探究問題是否深刻、素養能力是否提升等方面提出了更具發展性的一般要求．那么，教師如何在解題教學中引導學生進行反思性解題，充分挖掘題目的內在價值，思考題目蘊含的概念、原理、思想方法，提高課堂教學效率，提升學生的解題能力，發展學生數學運算素養？本文中以一道圓錐曲線壓軸題為例，多視角探討解題反思．

1 試題及解答

（2023年福建省高三質檢考試第21題）已知圓A1：（x+1）2+y2=16，直線l1過點A2（1，0）且與圓A1交于點B，C，BC中點為D，過A2C的中點E且平行于A1D的直線交A1C于點P，記P的軌跡為Γ．

（1）求Γ的方程；

（2）坐標原點O關于A1，A2的對稱點分別為B1，B2，點A1，A2關于直線y=x的對稱點分別為C1，C2，過A1的直線l2與Γ交于點M，N，直線B1M，B2N相交于點Q．請從下列結論中，選擇一個正確的結論并給予證明．

①△QB1C1的面積是定值；②△QB1B2的面積是定值；③△QC1C2的面積是定值．

這是一道以極點、極線為背景的綜合性圓錐曲線壓軸題，主要考查圓、橢圓的標準方程及簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查學生的運算求解能力、邏輯推理能力、直觀想象能力和創新能力，考查數形結合、函數與方程、化歸與轉化等多種思想，同時對學生的直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養提出了很高要求．第（1）問難度不大，利用定義法求軌跡方程，但對學生的作圖能力提出了較高的要求；第（2）問大部分學生未能預判點Q的軌跡，進而無法確定哪一個三角形的面積為定值，導致思路受阻，后續不能選擇合理的方法也導致運算變得繁瑣，本問實測結果得分率較低．

解法1：（1）x24+y23=1（x≠±2）（過程略）．

（2）結論③正確．下面證明：△QC1C2的面積是定值．

依題意可得，B1（－2，0），B2（2，0），C1（0，－1），C2（0，1），直線l2的斜率不為0，如圖1．

（?。┊斨本€l2垂直于x軸時，l2：x=－1.

聯立x24+y23=1，x=－1，得x=－1，y=－32或x=－1，y=32.

不妨設M－1，32，N－1，－32，則直線B1M的方程為y=32（x+2），直線B2N的方程為y=12（x－2）.

由y=32（x+2），y=12（x－2），得x=－4，y=－3，所以Q（－4，－3）.

故點Q到直線C1C2的距離d=4，此時S△QC1C2=12|C1C2|·d=4.

（ⅱ）當直線l2不垂直于x軸時，設直線l2：y=k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠±2，x2≠±2．

由x24+y23=1，y=k（x+1），得（4k2+3）x2+8k2x+4k2－12=0，所以x1+x2=－8k24k2+3，x1x2=4k2－124k2+3．

直線B1M的方程為y=y1x1+2（x+2），

直線B2N的方程為y=y2x2－2（x－2）.

由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），可得

x=2y2（x1+2）+y1（x2－2）y2（x1+2）－y1（x2－2）

=2k（x2+1）（x1+2）+k（x1+1）（x2－2）k（x2+1）（x1+2）－k（x1+1）（x2－2）

=4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4．

下面證明：4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4=－4．即證2x1x2+5（x1+x2）+8=0，即證8k2－244k2+3+5－8k24k2+3+8=0.

而上式顯然成立，則點Q在直線x=－4上，故點Q到C1C2的距離d=4，此時S△QC1C2=12|C1C2|·d=4.

