著眼“數形結合”，引發探究式學習

侯麗潔

數形結合思想是在數與形互相補充的基礎上，緊扣數形之間的本質聯系，用“形”的直觀來表達抽象的“數”，或以“數”的精確性來描繪直觀的“形”的思想方法［1］.探究性學習也可稱為研究性學習，是在確立學習主題的情況下，學習者通過“做中學”的方式，搜集、處理相關的信息，在交流與探索中獲得相應的知識與能力.這種學習方式不僅能發展學習者的情感態度與價值觀，還能有效地培養其學科核心素養，形成良好的創造力.

一元二次方程實根分布與不等式、導數以及函數的零點等都有聯系，該部分知識在高考試題中雖然出現的頻次不高，但其對高中數學學習的基礎作用不容小覷.究竟該從什么角度引發學生的自主探究，讓學生建構完整的認知結構呢？為此，筆者以“一元二次方程實根分布”的教學為例，具體談談著眼“數形結合”，引發探究式學習的具體過程與方法.實踐證明，將數形結合思想應用到本章節的教學中，配合探究式學習模式的開展，收效良好.

1 問題提出，誘發思考

問題? 若不畫圖，請大家說說在什么條件下，方程ax2+bx+c=0（a＞0）存在兩個負根？

生1：由題意可知，假設方程的兩個根分別為x1，x2，則有x1+x2＜0，x1x2>0，Δ≥0.

設計意圖：通過問題情境的創設，引導學生的思考，可以引發學生產生探究行為.此問的設計建立在學生的“最近發展區”內，有利于學生結合初中階段所接觸過的一元二次方程根的情況進行分析，低起點易于激起學生的興趣.

此問的關鍵在于引導學生撇開圖形，從數的角度來分析，并運用一元二次方程根的情況與韋達定理獲得限制條件.筆者也曾嘗試過在本節課引導學生從“形”著手，讓學生通過圖象探究問題的本質，但過程明顯不夠流暢，而且不少學生提出了疑惑：為什么不能用初中所學過的知識解決呢？經實踐探索，筆者發現引導學生從數的角度出發，獲得限制條件更符合學生的認知規律.

2 不同方法，有效探究

數學是一門集靈活性與嚴謹性于一體的基礎學科，在解決問題時，從不同的角度分析，常有不同的解題方法.為了激發學生的探究欲，教師可鼓勵學生發散思維，嘗試從多維度去思考，以發現更多解決問題的辦法.

師：剛才大家是從“數”的角度分析了上述問題的限制條件，除此之外，還有其他辦法嗎？

設計意圖：在學生對從“數”的角度解決問題有所突破后，再引導學生換個角度來看待問題，以“形”為思維的起點，充分體現了函數與方程思想、數形結合思想在解題中的應用.教師鼓勵學生將方程的根轉化成函數的零點，也就是利用函數圖象與x軸的交點來解決問題，此過程彰顯了數學中重要的數形結合思想.

生2：還可以用“求根公式”解決問題.不妨記x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a，只要讓兩根均小于0即可，也就是x1＜0，x2＜0.

師：說說你們對這種解題方式的看法.

生3：這種方法是可行，若根不容易求的時候，計算會很煩瑣.

師：不錯，雖然這種方式從理論上來看沒有問題，但可能會出現無理不等式，導致解題過程非常麻煩.大家還有其他解決辦法嗎？

生4：可以通過作簡略圖觀察（見圖1），應滿足Δ≥0，-b2a＜0.

師：這個想法不錯，從直觀的圖形著手，可以準確地找出滿足本題條件的圖象，其他同學對此有沒有什么意見？

生5：如圖2所示，只滿足Δ≥0且-b2a＜0還不夠.若令f（x）=ax2+bx+c，還需添上f（0）＞0的條件.

