凸顯概念教學 落實核心素養

顧文銀

1 問題的提出

數學概念是數學的邏輯起點，是激發與升華數學思維的保障，也是培養多種核心素養的重要載體.數學教育教學領域十分關注數學概念教學策略問題的探討和研究.可見，以核心素養為指導進行數學概念教學是值得深思的.本文給出了“曲線和方程”這一節課新教學設計下的具體實踐，并提出了核心素養指導下概念教學的一些思考.

2 教學過程

2.1 問題前置，創境引思

師：我們已經學習了解析幾何的一些知識，如“直線與圓的方程”.那么，大家知道哪位數學家被稱為解析幾何之父嗎？

生（齊）：笛卡兒.

師：很好，讓我們一起來一場與他的“親密接觸”！（課件展示：數學的兩大分支“代數”與“幾何”完美結合成為解析幾何，通過二者的相互結合、相互促進，它們一改往日的緩慢進展，變得愈發迅猛，最終向著完美的方向前進，這樣偉大的貢獻源于——笛卡兒.由于他對數學事業的杰出貢獻，產生了以他名字命名的“笛卡兒坐標系”.）

師：笛卡兒坐標系有哪些？

生1：平面直角坐標系.

師（追問）：在平面直角坐標系中，點與坐標的對應關系如何？

生（齊）：一一對應.

師：若點運動成了曲線，是否還有方程與曲線對應？又該如何去求這樣的方程的呢？（學生若有所思.）

師（拾級而上）：今天就讓我們一起來研究這些問題.（板書課題.）

設計意圖：課堂引入的形式多樣，從數學史角度引出新課題是其中的一種，形象生動.學生似懂非懂，此時最能激起思維的浪潮，激發探索的熱情，感悟理解新知的實際意義.

2.2 初步探索，形成感知

問題1? 如圖1，方程x-y=0，|x|-|y|=0，x-y=0中表示第一、三象限的角平分線的有哪些？為什么？

生2：方程x-y=0可以，其余均不可以.

師：理由呢？

生2：方程|x|-|y|=0，即方程y=±x，它對應的圖形即為兩條直線（見圖2），對照圖1，多出了一部分，所以不可以；方程x-y=0，即方程y=x（x≥0），它對應的圖象即為一條射線（見圖3），對照圖1，又缺失了一部分，所以也不可以；而方程x-y=0所對應圖象恰好就是表示第一、三象限的角平分線.

生3：點集.

師：很好！那圖3中，射線上的點與方程x-y=0的解又是什么樣的關系呢？

生4：一一對應.

師：我們將A視為直線上點的集合；B視為以方程的解為坐標的點的集合，那么問題1中各個方程的集合B與集合A的關系如何？

生5：“x-y=0”是“A=B”；“|x|-|y|=0”是“AB”；“x-y=0”是“BA”.

師：還能再精確些嗎？

生6：“x-y=0”是“A=B”；“|x|-|y|=0”是“AB”；“x-y=0”是“BA”.

師：真棒！那么，從直線上點與方程解的對應關系的視角該如何闡釋呢？

生6：以方程x-y=0的解為坐標的點均在直線上……

師：可以如此精確而全面地闡述，真是太棒了！現在思考“方程表示直線的條件”，誰能試著歸納？

生7：方程表示直線的條件——以方程的解為坐標的點均在直線上；直線上所有點的坐標均為方程的解.簡記為“方程→直線，直線→方程”.（其余學生被生7的一番闡述所震驚，有贊同，有欽佩，有驚嘆.）

師：生7在歸納條件的基礎上還能進行提煉，太妙了，充分展示了他的探索力和創造力！來，掌聲送給他！（此時，如雷鳴般的掌聲響起……）

問題2? 試著畫出方程x=1-y2（y≥0）所對應的曲線.

師：誰來試一試？（有學生自告奮勇板演出圖4.）

師：是個半圓，為什么呢？

生8：由x=1-y2（y≥0），得出x2+y2=1（y≥0），所以它對應的圖形是個半圓.

