數(shù)列的創(chuàng)新與綜合應(yīng)用

許瓊

在“三新”背景下，數(shù)列模塊作為“主力”知識(shí)，是創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要載體，能夠更加合理有效地考查考生數(shù)列知識(shí)的“三基”和數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力，充分體現(xiàn)高考的選拔性與區(qū)分度.本文中結(jié)合2024屆最新的模擬題，就數(shù)列模塊中的創(chuàng)新綜合應(yīng)用，通過(guò)幾類(lèi)典型的特色問(wèn)題加以合理剖析，拋磚引玉.

1 創(chuàng)新變換

創(chuàng)新變換對(duì)數(shù)列推遞關(guān)系式的變形與轉(zhuǎn)化起到至關(guān)重要的作用，特別是涉及數(shù)列不等式、數(shù)列通項(xiàng)與數(shù)列求和等相關(guān)問(wèn)題中的變換與應(yīng)用等.

例1? （2024屆合肥市高三第二次質(zhì)檢數(shù)學(xué)試卷·8）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且1an=4+4an-1+n2an-1（n≥2且n∈N*），若a1=1，則（? ）.

A.S2 024∈1，32

B.S2 024∈32，2

C.S2 024∈2，52

D.S2 024∈52，3

解析：依題可得1an=4+4an-1+n2an-1≥4+4an-1+1an-1=1an-1+22>0，故1an≥1an-1+2，

則有1an-1≥1an-2+2，1an-2≥1an-3+2，……，1a2≥1a1+2，

將以上（n-1）個(gè)不等式同向相加，整理可得1an≥1a1+2（n-1）=2n-1.

所以an≤1（2n-1）2，n∈N*.

又an≤1（2n-1）2<14n2-4n=141n-1-1n，

所以S2 024<1+141-12+1412-13+……+141n-1-1n=1+141-1n<1+14<32.

又an>0，所以S2 024>a1=1，則有S2 024∈1，32，故選：A.

2 創(chuàng)新分析

創(chuàng)新分析對(duì)于含參的數(shù)列不等式、數(shù)列遞推關(guān)系式等問(wèn)題的解決有奇效，合理借助參數(shù)值的取值情況，聯(lián)系數(shù)列自身的特色加以分析與處理.

例2? （2024屆江蘇省百校聯(lián)考高三第二次考試數(shù)學(xué)試卷·8）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+an=1，記bm為數(shù)列{an}中能使an≥12m+1（m∈N*）成立的最小項(xiàng)，則數(shù)列{bm}的前2 023項(xiàng)和為（? ）.

A.2 023×2 024

B.22 024-1

C.6-327

D.112-328

解析：當(dāng)n=1時(shí)，由題意可得a1=12.

又由Sn+an=1，可得Sn+1+an+1=1，兩式相減可得2an+1-an=0，即an+1=12an，則{an}是以首項(xiàng)a1=12，公比為q=12的等比數(shù)列，故an=12n.

令an=12n≥12m+1，可得2n≤2m+1.

若m=1，則n≤1，此時(shí)b1=a1=12；若2≤m≤3，則n≤2，此時(shí)bm=a2=14；若4≤m≤7，則n≤3，此時(shí)bm=a3=18；若8≤m≤15，則n≤4，此時(shí)bm=a4=116；……；若1 024≤m≤2 047，則n≤11，此時(shí)bm=a11=1211.

設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則T1=b1=12，T3=b1+（b2+b3）=1，T7=b1+（b2+b3）+（b4+b5+b6+b7）=32，……，T2 047=b1+（b2+b3）+……+（b1 024+b1 025+……+b2 047）=11×12=112.所以T2 023=112-24211=112-328，故選擇：D.

3 創(chuàng)新場(chǎng)景

創(chuàng)新場(chǎng)景往往是依托一些現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用場(chǎng)景，結(jié)合一些典型的數(shù)列模型加以設(shè)置，進(jìn)而從應(yīng)用場(chǎng)景中歸納并總結(jié)相應(yīng)的數(shù)列遞推關(guān)系式，為問(wèn)題的進(jìn)一步分析與求解提供條件.

例3? 〔2024屆高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題·8〕一只蜜蜂從蜂房A出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖1），例如：從蜂房A只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂……以此類(lèi)推，用an表示蜜蜂爬到n號(hào)蜂房的方法數(shù)，則a2 022a2 024-a22 023=（? ）.