師：是不是添上f（0）＞0的條件，就全面了呢？請大家檢驗一下，滿足這三個條件的情況下，方程是否存在兩個負根呢？

設計意圖：引導學生從多個角度分析與解決問題，不僅給予了學生展示自己的機會，還增進了課堂探究的實效性.隨著教師的啟發，學生自主畫圖著手探究問題的本質，并在互相補充與檢驗中確保了答案的準確性.這不僅體現了學生的主體性，還彰顯了“數”“形”轉化的重要作用.

3 變式拓展，建構新知

變式拓展訓練，通過一題多用或多題重組的方式從各個角度揭露問題的本質，不僅帶給學生耳目一新之感，還能讓學生在探究中對知識產生更為深刻的理解.同時，科學、合理的變式為學生的思維發展提供了明確的支架，此支架作為學生思維發展的臺階，能幫助學生建構新知，形成完整的認知體系［2］.

變式1? 在什么條件下，方程ax2+bx+c=0（a＞0）存在一個正根和一個負根？

生6：從“數”的角來看，

設方程的兩個根分別為x1和x2，

則有Δ＞0，x1x2＜0.

生7：從“形”的角度來看，令f（x）=ax2+bx+c，則有

Δ＞0，f（0）＜0.

師：非常好！大家能根據上一個問題的解題方法，從“數”與“形”兩個角度來剖析問題，現學現用的做法值得鼓勵與贊揚.現在我們一起來看，從“形”的角度解決此題的方法是否可以更加簡單一些呢？

生8：如圖3所示，函數圖象的開口向上，當f（0）＜0時方程有兩個根，那么Δ＞0可以省略.

師：不錯，我們只需要思考f（0）＜0即可.

設計意圖：觀察兩個問題，會發現教師都是引導學生從“數”與“形”兩個角度來剖析問題的，且兩題的實質并沒有差別，只是出發點稍有區別.此設計除了強化學生對數形結合思想的應用以外，還在于培養學生的探究精神，讓學生感知、體會、領悟到從不同角度，運用不同的方法，都能解決問題.

變式2? 在什么條件下，方程ax2+bx+c=0（a＞0）存在兩個大于1的根？

生9：設方程的兩個根分別為x1和x2，則有

Δ≥0，x1+x2>2.

師：這是從“數”的角度分析所得出的條件，但這個條件是否正確呢？還有也是通過“數”的角度來分析的同學嗎？你們的想法是怎樣的呢？

學生雖然對這個答案持有懷疑態度，但是很大一部分學生又無法獨立找出準確答案，因此組織學生展開小組討論，這樣使大部分學生能從“數”的視角獲得正確結論，同時也發揮了小組討論在課堂探究中的重要作用.

生10：由x1＞1，x2＞1，得x1-1＞0，x2-1＞0，且（x1-1）（x2-1）＞0，即Δ≥0，（x1-1）+（x2-1）>0，（x1-1）（x2-1）>0.

師：從“形”的角度分析，得到的條件又是什么呢？

生11：如圖4所示，方程需滿足條件Δ≥0，-b2a>1，f（1）>0.

設計意圖：探究式學習的關鍵是探究的過程.變式的應用，為學生的探究提供了明確的方向.以上兩個變式，由淺入深地體現了“一元二次方程實根分布”的本質，學生的思維隨著探究的逐漸深入，對知識產生了更為深刻的理解.

總之，不論一節課的教學主題是什么，在教學設計時都應結合學生的認知特征與最近發展區，組織學生在層次清晰的問題中進行探索與研究，以不斷優化思維，形成良好的數學思想.數形結合作為解題的一大法寶，可貫穿于整個教學過程，讓學生在數與形的轉化中，不斷挖掘、聯想，獲得利于其終身可持續性發展的探究能力［3］.

參考文獻：

［1］徐慈平.重視數形結合 培養學生能力［J］.初中數學教與學，2014（6）：21-23.

［2］張宏.從一道試題的多解性看思維的探究策略［J］.中學數學研究，2004（2）：41-42.

［3］施良方，崔允漷.教學理論：課堂教學的原理、策略與研究［M］.上海：華東師范大學出版社，1999.