融合信息技術　促進深度學習

王麗鳳　陶珺

［摘 要］以教育信息化引領教育現代化的發展，一定要堅持信息技術與教育教學深度融合的理念。文章以“函數的單調性與最大（?。┲怠钡慕虒W為例，闡述如何將信息技術與高中數學教學進行深度融合。

［關鍵詞］信息技術；高中數學教學；融合；深度學習

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）11-0018-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》在“課程理念”部分指出，要促進信息技術與數學課程融合，利用現代信息技術，設計生動的教學活動，促進數學方式方法的變革。在當今信息化時代，隨著信息技術的迅猛發展，將各種信息技術和網絡資源逐步融入中學數學教學中，是落實數學核心素養的重要途徑之一。

信息技術是指應用計算機、網絡以及多媒體等現代電子技術，對信息進行采集、存儲、傳輸、加工、應用和保護的技術體系。信息技術與數學教學融合的方式主要是綜合利用音頻、圖片、視頻等網絡資源，將公式、定理、概念等動態化、直觀化地展示出來，讓學生在直觀化、信息化的環境下迅速找準數量關系，明確數學動態關系，從而開展數學深度學習。

信息技術與高中數學教學的融合是非常緊密的，在高中數學教學中有著廣泛應用的信息技術主要有以下幾種：

1.白板軟件。白板軟件有著強大的可視化功能，利用它可以使諸多圖片、視頻、網頁、文本、畫筆、流程圖、思維導圖等成為信息傳遞的媒介，其中一些教育類白板軟件為教師提供了豐富的教學資源，便于教師更好地進行師生、生生互動。

2.幻燈片演示軟件（簡稱PPT）。PPT可以創建含有文本、表格、圖像、視頻、音頻等多種元素的課件，以實現課堂中精彩的演示。

3.幾何畫板。幾何畫板是一款作圖和實現動畫的輔助教學軟件，是出色的數學教學軟件之一，它能夠動態地展示幾何對象的確切位置關系、運行變化規律。

4.GeoGebra軟件（簡稱GGB）。GGB是一款功能極其強大的圖形計算器，它除了可以繪制平面圖形、3D圖形，還可以處理代數和符號運算、概率統計運算、幾何運算、微積分運算等多種運算。GGB可以在代數區顯示出圖形的信息，同時可以在繪圖區通過拖動對象來觀察代數區的表達式、坐標的同步變化，加深學生對圖形與數據之間變化關系的理解，從而有效地提高學生的學習效率。下面筆者以“函數的單調性與最大（?。┲怠苯虒W為例，闡述如何將信息技術與高中數學教學進行深度融合。

一、信息技術與高中數學教學的融合實踐

（一）創設情境

師：科考隊對沙漠氣候進行科學考察，如圖1所示是沙漠地區某天氣溫隨時間的變化曲線圖。你能根據曲線圖說一說氣溫隨時間的變化情況嗎？

設計意圖：讓學生從氣溫隨時間變化的曲線圖中體會“早穿棉襖午穿紗，圍著火爐吃西瓜”這一獨特的沙漠氣候，直觀感知氣溫變化；自然引入函數的單調性，激發學生的學習興趣，讓學生體會數學來源于生活。

問題1：觀察三個函數圖象（如圖2），說說它們反映了函數的哪些性質？

師生活動：通過前面的鋪墊，學生從單調性等角度觀察函數圖象，進而發現函數的最值、對稱性等。教師進一步給出函數單調性的概念。

設計意圖：給出函數一般的圖象，讓學生感受到可以從多個角度研究函數的性質，為后面重點研究函數的單調性做好鋪墊。

（二）復習回顧

1.一次函數[y=kx+b（k≠0）]的圖象及其性質

當[k>0]時，一次函數[y=kx+b]的圖象如圖3所示。

問題2：觀察圖象，它反映了函數的哪些性質？

追問1：直線上的一個動點[P]從[P1]運動到[P2]，點[P]的位置升高了，[P1]、[P2]對應的坐標關系可以怎么表示？

追問2：[x1]和[x2]的范圍是什么？

師生活動：學生回顧初中學過的一次函數及其圖象。首先是以[k>0]為例，直觀感受圖象特征：從左往右逐漸上升。從函數的角度歸納出函數值[y]隨[x]的增大而增大的一般規律。教師通過引導“從點[P]運動的角度看直線呈上升的趨勢”，得到單調遞增的符號語言表示。接著，由學生在[k<0]的條件下用三種語言表示函數單調遞減的性質。