由（?。áⅲ┛芍?，△QC1C2的面積是定值．

2 對解題過程的反思

羅增儒教授說過，問題一旦獲解，就立刻產生感情上的滿足，從而導致心理封閉，忽視解題后的再思考，恰好錯過了提高的機會，無異于“入寶山而空返”．本題實測得分率不高，為了發揮試題的最大作用，培養學生對問題拓展研究的反思習慣，提升學生的解題能力，因此在講評試題時引導學生對解題過程進行多視角反思．

2.1 對審題的反思

審題是解題過程的重要組成部分，仔細審題是解題的前提和依據，是正確解題的根本保證．多數學生審題帶有習慣性和經驗主義思維，看到題目信息，沒有對題目進行周密的揣摩、審查以及深入的思考，最后習慣性地按照以往的解題經驗答題，導致失分．本題第（1）問屬于常規題，但實測數據顯示大部分學生未能得滿分，究其原因是審題不到位．學生根據題目所給的條件作出一般性的圖形，結合橢圓的定義得到點P的軌跡為橢圓，由于未能考慮到圖形的特殊性，造成失分．實際上，當直線l1與x軸重合時，點A1與點D重合，此時與題干“平行于A1D”的條件相矛盾，故而點P的軌跡為除去左右頂點的橢圓．這其實不是真正的馬虎、粗心，而是一種學習力的問題，是審題思維淺表層凸顯出來的問題．審題能力是一種獲取信息、分析信息、處理信息的能力，這種能力的獲得需要一個學習、積累、反思、鞏固、發展的過程.因此，平時教學中需注重培養學生的審題能力，防止因為刷題出現經驗主義審題．

2.2 對設線形式的反思

解題教學中，要注重提升學生的運算素養水平，使學生能針對運算問題，合理選擇運算方法、設計運算程序解決問題．圓錐曲線解答題的運算量龐大，有思路而解不出是較為常見的現象，合理運算、優化解法是快速解題的關鍵.細節決定成敗，對細節的處理尤為重要．題中直線l2過點A1（－1，0），解法1對直線l2的斜率是否存在進行分類，相對繁瑣，后續運算量也較大，如果設直線l2：x=my－1.可避免分類，整體運算量也會小很多．一般來說，直線過x軸上的定點（n，0）時，直線方程設為x=my+n；直線過y軸上的定點（0，b）時，直線方程設為y=kx+b.合理選擇直線方程形式，可以減少分類，降低運算量．

解法2：（2）結論③正確．下面證明△QC1C2的面積是定值．

依題意得，B1（－2，0），B2（2，0），C1（0，－1），C2（0，1），且直線l2的斜率不為0．

設直線l2：x=my－1，M（x1，y1），N（x2，y2），且x1≠±2，x2≠±2．

由x24+y23=1，x=my－1，得（3m2+4）y2－6my－9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=－93m2+4.

所以2my1y2=－3（y1+y2）．

直線B1M的方程為y=y1x1+2（x+2），直線B2N的方程為y=y2x2－2（x－2）.

由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），得

x=2y2（x1+2）+y1（x2－2）y2（x1+2）－y1（x2－2）

=2y2（my1+1）+y1（my2－3）y2（my1+1）－y1（my2－3）

=22my1y2+y2－3y1y2+3y1

=2－3（y1+y2）+y2－3y1y2+3y1

=－4．

所以點Q在直線x=－4上.故點Q到C1C2的距離d=4，此時S△QC1C2=12|C1C2|·d=4為定值．

2.3 對整體處理的反思

解題教學中，引導學生在深入理解和分析運算對象的基礎上形成優化的運算思路，是提升學生運算素養水平的關鍵．學生在解題過程中不難發現，聯立直線B1M，B2N的方程組，求出x的表達式的運算量頗大.轉換思維角度，要求x的值，可以通過方程組先求出x+2x－2的值，這樣“欲擒故縱”的整體處理方式可以大大減少計算量，起到四兩撥千斤的作用．

解法3：（2）上同解法1，由y=y1x1+2（x+2），y=y2x2－2（x－2），得x+2x－2=y2（x1+2）y1（x2－2）=y2（my1+1）y1（my2－3）=my2y1+y2my1y2－3y1

=－32y1+y2+y2－32y1+y2－3y1=13，解得x=－4.

