利用同構法構造函數巧解難題

劉赒 葉舒琪 吳秀君

課題信息：武漢市屬高校教研課題“學科教學（數學）案例庫教學與案例庫建設”，課題編號為2021003.吳秀君為通訊作者.

摘要：在指數函數與對數函數混合型問題中，常采用同構的方式結合函數性質解題，其關鍵在于巧妙構造函數模型進行同構，熟練掌握指數、對數的運算性質，結合函數單調性，化繁為簡從而突破難點.

關鍵詞：指數;對數;同構

1 知識基礎

同構式是指變量不同，結構、形式都相同的數學表達式［1］.同構的過程就是通過移項、拆分、配湊等手段將一個數學表達式恒等變形，使其左右兩邊呈現形式、結構完全一樣的狀態，然后構造輔助函數，借助輔助函數的性質來解決問題［2］.為了實現同構，需要對指對式改頭換面，常用方法有如下幾種.

1.1 指對冪運算

常見形式：x=eln x，xex=ex+ln x，exx=e-ln x+x，aex=ex+ln a，ln x+ln a=ln（ax），ln x-ln a=lnxa，ln x-1=lnxe.

1.2 四則運算

通過四則運算進行添項、減項、拆分或配湊變形為同構式.

2 利用同構法構造函數

同構的難點在于將兩個結構不同的代數式構造成兩個結構相同的代數式，同構式如何構造？如何選取函數？同構式需要先構建一個與變形后左右兩邊形式一樣的函數，這個函數要做到最值易求、單調性易證.

一般構造以下三種類型的函數作為外函數的復合函數就可以解決問題：

2.1 積型：f（x）=xex，f（x）=xln x

例1? 若對任意的x>0，不等式2ae2x-ln x+ln a≥0恒成立，求實數a的最小值.

分析：觀察不等式，利用移項結合指對冪運算進行變換可以構造同構函數f（x）=xex，運用函數單調性即可求解.

解析：將不等式2ae2x-ln x+ln a≥0移項，得2ae2x≥ln x-ln a.由指對冪運算，得2ae2x≥lnxa，變形得2x＼5e2x≥xa＼5lnxa，即

2x＼5e2x≥lnxa＼5elnxa.

令f（x）=xex，則原不等式等價于f（2x）≥flnxa.又f′（x）=ex+xex，當x>0時f′（x）>0，則f（x）在（0，+∞）單調遞增，于是有2x≥lnxa，即a≥xe2x恒成立.

令g（x）=xe2x（x＞0），則g′（x）=1-2xe2x.

當00；當x>12時，g′（x）<0.所以g（x）在0，12上單調遞增，在12，+∞上單調遞減，則g（x）max=g12=12e.

故實數a的最小值為12e.

評注：例1除以上解法外，還有兩種同構方法供讀者自己嘗試，即2x＼5e2x≥xa＼5lnxa→f（x）=xln x，2x+ln（2x）≥lnxa+lnlnxa→f（x）=x+ln x.

例2? 已知e為自然對數的底數，a，b均為大于1的實數，若aea+1+b

A.b

B.b>ea+1

C.ab

D.ab>e

分析：觀察不等式，進行移項以及指對冪運算可化簡得ealn ea

解析：將不等式aea+1+b

aea+1

即ealn ea1時，f′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）單調遞增.由a，b均為大于1的實數，可得ea>1.又b（ln b-1）>aea+1>0，b>0，所以ln b>1，即b>e，即be>1.所以eaea+1.故選：B.

評注：本題考查了不等式恒成立問題，根據同構形式結合導數研究f（x）=xln x的單調性，進而將問題轉化為在（1，+∞）上b>ea+1恒成立.

2.2 商型：f（x）=ln xx，f（x）=exx

例3? 不等式2ln x>xln 2的解集是（? ）.

A.（1，2）

B.（2，4）

C.（2，+∞）

D.（4，+∞）

分析：原不等式可通過移項變形為ln xx>ln 22，則可構造同構函數f（x）=ln xx，結合題意以及函數單調性，比較函數圖象上的點，數形結合即可求解.

