函數與導數主題教學設計案例分析

劉化剛

課題信息：甘肅省教育科學“十四五”規(guī)劃2023年度“普通高中數學新課程實驗跟蹤與質量監(jiān)測教改實驗項目”專項課題“高中數學選擇性必修課程‘函數主題教學設計與實施研究”，課題立項號為GS［2023］GHBZX0003.

摘要：通過主題教學設計案例分析的方式，明確函數與導數主題教學設計的內容為函數單調性和導數，經過提出問題、探究分析問題到解決問題，以及在解決問題過程中關于主題教學設計的計劃、實施、檢驗和優(yōu)化等流程，論證了運用導數法可以簡便、快捷地判斷函數的單調性及求其單調區(qū)間.

關鍵詞：函數；導數；主題教學設計；案例分析

函數單調性的判斷，主要有定義法和圖象法.然而，相比一次、二次函數而言，運用定義法和圖象法判斷三次及以上，或者圖象難畫的函數的單調性，會比較復雜、困難.例如，函數f（x）=-5x3+5x+10，圖象復雜，利用定義法通過作差、變形和判斷符號來判斷其單調性的過程也很繁瑣.那么，運用什么方法可以簡便、快捷地判斷上述復雜函數的單調性呢？本文中采用主題教學設計的方式對利用導數解決函數的單調性問題進行案例探究和分析.

1 主題教學說明

主題教學是一種關于交叉內容的教學方式.教學主題的確定在于教學設計內容的選擇.主題教學內容的選擇策略主要有兩種：一是根據相關概念進行遷移選擇，二是根據相關性質進行比較選擇.

函數與導數的關聯(lián)性，在于運用導函數能簡捷地判斷函數的單調性.由此，函數與導數主題教學設計的內容為函數的單調性和導數.主題教學設計的步驟主要包括主題教學設計的準備和計劃、實施和檢驗，以及總結和完善3個環(huán)節(jié).

本文中通過函數與導數主題教學設計的方式，對運用導數方法簡便、快捷地判斷函數的單調性及求其單調區(qū)間進行案例分析.該案例分析主要包括主題教學設計的準備和計劃、實施和檢驗，以及總結和完善3個環(huán)節(jié).

2 主題教學設計的準備和計劃

主題教學設計的準備和計劃主要包括如下4步.首先，明確教學設計的主題.其次，分析教材以及教學內容和課程標準.再次，了解學生的學習基礎情況.最后，結合學情和教情，設計教學目標、重點和難點，以及教學方式等.

2.1 明確教學設計主題

教學主題的確定在于主題教學設計內容的選擇.主題教學設計的內容主要有兩種選擇策略：一是根據相關概念進行遷移選擇，二是根據相關性質進行比較選擇.

2.2 分析教材及教學內容和課程標準

函數單調性與導數是教材教學內容中導數的應用，是在導數基本概念和計算等學習的基礎上，進一步對導數應用的教學，是研究函數極值和最值的基礎.

2.3 了解學生學習基礎情況

函數單調性與導數是導數應用的學習內容.學生的學習基礎在于關于導數基本概念、計算和幾何意義的學習情況.

2.4 設計教學目標、重難點和教學方式

結合學情和教情，設計關于函數單調性與導數的主題教學目標，重點和難點以及教學方式.

（1）教學目標：探索可導函數的單調性與其導數的關系，掌握運用導數的正負判斷函數單調性以及求解函數單調區(qū)間的方法.

（2）教學重點：通過分組合作，探究并掌握導數與函數單調性的關系.

（3）教學難點：運用導數法判斷函數的單調性及求其單調區(qū)間.

（4）教學方式：主要采取如下2種類型的教學方式.一是設置生活教學情境，例如高臺跳水情境，引入跳水運動軌跡函數單調性問題，激發(fā)學生學習函數的興趣.二是將學生分組，通過學習小組的方式，合作探究跳水運動軌跡可導函數的單調性與其運動速度函數的關系.

3 主題教學設計的實施和檢驗

函數與導數主題教學設計的實施和檢驗，在引入實際生活情境的基礎上，結合課堂分組教學互動的實際反饋，按照主題教學設計的計劃，分步驟地實施和檢驗.

3.1 主題教學設計的實施

圍繞函數單調性的概念和性質，主題教學設計的實施步驟主要包括如下3個方面：一是引入生活情境，通過分組教學的方式，讓學生體驗從直觀圖形—抽象導函數—判斷函數單調性—求其單調區(qū)間的演變.二是結合圖形解決函數單調性問題，讓學生體驗運用導函數求解函數單調性問題的本質.三是結合函數單調性在實際生活中的應用，讓學生深刻理解所構建的函數模型的單調性可以更清晰、嚴謹地表達現(xiàn)實生活.