師：似乎有點道理.真的是半圓嗎？（學生開始小聲討論，有的陷入沉思.）

生8：我想到了，不對！方程x=1-y2（y≥0）中實則還包含了隱含條件x≥0，所以可得x2+y2=1（x≥0，y≥0），它對應的圖形應該是四分之一圓，如圖5所示.

師（追問）：你能基于“方程的解與圓弧上的點的對應關系”的視角，具體說一說圖4不可以而圖5可以的原因嗎？

生8：圖4滿足“方程→圓弧”，但不滿足“圓弧→方程”；而圖5兩個方向均滿足.（學生都點頭贊同生8的觀點.）

師：那我們再來思考“圓弧表示方程所對應的曲線的條件”，誰來歸納？

生9：圓弧表示方程所對應的曲線的條件是“方程→圓弧、圓弧→方程”均滿足.

設計意圖：“曲線與方程”是學生比較陌生的概念，不易與生活經驗對接.像這樣的概念教學，我們只有通過已有知識經驗來搭橋引路，采用問題驅動的方式，通過解析幾何中最為核心的兩個問題來達成曲線與方程的雙向研究，讓學生在深度學習中獲得初步感知，為之后的生成提供有效助力.

2.3 深入探究，有效生成

問題3? 在問題1和2的基礎之上，進一步思考：

（1）若用方程f（x，y）=0表示給定的曲線C，則該方程需滿足哪些條件？

（2）若用一條曲線C表示給定的方程f（x，y）=0，則該曲線需滿足哪些條件？

師：根據你們剛才探索獲得的理解，解決問題3.先獨立思考，再小組交流你是怎么想的，5分鐘后展示你的想法.（學生自然進行思考和討論.）

師：誰來說一說呢？

生10：在第（1）問中，方程需要滿足2個條件，即“以方程的解為坐標的點均在曲線上”“曲線上的點的坐標均為方程的解”.

生11：在第（2）問中，曲線需要滿足2個條件，即“以方程的解為坐標的點均在曲線上”和“曲線上的點的坐標均為方程的解”.

師：非常好！（課件呈現具體概念.）

師（追問）：這個概念中兩個條件可以去掉一個嗎？概念中的“能”可以去掉嗎？

生12：不可以，兩個條件缺一不可.“能”字也不能去掉，它代表無一例外.

師：我們將A視為曲線上的點所構成的集合；B視為以方程的解為坐標的點所構成的集合，請闡述這兩個條件所對應的集合A，B的關系.

生（齊）：條件1表示AB；條件2表示BA.

師：概念中條件1、條件2同時成立，表示什么？

生13：A=B.

師：方程f（x，y）=0的解與曲線C上的點一一對應.曲線C的方程即為f（x，y）=0，我們也可以說曲線f（x，y）=0.

設計意圖：數學的嚴謹性是毋庸置疑的，因而概念的敘述也需準確精煉，所以概念的論述需要步步有依據且簡潔明了.在以上設計中，學生通過從具體到抽象的學習，能夠獲得概念的內化，水到渠成地生成概念，同時可以很好地孕育抽象概括能力與創造性思維能力.

2.4 小試牛刀，鞏固提升（略）

2.5 課堂小結，總結提升（略）

3 教學評析與思考

3.1 基于“生本理念”，設計適切問題

基于“生本理念”，就是很好地關注學生已有的知識、經驗和當前學習內容的有機聯系，設計適切的問題，激蕩學生的探究之情.本課的導入中通過一位數學家的故事將以前學過的“點與坐標的關系”和即將要學的“曲線與方程的關系”聯系在一起，從一個較高的角度讓學生體驗和感知“數形結合”的魅力，自然而然地從已有知識區域向著四周發散開去，就這樣，新的發展區域水到渠成地出現了.顯然，這樣的問題導入不僅有趣，也是高效的.

3.2 基于“三個理解”，準確實施教學

數學教師不僅需要傳授數學知識，還需要將數學意識與數學思想傳授給學生，需要從學生的認知心理、智能水平和學習需求出發，基于“三個理解”準確定位和實施教學，讓學生沉浸于教師營造的探索環境之中，通過自己的想象、思考、實踐、表達去主動發現規律、生成知識、體驗成功，最終培養和發展數學核心素養.