解析：設f（x）=ln xx（x>0），則有f′（x）=1-ln xx2.當00;當x>e時，f′（x）<0.所以函數f（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減.

原不等式可化為ln xx>ln 22，即f（x）>f（2），結合f（2）=f（4），可得2

評注：結合題目特征，對不等式進行變形，構造函數f（x）=ln xx，結合同構形式和函數單調性比較函數值的大小，從而求出解集.

例4? 已知a>1，b>1，證明aeb≥bln a.

分析：觀察不等式，將原不等式移項變形為ebb≥ln aa，此時可構造兩個函數，令f（x）=exx，g（x）=ln xx，根據函數的單調性結合題意即可證明.

證明：要證aeb≥bln a，即證ebb≥ln aa.令f（x）=exx，則f′（x）=ex（x-1）x2.當x>1時，f′（x）>0，則f（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以f（x）>f（1）=e.令g（x）=ln xx，則g′（x）=1-ln xx2.當00；當x>e時，g′（x）<0.于是g（x）在（0，e）上單調遞增，在（e，+∞）上單調遞減，因此g（x）≤g（e）=1e.故x>1時，f（b）>g（a），即aeb≥bln a.

評注：本題需要利用同構證明不等式，觀察不等式并將其變形，發現可將問題轉化為函數值的大小比較問題，構造函數f（x）=exx，g（x）=ln xx，根據導數研究函數單調性即可證明.

2.3 和差型：f（x）=x+ex，f（x）=x+ln x

例5? 已知函數f（x）=ex-aln（ax-a）+a（a>0），若關于x的不等式f（x）>0恒成立，求實數a的取值范圍.

分析：觀察不等式f（x）>0，進行移項、指對互化和添項配湊，可將原不等式變形為ex-ln a+x-ln a>eln（x-1）+ln（x-1），則可構造同構函數g（x）=x+ex，可得到g（x-ln a）>g［ln（x-1）］，結合函數單調性即可求出實數a的取值范圍.

解析：由題意得f（x）=ex-aln（ax-a）+a>0（a>0），移項得ex>aln（ax-a）-a，即

exa>ln（ax-a）-1.

由對數性質，可得

exa>ln a+ln（x-1）-1，即ex-ln a>ln a+ln（x-1）-1.兩邊同時加上x再移項變形，得ex-ln a+x-ln a>ln（x-1）+x-1，即

ex-ln a+x-ln a>eln（x-1）+ln（x-1）.

令g（x）=x+ex，則g′（x）=1+ex>0，故g（x）在（0，+∞）上為單調遞增函數.由

g（x-ln a）>g（ln（x-1）），可得x-ln a>ln（x-1），即-ln a>ln（x-1）-x.

由ln x≤x-1（切線不等式），

變形得ln（x-1）≤x-2，所以ln（x-1）-x≤x-2-x=-2，則有-ln a>-2，即0

評注：本題的難點在于不等式的同構變形，通常可觀察不等式的結構特征，通過移項、添項配湊的方法，引入新函數，由新函數的單調性并結合切線不等式求出實數a的取值范圍.

以上的模型舉例可以讓我們感受到“同構”解題的妙用，這種解法的關鍵在于構造函數，通過觀察不等式結構特點，結合指對冪運算性質，借助移項、添項、減項、拆分或配湊進行“同構”，這需要較強的技巧性和靈活性，但也有規律可循.掌握指對互化及其運算性質，熟悉函數模型及其單調性，運用“同構”巧解難題，能夠幫助我們事半功倍，體會轉化的數學思想.

參考文獻：

［1］李文東.指數與對數搭臺 同構來唱戲［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2020（21）：4-5.

［2］葉燕.牽手函數同構 撥開解題迷霧——以指數、對數函數同構問題為例［J］.中學教學參考，2022（23）：22-22.