指向深度學習的“三角函數(shù)”單元教學設(shè)計

鄭夢葉

“三角函數(shù)”是高中數(shù)學的基礎(chǔ)內(nèi)容、也是重要內(nèi)容，內(nèi)容既獨立成章又與其他章節(jié)內(nèi)容聯(lián)系密切，在各級各類考試中都占有很重要的地位.本章知識既能承上（作為一種具體函數(shù)形式是考查函數(shù)知識的重要載體），又能啟下（是進一步學習平面向量知識的基礎(chǔ)）.因此，要對三角函數(shù)進行深度學習.

1 落實教材實質(zhì)，有效深度學習

1.1 看一看：知識網(wǎng)絡(luò)

“三角函數(shù)”單元的知識網(wǎng)絡(luò)如圖1所示：

1.2 梳一梳：規(guī)律策略

（1）領(lǐng)悟概念實質(zhì)

提到三角函數(shù)，我們并不陌生，因為初中就學習了銳角的正弦、余弦和正切這三種三角函數(shù)，但高中再學三角函數(shù)時不僅函數(shù)的定義形式變化了、角的范圍擴大了（擴大到任意角）、角的度量增加了（增加了弧度制）、定義方式也不一樣了（由坐標法給出定義）.所以我們要從函數(shù)的角度來學習領(lǐng)悟這一既熟悉又陌生的概念，真正認識到它的“函數(shù)”特征——從實數(shù)集（或其子集）到實數(shù)集（或其子集）的函數(shù)，為各象限角的三角函數(shù)符號規(guī)律的揭示、各種三角函數(shù)定義域與值域的得出、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導以及三角函數(shù)線的引入打下堅實的理論基礎(chǔ).

（2）把握公式脈絡(luò)

“三角函數(shù)”一章的特點之一就是公式多，弄清公式的由來、厘清公式脈絡(luò)再加之一定的記憶手段才是掌握公式的根本點.

①厘清脈絡(luò)：就是按照教材的編排順序搞清楚每一組公式的推導方法，也就是會證明會推導.這樣學完本章之后，在頭腦中自然就會以公式為線索呈現(xiàn)出清晰的線條.

②巧記公式：為了快速準確記憶公式，也可以通過“歸類”“類比”“口訣”等手段幫助記憶.如，可以將五組誘導公式歸類總結(jié)在一起并由“縱變橫不變，符號看象限”一言來概括.

（3）熟悉公式應用

公式的應用是三角函數(shù)內(nèi)容的具體體現(xiàn)，這里要求學生不僅要熟悉公式的順向、逆向使用，還要能靈活應用它們的變形形式.注意同角三角函數(shù)關(guān)系公式的變形技巧：“1”的代換、切化弦、整體代換等.

（4）關(guān)注圖象性質(zhì)

要在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，利用三角函數(shù)的圖象認識、研究、記憶三角函數(shù)對應的性質(zhì)，做到以性作圖、以圖識性、以圖記性.三角函數(shù)的圖象是三角函數(shù)關(guān)系的直觀表現(xiàn)形式，三角函數(shù)的性質(zhì)可直接從圖象上顯示出來，通過圖象分析三角函數(shù)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性等.

1.3 理一理：學法點撥

（1）三角函數(shù)部分的考查保持了內(nèi)容穩(wěn)定，難度穩(wěn)定，題量穩(wěn)定，題型穩(wěn)定，考查的重點是三角函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象以及三角函數(shù)的求值問題.三角函數(shù)求值問題的解題思路，一般是運用基本公式將未知角轉(zhuǎn)換為已知角求解.

（2）注意把握“一個不變”：依托三角函數(shù)的定義與公式為問題場景，考查三角函數(shù)的圖象與基本性質(zhì)、三角求值及其應用等問題.在高考中，三角函數(shù)的定義與三角恒等變換公式及其應用等，幾乎年年必考，不同的只是變換考查角度和改變題目背景而已.

（3）基本的解題規(guī)律：觀察差異（或角，或函數(shù)，或運算），尋找聯(lián)系（借助熟知的公式、方法或技巧），分析綜合（由因?qū)Ч驁?zhí)果索因），實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.

