“三新”夯基礎，素養重創新：“概率”單元教學

范繼榮 楊喜霞

在“三新”背景下，“概率”單元教學更加側重于數學實踐，依托數學“四基”層面，合理創設知識網絡與體系，落實核心素養；并在此基礎上，進一步借助典型實例問題與剖析，落實數學概念的基礎性，凸顯數學公式的應用性，展示數學思維的靈活性，強化數學知識的應用性等，促進學生素養的形成.

1 構建知識網絡，落實核心素養

對于“概率”單元教學的設計與研究，必須圍繞數學“四基”層面，借助該單元知識網絡，合理聯系起各個知識點，構建一個完整的網絡體系，為進一步落實相應的數學核心素養提供條件.

圖1為“概率”單元的知識網絡圖.

對于以上“概率”單元教學的知識網絡圖，從“四基”的不同視角合理展開，有效關注學生對“四基”的落實情況，強化發現問題、提出問題、分析問題以及解決問題能力的培養與提升，重視數學核心素養的培養與發展.

2 借助典例設置，強化核心素養

2.1 從問題場景中加以數據分析

例1? 九宮格的起源可以追溯到遠古神話中的洛書，其圖案中填有1到9九個數字，滿足圖案中的三條線（縱向、橫向、斜向）上的三個數字的和都等于15，即現代數學中的三階幻方，這個和值叫做幻和.根據洛書記載：“以五居中，五方皆為陽數，四隅為陰數.”其意思為：九宮格中5位于居中位置，四個頂角為偶數，其余位置為奇數.如圖2所示，

若隨機填寫一組幻和等于15的九宮格數據，記事件A=“a+b≥9”，則P（A）的值為.

分析：根據題設條件，依托問題場景，從中加以分析并抽取出對應的數據信息，合理進行數據分析與應用，進而從不同的思維視角切入，對數據分析給予全新的思維，達到解決概率求解的目的.

解法1：常規方法——枚舉法.

根據九宮格的特征，可知四個頂角a，c，h，f是偶數2，4，6，8的一個排列，b，e，g，d是奇數1，3，7，9的一個排列.

而九宮格的幻和等于15，則知（2，8），（4，6）出現在對角線上，（1，9），（3，7）出現在上下（或左右）位置上.

通過枚舉，其結果如圖3所示.

294

753

618

276

951

438

438

951

276

492

357

816

618

753

294

672

159

834

816

357

492

834

159

672

所以P（A）=68=34.

解法2：對稱法.

根據九宮格的特征，可知a+b+c=15，而a+b≥9，則c≤6.

而九宮格的四個頂角為偶數，根據對稱性可知，c取偶數2，4，6，8是等可能的，則所求的概率為34.所以P（A）的值為34.

點評：與解法1中的枚舉法比較，“抓地位對等，定概率相同”，借助概率事件的對稱性，解法2中的對稱法應用，解題方法更加靈活，技巧思維層次更高，數學運算與解題過程更加簡捷，數據分析與數據處理更加合理.

2.2 從概率求解中加以數學運算

例2? 籃球隊的5名隊員進行傳球訓練，每位隊員把球傳給其他4人的概率相等，由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的概率為（? ）.

A.1564

B.932

C.2764

D.3364

分析：根據題設條件，通過概率求解時對應的不同情況加以分析，進而借助相互獨立事件的概率公式來計算.注意事件的判斷與概率計算公式的正確運算.

解析：由題意可知，每位隊員把球傳給其他4人的概率都為14.由甲開始傳球，則前3次傳球中，乙恰好有1次接到球的情況可分為只在第一次接到球、只在第二次接到球，以及只在第三次接到球.

故所求概率為14×1×34+34×14×1+34×34×14=3364.

點評：歸納解決相互獨立事件概率計算問題的基本步驟.（1）判斷獨立性.若一個事件是否發生對另一個事件的發生沒有影響則二者相互獨立.（2）合理利用性質.若A，B是相互獨立事件，則A與B，A與B，A與B也是相互獨立事件.（3）利用公式計算.若A，B相互獨立，則P（AB）=P（A）P（B）.特別要注意的是，求解獨立事件中的概率問題時，關鍵在于先判斷出題目中相關的事件的獨立性，然后由事件的性質對事件進行分解、轉化，從而得以解決問題.

2.3 從事件分析中加以邏輯推理

在概率問題中，不同事件之間的判定與關系是解決問題的關鍵所在.特別是涉及互斥事件、對立事件、獨立事件等問題，在實際解決概率問題時，要合理正確判斷并加以邏輯推理.

2.4 從應用情境中加以數學建模

例3? 2022年11月21日，第22屆世界杯在卡塔爾開幕.小組賽階段，已知某小組有甲、乙、丙、丁四支球隊，這四支球隊之間進行單循環比賽（每支球隊均與另外三支球隊進行一場比賽）；每場比賽勝者積3分，負者積0分；若出現平局，則比賽雙方各積1分.若每場比賽中，一支球隊勝對手或負對手的概率均為14，出現平局的概率為12.小組賽結束后，求四支球隊積分均相同的概率.

分析：根據比賽規則以及對應的應用情境，從中確定積分的規則，進而加以合理數學建模，利用相互獨立事件的概率來分析與求解.

解析：由于小組賽共打6場比賽，每場比賽兩個球隊共積2分或者3分，6場比賽總積分的所有情況為12分，13分，14分，15分，16分，17分，18分，共7種.要使四支球隊積分相同，則總積分能被4整除.所以每支球隊總積分為3分或者4分.若每支球隊得3分，則6場比賽都出現平局，其概率為P1=164；若每支球隊得4分，則每支球隊3場比賽結果均為1勝1平1負，其概率為P2=14×12×14×14×12×14×6=3512.

所以四支球隊積分均相同的概率為P=P1+P2=11512.

點評：挖掘比賽規則，對應構建相應的數學模型，加以巧妙數學建模.這里，積分制體育比賽中，規定比賽m場后各隊按照積分排名決定比賽名次，此時要注意積分的規則.積分制體育比賽在實際體育項目中有世界杯的小組賽等.

3 體現感悟反思，注重核心素養

在“三新”背景下，進一步落實“雙減”政策與新改革理念，積極貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》要求，“概率”單元教學的設計與研究，應該更加關注基礎、本質、能力、創新等層面，更多側重數學基礎與關鍵能力的考查，強化數學核心素養導向，更加注重數學創新意識與創新應用等.