設計意圖：在學生已有的認知基礎上，通過問題串引導學生初步形成“函數單調性的定義”的符號表示。在這個環節中，通過強調三種語言（圖形語言、自然語言、符號語言）的轉化，使學生形成研究數學性質的一般思路，即從“形”的角度感知函數圖象的特征，并能描述性質，最后用數學符號表示。函數性質的符號化有著很重要的意義，它是函數性質能夠“量化”的基礎，也是高中階段研究函數的方法較初中更為“高級”的地方。

2.特殊函數[f（x）=x2]在區間[-∞，0]上單調性的數學符號語言表達

教師利用信息技術給出函數[f（x）=x2]的圖象，并標出兩動點[A]、[B]的坐標，如圖4所示。

問題3：你能用符號語言描述[f（x）=x2]在區間[-∞，0]上的單調性嗎？（學生動手探究）

追問1：“[x]增大”用符號語言怎樣表示？相應的“函數值[y]減小”用符號語言怎樣表示？

追問2：你能用字母符號表達它們的共同特征嗎？

追問3：這里變量[x1]、[x2]要滿足什么條件？只取某些數是否可以？

追問4：你能給出更嚴謹的表達嗎？

教師活動：教師利用信息技術展示函數[f（x）=x2]圖象，然后讓學生在[y]軸左側隨意拖動[A]、[B]兩點，讓學生感受到：只要某點的橫坐標比另一個點的橫坐標小，它的縱坐標就比另一個點的縱坐標大。

設計意圖：“任意”“都有”這類無限語言取值的理解是教學難點，教師通過信息技術動態展示了函數值[y]隨自變量[x]變化而變化的規律，學生可以親自動手操作并且感受自變量取值的任意性。

問題4：類比上述方法，你能用符號語言描述[f（x）=x2]在區間[0，+∞]上的單調性嗎？

（三）形成概念

問題5：你能用符號語言描述函數[f（x）=x]（如圖5）和[f（x）=-x2]（如圖6）的單調性嗎？

學生活動：類比熟悉的二次函數[f（x）=x2]的單調性的描述方法，進一步用三種語言描述函數的單調性，提高單調性的區間意識；通過觀察函數圖象發現函數[f（x）=x]和 [f（x）=-x2]的單調性，進一步用三種語言描述函數的單調性。

問題6：你能歸納關于函數[f（x）=x2]， [f（x）=x] ，[f（x）=-x2]的單調性的刻畫方法，給出函數[y=f（x）]在區間[D]上單調性的符號表示嗎？

學生歸納總結出[f（x）=x2]，[f（x）=x]，[f（x）=-x2]的單調性（見表1）。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，當[x1 （1）[?x1]，[x2∈-∞，0]，當[x1f（x2）]。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，當[x1 （1）[?x1]，[x2∈-∞，0]，當[x1f（x2）]。

（2）[?x1]，[x2∈0，+∞]，當[x1

師生活動：首先由學生獨立完成，再小組進行交流討論，然后全班學生共同得出結論，最后教師給出函數單調性的定義。

設計意圖：數學研究的基本原則是從簡單到復雜、從特殊到一般，在利用一次函數進行鋪墊后，以二次函數[f（x）=x2]為例，讓學生理解符號語言的使用，再通過函數[f（x）=x]和[f（x）=-x2] 強化符號語言的使用，從而抽象出函數單調性的定義。