（4）基本的數(shù)學思想：

①數(shù)學建模思想：建立弧度制、任意角的三角函數(shù)的定義以及三角函數(shù)模型等都要用到數(shù)學建模思想.

②數(shù)形結(jié)合思想：“依性作圖，以圖識性”是本章中數(shù)形結(jié)合思想的主要體現(xiàn)，要做到心中有圖，觀圖解題.在探討三角函數(shù)的周期性、研究三角函數(shù)的性質(zhì)等方面都要用到數(shù)形結(jié)合思想.

③函數(shù)思想：三角函數(shù)只是一類特殊的函數(shù)模型，其涉及的函數(shù)思想與其他函數(shù)的考查有區(qū)別也有聯(lián)系，經(jīng)常與其他方程或函數(shù)知識交匯融合，有時還要結(jié)合換元轉(zhuǎn)化、分類討論等方法.

④化歸與轉(zhuǎn)化思想：利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式及誘導公式進行三角函數(shù)的求值、化簡、證明，都離不開恒等變形，還經(jīng)常用整體代換溝通sin α±cos α與sin αcos α之間的關(guān)系等.

2 掌握典型考題，合理深度學習

2.1 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和誘導公式

例1? 已知cos（π+α）=-12，且角α在第四象限，計算：

（1）sin（2π-α）；

（2）sin［α+（2n+1）π］+sin（π+α）sin（π-α）cos（2nπ+α）（n∈Z）.

規(guī)律分析：（1）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應用.①已知一個三角函數(shù)求另外兩個，可以利用平方關(guān)系、商式關(guān)系直接求解或解方程（組）求解.②已知正切，求含正弦、余弦的齊次式.當齊次式為分式時，將分子、分母同除以cos α或cos2α，化為正切后代入；當齊次式為整式時，將分母看成1，利用1=sin2α+cos2α代入，再通過將分子、分母同除以cos α或cos2α化切.

（2）用誘導公式化簡求值的方法.①根據(jù)給出的角的特點，將角化成2kπ±α，π±α，π2±α，3π2±α（或k·π2±α，k∈Z）的形式，再用“奇變偶不變，符號看象限”進行化簡.②觀察分析條件角與結(jié)論角，理清條件與結(jié)論之間的差異，將已知和未知聯(lián)系起來，還應注意整體思想的應用.

2.2 三角函數(shù)的圖象及變換

例2? 已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，0<φ<π2）的圖象上的一個最低點為M2π3，-2，周期為π.

（1）求f（x）的解析式；

（2）將y=f（x）的圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后再將所得的圖象沿x軸向右平移π6個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，寫出函數(shù)y=g（x）的解析式.

規(guī)律分析：（1）由圖象或部分圖象確定解析式y(tǒng)=Asin（ωx+φ）中的參數(shù).①A由最大值或最小值來確定；②ω通過求周期T來確定；③φ通過利用已知點列方程來求出.

（2）由y=sin x的圖象變換到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x∈R圖象的兩種方法如圖2所示.

2.3 三角函數(shù)的性質(zhì)

例3? 已知函數(shù)f（x）=4tan xsinπ2-x·cosx-π3-3.

（1）求f（x）的定義域與最小正周期；

（2）討論f（x）在區(qū)間-π4，π4上的單調(diào)性.

規(guī)律分析：（1）涉及三角函數(shù)的性質(zhì)問題往往離不開周期性與奇偶性，結(jié)合三角函數(shù)的解析式合理分析與解決.

（2）求三角函數(shù)的取值范圍（或值域、最值等）時，經(jīng)常借助三角函數(shù)的有界性、單調(diào)性以及換元法思維等，關(guān)鍵是要注意題設(shè)條件中的角的取值范圍是否有限制.

2.4 三角恒等變換

例4? 已知α，β為銳角，tan α=43，cos（α+β）=-55.

（1）求cos 2α的值；

（2）求tan（α-β）的值.

規(guī)律分析：進行三角恒等變換及其應用時，往往要抓住解題的“四大策略”，即常值代換、項的分拆或角的配湊、降次或升次以及弦切互化等.