構(gòu)建探究式學(xué)習(xí)模式的初中數(shù)學(xué)教學(xué)

張興良

探究式學(xué)習(xí)是一種基于學(xué)生主動參與、探索的學(xué)習(xí)方式，它強調(diào)學(xué)生通過探索、發(fā)現(xiàn)并解決問題來構(gòu)建知識。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，探究式學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，提高他們的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力。本文以“等腰三角形的性質(zhì)”教學(xué)為例，來探討如何構(gòu)建探究式學(xué)習(xí)模式。

一、教學(xué)目標(biāo)

1.了解作為證明基礎(chǔ)的幾條公理，掌握證明的基本步驟和書寫格式。

2.能夠用綜合方法證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)定理。

3.經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的思想過程，了解證明的意義。

4.形成解決問題的一些基本策略，學(xué)會證明的過程，培養(yǎng)證明的應(yīng)用意識。

5.學(xué)會從操作中得出結(jié)論，再通過證明，論證得出的結(jié)論。

6.形成運用數(shù)學(xué)思維思考實際問題的習(xí)慣。

二、教學(xué)重點、難點

重點：經(jīng)歷“探索—發(fā)現(xiàn)—猜想—證明”的過程，證明等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)，并能運用性質(zhì)定理去解決相關(guān)的問題。

難點：在證明的過程中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)證明的要求及步驟，體會證明的思想。

三、學(xué)法建議

學(xué)生應(yīng)重點注意在證明思路和方法上的突破，弄清輔助線的添加及構(gòu)造；懂得通過圖形的對折、角度的測量、圖形的拼擺等方法探索圖形性質(zhì)并進行證明的思路的重要性。等腰三角形的性質(zhì)及結(jié)論的證明方法和途徑都不是唯一的；輔助線的添加方法也是多樣的。因此，學(xué)生要注意探索證明的不同方法，提倡證明方法的多樣性；要主動參與探索活動，多和同學(xué)交流。新課標(biāo)要求學(xué)生在具體情境中學(xué)會探索、發(fā)現(xiàn)證明的思路，在交流中產(chǎn)生不同的證明方法。學(xué)生應(yīng)采取自主探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式；能聯(lián)系生活中的實物，如身邊的建筑物、自然界中的圖形等學(xué)習(xí)角平分線、等腰三角形的概念和性質(zhì)。

四、教學(xué)過程

（一）提出問題，導(dǎo)入新課

師：在七年級下學(xué)期三角形一章的學(xué)習(xí)中，我們學(xué)習(xí)了有關(guān)三角形全等的幾條公理、定理，同學(xué)們還記得嗎？

生1：SSS、SAS、ASA、AAS，還有全等三角形的對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等。

（設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)前面所學(xué)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生回憶證明的要求及步驟，以更好的狀態(tài)和充足的準(zhǔn)備進入新內(nèi)容的學(xué)習(xí)。）

（二）應(yīng)用公理，探求新知

師：在前面的學(xué)習(xí)中，我們知道SSS、SAS、ASA是公理，不需要證明，是證明其他定理的基本依據(jù)，而AAS不是公理，需要證明，同學(xué)們能運用公理證明AAS嗎？

學(xué)生思考、小組合作交流，請一位同學(xué)展示證明過程。

教學(xué)分享：

小組合作是探究式學(xué)習(xí)的重要形式之一。教師可以將學(xué)生分成若干小組，鼓勵他們交流和合作共同解決問題。通過小組合作，學(xué)生共同探索并學(xué)習(xí)新知識。

如圖1，已知兩個三角形對應(yīng)的兩個角相等，且其中一組等角的對邊相等，那么這兩個三角形全等（AAS）。

證明過程：

已知：∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF

求證：△ABC≌△DEF

證明：∵∠A+∠B+∠C=180°

∠D+∠E+∠F=180°（三角形內(nèi)角和等于180°）

∴∠C=180°-（∠A+∠B），∠F=180°-（∠D+∠E）

又∵∠A=∠D，∠B=∠E（已知）

∴∠C＝∠F

又∵BC=EF（已知）

∴△ABC≌△DEF（ASA）

（設(shè)計意圖：設(shè)置具體問題，使學(xué)生在解決具體問題的過程中學(xué)會應(yīng)用已有知識進行證明，既激發(fā)了學(xué)生的求知欲，又訓(xùn)練了學(xué)生運用數(shù)學(xué)的能力；通過讓學(xué)生交流討論并動手證明，以此來熟悉證明的基本要求和步驟，為后面的推理證明做準(zhǔn)備。）