（四）概念辨析

思考1：反比例函數[f（x）=1x]在定義域上是減函數嗎？

思考2：設A是區間D上某些自變量的值組成的集合，而且[?x1]，[x2∈A]， 當[x1

設計意圖：通過辨析反比例函數，使學生進一步理解函數單調性的定義，體會正是因為單調性強調“任意……都……”，所以導致“單調性是函數的局部性質”這一特征的形成。

（五）應用探索

［例1］根據函數單調性的定義，研究函數[f（x）=kx+b（k≠0）]的單調性。

師生活動：先讓學生獨立思考，再讓學生共同討論研究思路，然后由學生給出嚴格的表述（或讓幾個學生板書），最后教師引導學生進行點評。

設計意圖：引導學生利用定義證明結論，既體現形式化定義的作用，又通過推理過程，讓學生理解使用函數單調性的定義證明函數單調性的基本步驟與方法。

［例2］物理學中的玻意耳定律[p=kV]（[k]為正常數）告訴我們，對于一定量的氣體，當其體積V減小時，壓強p將增大，試對此用函數的單調性證明。

學生活動：先思考“體積V減小時，壓強p增大”的字面意思，再聯系物理學中的意義，然后給出證明過程，最后共同總結完善結論。

追問：你能總結例1、例2的解題過程，歸納用函數單調性的定義研究或證明函數單調性的基本步驟嗎？

設計意圖：讓學生體會數學函數模型的作用；明確數學研究的思路：抽象概括生活中的一般性問題，再將這些一般性問題抽象成一類函數，最后研究這一類函數的性質，從而得到事物變化的本質規律；共同完善、總結證明函數單調性的基本步驟和方法。

學生活動：利用函數單調性的定義證明一次函數和反比例函數的單調性，并歸納證明步驟。

設計意圖：學生利用函數單調性的定義，從代數運算的角度對一次函數的單調性進行討論，由此體會到：用符號語言描述函數的單調性，使得函數的這一性質得以量化、證明，進一步體會數學符號的嚴謹性、科學性和間接性，同時對初中三大函數（一次函數、二次函數、反比例函數）的單調性有完整的認識。

（六）歸納小結

知識點：1.三種數學語言及其轉換；2.函數單調性的定義；3.判斷函數單調性的方法：圖象法、定義法；4.證明函數單調性的基本步驟。

思想方法：數形結合、分類討論。

領悟與體驗：數學源于生活，知識源于積累。

設計意圖：讓學生總結研究函數性質的一般方法，體會形與數之間的轉化。為后續學習函數的最值、對稱性、周期性等提供研究思路。

二、信息技術與高中數學教學深度融合的意義

深度學習是教師引領學生對知識進行深層加工，對學習主題進行整體設計，引領學生深入理解知識本質，主動參與探究問題的過程。深度學習可促進學生的思維從低階走向高階，使學生深刻領悟思想方法，進而提升學習內驅力。

首先，信息技術與高中數學教學的深度融合實現了教學方式的改變。數學深度學習需要教師優化教學設計，例如本教學設計在提出問題3時讓學生利用信息技術拖動[A]、[B]兩點，創設了學生感興趣的探究活動，充分調動學生學習的積極性，引導學生主動參與學習，使學生獲得感知與體驗，逐漸提升學生的數學能力與核心素養。

其次，信息技術是深度學習的強有力的工具，信息技術可將公式、定理、概念、圖形、音頻、視頻等資源動態化、直觀化地展示出來，這方面的作用在本教學設計中十分明顯。學生在直觀化、信息化的環境下能迅速找準數量關系，明確數學動態關系，從而實現由簡單的知識結構向抽象的知識結構轉化，促進學生的數學思維從低階走向高階。

最后，利用信息技術可以有效破解教學難點。本節課中，對“任意”“都有”這類無限語言取值的理解是教學難點，教師通過信息技術動態展示了函數值[y]隨自變量[x]變化而變化的規律，學生可以親自動手操作并且感受自變量取值的任意性，教學效果奇佳，有效地突破了教學難點。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中教科書 數學 必修 第一冊［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 于鶯彬.基于問題導向的高中數學核心素養培養策略［J］.數學通訊，2019（10）：4-7，10.

（責任編輯 黃桂堅）

［基金項目］本文系2024年南寧市教學成果“‘三階六步教學模式的實踐與研究——基于信息技術促進高中數學深度學習”的應用。