所以可得S△QC1C2=12|C1C2|·d=4為定值．

2.4 對非對稱結構問題的反思

充分理解問題的解決思路，才能掌握解決一類問題的通性通法．本題不同解法的解答過程中均出現了非對稱韋達式結構問題，無法直接利用韋達定理代入化簡.非對稱問題是圓錐曲線的一大難點，平時教學中可以以微專題的形式講透其特征以及常見處理方法.解決非對稱問題的關鍵是將非對稱結構轉化為對稱結構，處理策略與思路較多．比如解法1，對于非對稱韋達式4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4，利用特殊到一般的思想進行處理，將證明4x1x2－2x1+6x23x1+x2+4=－4轉化為對稱韋達式2x1x2+5（x1+x2）+8=0的證明；再如解法2的2my1y2+y2－3y1y2+3y1、解法3的my2y1+y2my1y2－3y1非對稱表達式，利用兩根之和與兩根之積存在的倍數關系式2my1y2=－3（y1+y2）代入化簡．本題也可以利用曲線方程轉化斜率來求解．

解法4：（2）上同解法2.因為x224+y223=1，所以y2x2－2=－34x2+2y2.

故直線直線B2N的方程為

y=－34x2+2y2（x－2）．

由y=y1x1+2（x+2），y=－34x2+2y2（x－2），得

x－2x+2=－4y1y23（x1+2）（x2+2）

=－4y1y23（my1+1）（my2+1）

=－43y1y2m2y1y2+m（y1+y2）+1

=－43－9－9m2+6m2+（3m2+4）

=3，

解得x=－4.

所以可得S△QC1C2=12|C1C2|·d=4為定值．

2.5 對極點極線拓展知識的反思

波利亞說過，觀察可能導致發現，觀察將揭示某種規則、模式或定律．幾何直觀在探索解決問題的思路上發揮著重要作用.通過幾何直觀能把幾何情境問題轉化為運算問題，借助運算得到幾何的結果．本題第（2）問為結構不良問題，給出三個三角形，需確定哪一個面積為定值，如果無法確定是哪個三角形會導致思路受阻，后續的解題思路也會不明朗.細心的同學通過觀察會發現這是一道以極點極線為背景的問題．事實上，直線B1B2與直線MN交于點A1，利用極點極線知識可知A1為極點，所以直線B1M與直線B2N的交點Q在對應的極線x=－4上，順理成章地判斷△QC1C2的面積是定值．近幾年高考常涉及極點極線為背景的考題，高三復習時可安排極點極線的微專題講清楚概念與常見模型，特別是優生要掌握極點極線基本模型與解決策略．

3 反思解題過程，提升運算素養

3.1 注重通性通法，夯實運算功底

數學教學中要引導學生理解基礎知識，掌握基本技能，感悟數學基本思想，積累數學基本活動經驗，促進數學學科核心素養的不斷提升．對于數學概念、定理、法則，教師除了強調其應用，還應重視其生成過程，達到夯實運算基礎的目的．在解題教學中，應注重通性通法，淡化運算技巧．比如在解析幾何運算中，關注零元設線，合理設直線方程，降低運算量．對于非對稱問題的多種解題策略，應讓學生反思體會最優方法，從一題多解中領悟通性通法，打牢運算功底．

3.2 重視簡化運算，提升解題能力

簡化運算是針對運算問題，通過對照不同算理，選擇簡便的方法進行邏輯推理運算．在解題教學中，對于不同的方法教師要能從學生的思維角度去考量、對比各種方法的優劣，引導學生感悟更簡便的算法．比如弦長問題的本質是兩點間的距離，如果直接采用兩點間的距離公式勢必造成運算量加大，可以通過公式變形得到弦長|AB|=1+k2|x1－x2|，進一步利用一元二次方程根與系數的關系處理|x1－x2|，可以起到簡化運算求解的目的，優化解題．再如（kx1+m－1）＼5（kx2+m－1）+（x1－3n+1）＼5（x2－3n+1）的化簡整理，如果告訴學生去括號整理，絕大部分學生是無法完成的，教學中讓學生反思解題過程，并提出目標運算的算法，只需要填寫x1x2，x1+x2的系數，便可以完成式子的整理，實現解題效率最大化．