（三）問題引領(lǐng)，歸納新知

師：等腰三角形除了有兩條邊相等外，它還有哪些性質(zhì)呢？

生2：將等腰三角形沿著頂角左右對折后，兩邊能完全重合，說明等腰三角形的兩個底角相等。

生3：等腰三角形的兩個底角目測是相等的，所以我用量角器進行了測量，結(jié)果表明這兩個角確實相等。

師：同學(xué)們通過對折、用量角器測量等方法得出了等腰三角形的兩個底角相等，但結(jié)論僅僅靠驗證還不夠。

教學(xué)分享：在探究式學(xué)習(xí)過程中，為了最大限度地挖掘?qū)W生自身的潛力，教師可以給學(xué)生提供一些學(xué)習(xí)資源和參考資料，引導(dǎo)他們進行學(xué)習(xí)和思考。所以，當(dāng)學(xué)生使用對折和量角的方法得出等腰三角形的兩個底角相等時，教師要及時引導(dǎo)學(xué)生，結(jié)論僅靠驗證還不夠，需要進一步進行邏輯證明。

已知：如圖2，在三角形ABC中，AB=AC

求證：∠B=∠C。

生4：我們前面所學(xué)的公理和定理中，SSS、SAS、ASA、AAS，都是在兩個三角形中進行對比得出的結(jié)論：兩個三角形的三條邊相等；兩個三角形的兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等；兩個三角形對應(yīng)的兩邊及夾角相等；兩個三角形的兩角及其中一角對應(yīng)的邊相等。而在圖2中，只有一個三角形ABC，無法使用上面的公理或定理，結(jié)合我們剛才動手操作時將三角形沿頂角對折從而分成兩個全等的三角形，我們可以在進行推理證明時，取線段BC的中點D，然后連接AD，這樣就可以得到兩個全等的三角形ABD和ACD，從而證明等腰三角形的兩個底角相等。以下是具體證明步驟：

證明：取BC的中點D，連接AD

∵AB=AC，BD=CD，AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）

教師：這位同學(xué)通過作線段BC中線的方法得到兩個全等三角形，進而證明等腰三角形的兩個底角相等。除此之外，同學(xué)們還有什么別的方法可以證明∠B=∠C。

教學(xué)分享：

教師可以根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況設(shè)計一些啟發(fā)性問題，激發(fā)學(xué)生的思考和興趣。這些問題應(yīng)具有一定的挑戰(zhàn)性，能夠引導(dǎo)學(xué)生進行自主探索和思考。

如，在證明等腰三角形的兩個底角相等時，第一位同學(xué)用添加中線的方法進行論證后，教師不是一鼓作氣把剩余內(nèi)容全部講授完，而是及時提問其他同學(xué)還有什么更好的方法，引導(dǎo)學(xué)生用前面所學(xué)的公理和定理自行推理證明，并進行展示，使學(xué)生能夠主動參與到學(xué)習(xí)過程中。

生5：我們可以作角A的平分線并與線段BC相交于D。連接AD，這樣在三角形ABD和三角形ACD中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，根據(jù)公理SAS可知三角形ABD和三角形ACD全等。所以，可以得出∠B=∠C。

證明：作角A的平分線并與線段BC相交于D，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）。

生6：可以通過頂點A作底邊BC的垂線AD，在直角三角形ADB和直角三角形ADC中，AB=AC，AD=AD，根據(jù)直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對應(yīng)相等，這兩個三角形就是全等三角形的定理可知，直角三角形ABD和直角三角形ACD全等，所以可得出：∠B=∠C。