A.1

B.-1

C.2 ???D.-2

解析：由題意可得a1=1，a2=2，a3=3，a4=5，歸納可知，an+1=an+an-1（n∈N*，n≥2），

所以當(dāng)n≥2時(shí)，anan+2-a2n+1=an（an+1+an）-a2n+1=anan+1+a2n-a2n+1=a2n+an+1（an-an+1）=a2n-an+1an-1=-（an-1an+1-a2n），

而a1a3-a22=-1，所以數(shù)列{anan+2-a2n+1}是以a1a3-a22=-1為首項(xiàng)，公比為-1的等比數(shù)列.

所以a2 022a2 024-a22 023=-1×（-1）2 021=1.故選：A.

4 創(chuàng)新定義

創(chuàng)新定義成為數(shù)列中最為常見(jiàn)的一類(lèi)創(chuàng)新應(yīng)用問(wèn)題，或創(chuàng)新定義數(shù)列模型，或創(chuàng)新定義與數(shù)列的通項(xiàng)、求和等公式有關(guān)的問(wèn)題等，依托創(chuàng)新定義加以綜合，結(jié)合數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行分析與求解.

例4? 〔2024屆高三第一次學(xué)業(yè)質(zhì)量評(píng)價(jià)（T8聯(lián)考）數(shù)學(xué)試題·21〕已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，公差d>0，等比數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：b1=2a1=2，b2=a1+a3，b1b3=5a3+1.

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）若將數(shù)列{an}中的所有項(xiàng)按原順序依次插入數(shù)列{bn}中，組成一個(gè)新數(shù)列：b1，a1，b2，a2，a3，b3，a4，a5，a6，a7，b4，……，在bk與bk+1之間插入2k-1項(xiàng){an}中的項(xiàng)，新數(shù)列中bn+1之前（不包括bn+1）所有項(xiàng)的和記為T(mén)n，若dn=a2nan+12n-1Tn+2+2，求使得［d1］+［d2］+［d3］+……+［dn］≤2 023成立的最大正整數(shù)n的值.（其中符號(hào)［x］表示不超過(guò)x的最大整數(shù).）

解析：（1）設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q（q≠0），依題意可以得到a1=1，b1=2，

則有2q=1+1+2d，2×2q2=5（1+2d）+1，解得d=1，q=2，或d=-12，q=12（舍去），

所以an=n，bn=2n.

（2）新數(shù)列中bn+1之前的所有項(xiàng)中，含有{an}中的項(xiàng)共有20+21+22+……+2n-1=2n-1項(xiàng)，

所以Tn=（1+2n-1）（2n-1）2+2（1-2n）1-2=22n-1+3·2n-1-2，

所以dn=a2nan+12n-1Tn+2+2=n2（n+1）（2n+3）+2n2n+1=n2（n+1）（2n+3）+2n+1+2（n-1）=n2+2（2n+3）（n+1）（2n+3）+2（n-1）.

下證當(dāng)n≥2時(shí)，0

由于（n+1）（2n+3）-n2-2（2n+3）=（n-1）2n-n2+3n-3，

而結(jié)合二項(xiàng)式定理有2n=C0n+C1n+C2n+……+Cnn，則當(dāng)n≥2時(shí)，2n≥n+2，

所以（n-1）2n-n2+3n-3≥（n-1）（n+2）-n2+3n-3=4n-5>0，

所以當(dāng)n≥2時(shí)，0

所以［d1］+［d2］+［d3］+……+［dn］=1+2［1+2+……+（n-1）］=n2-n+1≤2 023，即n2-n=n（n-1）≤2 022，則滿(mǎn)足不等式的最大正整數(shù)n=45.

涉及數(shù)列模塊知識(shí)中的創(chuàng)新綜合問(wèn)題，往往依托數(shù)列的基本概念、基本類(lèi)型、基本公式以及基本性質(zhì)等，融入相應(yīng)的創(chuàng)新元素與創(chuàng)新場(chǎng)景，成為每年高考中考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新應(yīng)用的一個(gè)重要載體.此類(lèi)創(chuàng)新綜合問(wèn)題，以數(shù)列基礎(chǔ)知識(shí)為問(wèn)題背景，融入各種相應(yīng)的創(chuàng)新元素與創(chuàng)新意識(shí)，使得數(shù)學(xué)應(yīng)用、綜合應(yīng)用、創(chuàng)新應(yīng)用在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)思維、技巧方法等層面得以真正發(fā)酵、發(fā)生、反映等，引導(dǎo)學(xué)生合理關(guān)注現(xiàn)實(shí)生活中無(wú)處不在的數(shù)學(xué)與應(yīng)用.