主題教學設計的具體實施步驟，如下所述：

例題? 跳水運動員小華在10米高臺跳水項目中，從高臺跳板起跳，在跳板的作用下反彈到最高點，再從最高點下落入水的過程中，若運動員小華的重心相對于水面的高度為h，運動速度為v，運動時間為t，則h與t的函數關系為h（t）=-5t2+5t+10，速度v與運動時間t的關系為v（t）=-10t+5.試比較運動員小華從跳臺起跳到最高點與從最高點到落水的兩段時間內的運動狀態(tài)的區(qū)別.

具體的主題教學設計實施的分析，主要包括如下4步：

首先，明確運動員小華高臺跳水的運動軌跡是一條開口向下的拋物線，定義域為運動員小華從跳臺起跳時間t0到落水時間t1，記作［t0，t1］.

其次，將拋物線的定義域分為2個區(qū)間，分別為運動員小華從跳臺起跳時間t0到最高點時間tm，記作［t0，tm］，從最高點時間tm到落水時間t1，記作［tm，t1］.

再次，比較運動員小華從跳臺起跳到最高點，以及從最高點到落水的兩段時間內的運動狀態(tài)的區(qū)別，轉化為判斷運動員小華高臺跳水運動軌跡在2個定義域區(qū)間上的單調性.

最后，將學生分為2個學習小組，分別合作探究利用圖象法和導數法判斷跳水運動軌跡可導函數的單調性，以及跳水運動軌跡可導函數的單調性與運動速度函數的關系.

3.2 主題教學設計的檢驗

主題教學設計的檢驗過程主要包括如下3步：

首先，分組合作運用圖象法判斷運動員小華高臺跳水運動軌跡在2個定義域區(qū)間上的單調性.畫出運動員小華跳水高度h與運動時間t的關系為h（t）=-5t2+5t+10的圖象，如圖1所示.

從圖1可以看出，運動員小華從跳臺起跳時間t0到最高點時間tm的運動軌跡在

區(qū)間［t0，tm］上的單調性為單調遞增狀態(tài)，從最高點時間tm到落水時間t1的運動軌跡在區(qū)間

［tm，t1］上的單調性為單調遞減狀態(tài).

其次，分組合作探究跳水運動軌跡可導函數的單調性與其運動速度函數的關系.

從圖2所示來看，運動員小華從跳臺起跳時間t0到最高點時間tm的運動速度v（t）>0，從最高點時間tm到落水時間t1的運動速度v（t）<0.通過比較運動員小華跳水高度h與運動時間t的關系和運動速度v與運動時間t的關系，不難發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

運動員小華在［t0，tm］區(qū)間內，運動軌跡的導函數與運動速度函數一致，記作h′（t）=v（t）>0，運動軌跡為單調遞增狀態(tài).同理，在［tm，t1］區(qū)間內，運動軌跡的導函數與運動速度函數也一致，記作h′（t）=v（t）<0，運動軌跡為單調遞減狀態(tài).由此，結合圖形判斷函數單調性，讓學生體驗到運用導函數判斷函數單調性的本質在于函數切線斜率的正負.

最后，通過跳水運動員小華運動軌跡函數的導數或者切線斜率的正負來判斷上述函數的單調性以及求其單調區(qū)間在實際生活中的應用，學生能夠深刻地理解所構建的函數模型的單調性可以更清晰、嚴謹、便捷地表達現(xiàn)實生活.

4 主題教學設計的總結和完善

4.1 主題教學設計的總結

主題教學設計的流程可以總結為從提出問題、探究分析問題到解決問題，以及在解決問題過程中，關于主題教學設計的計劃、實施、檢驗和優(yōu)化等環(huán)節(jié).

4.2 主題教學設計的完善

對實施后的主題教學設計進行優(yōu)缺點總結，提出進一步完善主題教學設計內容的措施.例如，增加利用定義法和導數法判斷函數單調性及求其單調區(qū)間的主體教學設計，并且在后期教學計劃的設計和實施中不斷進行優(yōu)化.

通過主題教學設計案例分析的方式，明確教學設計內容的主題為函數單調性和導數，論證了運用導數法可以簡便、快捷地判斷函數單調性及求其單調區(qū)間.其中，主題教學設計流程主要包括計劃，實施和檢驗，以及優(yōu)化3個環(huán)節(jié).利用導數法求函數單調區(qū)間的主要步驟為：確定函數的定義域，求函數的導函數，求解導函數大于0的解集，定義域在該解集內的區(qū)間為函數的增區(qū)間，求解導函數小于0的解集，定義域

在該解集內的區(qū)間為函數的減區(qū)間.