證明：通過頂點A作底邊BC的垂線AD，

∵在直角三角形中AB=AC，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（直角三角形中一條斜邊和一條直角邊都對應(yīng)相等，這兩個三角形就是全等三角形），∴∠B=∠C（全等三角形的對應(yīng)角相等）。

師：同學(xué)們剛才通過作頂角的平分線、作底邊的中線、底邊的高線，用三種不同的方法證明了兩個三角形全等。由此，我們知道了所作的輔線，它既是頂角的平分線，又是底邊的中線和高線。也就是說，我們在用不同的方法在證明等腰三角形兩個底角相等的同時，又得出了等腰三角形的另一個性質(zhì)：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線及底邊上的高線互相重合，簡稱“三線合一”。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過多種方法解決同一個問題，提高他們靈活運用知識的能力，同時為得出等腰三角形的另一性質(zhì)提供鋪墊；讓學(xué)生通過猜想、實驗驗證、邏輯證明、總結(jié)歸納，使他們對所學(xué)知識產(chǎn)生深刻印象；讓學(xué)生在運用不同方法進行推理證明的過程中，學(xué)會由問題入手，運用所學(xué)知識，逐步倒推去解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推斷能力。）

（四）思維拓展，實際應(yīng)用

師：剛才我們學(xué)習(xí)了等腰三角形的性質(zhì)，現(xiàn)在請同學(xué)們思考一下，在實際生活中，有哪些地方利用了等腰三角形的這些性質(zhì)呢？

生7：建筑工人在建房時，為了確定房梁是否水平，常用的方法是把一塊等腰三角板放在梁上，從頂角頂點系一重物，如果系重物的繩剛好經(jīng)過三角板底邊的中點，就認(rèn)為房梁是水平的。

師：能說一下理由嗎？

生7：首先，使用的工具是等腰三角板，要想知道是否經(jīng)過中點，看三角板的刻度就知道了。當(dāng)重物經(jīng)過了等腰三角板的中點，那懸掛的線就是底邊的中線。根據(jù)三線合一，它也是底邊的垂線，而懸掛的線是鉛垂方向（由物理知識可知，在懸掛的線上掛上重物后，重力的方向是豎直向下的，跟它垂直的房梁就是水平的），所以房梁就是水平的。

生8：江河上的斜拉索橋就是等腰三角形的。只有路兩邊的拉索在長度相等的情況下，才能保證兩邊受力相等，保證橋的受力平衡。

師：同學(xué)們的分享很精彩，說明大家不僅掌握了今天所講的知識，還能在平時的生活里用心觀察，能夠運用所學(xué)知識去思考問題。希望以后大家能發(fā)現(xiàn)更多蘊含在生活中的數(shù)學(xué)知識，做到學(xué)以致用，有所創(chuàng)新。

教學(xué)分享：探究式學(xué)習(xí)強調(diào)將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到真實的情境和問題中。因此，教師可以設(shè)計一些真實的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生通過探索和解決問題理解數(shù)學(xué)概念和原理，這樣既能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也能引導(dǎo)學(xué)生將所學(xué)知識運用到現(xiàn)實生活中。

五、教學(xué)總結(jié)

學(xué)生可以通過寫日記、小結(jié)等方式總結(jié)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和收獲。教師可以提供及時的反饋和評價，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)不足并改進學(xué)習(xí)方法。為了評估探究式學(xué)習(xí)模式的實施效果，教師可以采用多種評估方法，如觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)情況、聽取學(xué)生的意見和建議、進行作業(yè)和考試等。同時，教師還可以根據(jù)學(xué)生在探究式學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)和成長評估學(xué)生的思維能力和問題解決能力。

探究式學(xué)習(xí)模式是一種有效的學(xué)習(xí)方式，它可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和動力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和問題解決能力。在探究式學(xué)習(xí)的實施過程中，教師應(yīng)注重學(xué)生的主動性，真實情境的創(chuàng)建、問題驅(qū)動、合作學(xué)習(xí)的運用，反思和評價的作用，構(gòu)建探究式學(xué)習(xí)模式，并不斷改進和完善這一教學(xué)模式來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果和教學(xué)質(zhì)量。

（作者單位：甘肅省榆中縣教學(xué)研究室）

編輯：蔚慧敏