數(shù)列試題評析，復(fù)習(xí)備考引領(lǐng)

張偉芳

近幾年的數(shù)學(xué)（全國卷）高考數(shù)列試題，突出數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，重視理性思維，堅(jiān)持素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重的命題原則，突出數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)列知識本身的特點(diǎn)，發(fā)揮了高考數(shù)學(xué)學(xué)科的選拔功能，在考查學(xué)生對數(shù)列知識的理解運(yùn)用的基礎(chǔ)上，頗具特色，也為高三復(fù)習(xí)備考了指明方向.

1 重視基礎(chǔ)數(shù)列，盯緊基本量法

數(shù)列是研究按一定次序排列的一列數(shù)的規(guī)律，是一類特殊的函數(shù)，也是研究其他函數(shù)的工具.其重點(diǎn)研究內(nèi)容有遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式以及前n項(xiàng)和公式等，特別是兩類重要的基本數(shù)列：等差數(shù)列、等比數(shù)列.

在等差（等比）數(shù)列中，我們稱a1和公差d（公比q）為基本量.如果給出的是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，解這類問題的基本思想就是利用基本公式（通項(xiàng)、中項(xiàng)、前n項(xiàng)和公式等）、基本方法（公式法）、基本思想（方程思想、函數(shù)思想），根據(jù)已知條件建立并求解方程（組）、不等式.在等差（等比）數(shù)列中，包含a1，公差d（公比q），n，an，Sn這五個量，可知三求二.在運(yùn)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，要按q=1和q≠1進(jìn)行分類討論.

同時，數(shù)列問題一般具有“新、巧、活”的特點(diǎn)，若能充分挖掘數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，從等差（等比）數(shù)列的性質(zhì)出發(fā)求解可以簡化計(jì)算.這些性質(zhì)一般是整體運(yùn)算的體現(xiàn)，不用性質(zhì)也可以求解.

例1? （2023年新高考Ⅱ卷·8）記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S4=-5，S6=21S2，則S8=（? ）.

A.120

B.85

C.-85

D.-120

解法1：基本量法.

依題知，顯然等比數(shù)列的公比q≠1，

由S6=21S2，利用求和公式可以得到a1（1-q6）1-q=21×a1（1-q2）1-q，可得1-q6=21（1-q2），

展開有（1-q2）＼5（1+q2+q4）=21（1-q2），即（1-q2）（q4+q2-20）=0，亦即（1-q2）（q2-4）（q2+5）=0.

解得q=-1或q2=4或q2=-5<0（舍去）.

當(dāng)q=-1時，有S4=a1（1-q4）1-q=0，與條件S4=-5矛盾，也舍去，故q2=4.

由于S4=a1（1-q4）1-q=-5，所以S8=a1（1-q8）1-q=a1（1-q4）1-q（1+q4）=-5×（1+42）=-85.

故選：C.

解法2：基本性質(zhì)法.

依題知，在等比數(shù)列{an}中，有S2n=Sn+qnSn.

結(jié)合S6=21S2，可得S6=S3×2=（1+q2+q4）S2=21S2，則q4+q2-20=0，解得q2=4.余略.

點(diǎn)評：本題主要考查（解法1）等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及整體思想的簡單應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握S4，S8的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡化運(yùn)算；（解法2）還可以根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)，通過列方程的形式避開基本量的求解，簡化運(yùn)算.本題考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).

利用等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式的過程中，要重視一些“二級結(jié)論”成立的前提條件，不能忽視條件的限制，避免學(xué)生解題時出現(xiàn)錯誤.特別是解數(shù)列客觀題時，靈活運(yùn)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)往往可以起到化繁為簡、化腐朽為神奇的效果.因此，在等差、等比數(shù)列的復(fù)習(xí)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)重視簡化運(yùn)算的方法技巧，這樣學(xué)生在考試中才會得心應(yīng)手.

2 注重核心考點(diǎn)，體現(xiàn)素養(yǎng)導(dǎo)向

不少教師認(rèn)為2024年高考對數(shù)列的考查“不夠創(chuàng)新”，幾個試題只涉及了最簡單的通項(xiàng)公式和求和公式及一些求和公式性質(zhì)的考查，但這不影響對學(xué)生綜合思維能力的考查，與套模式的“能力題”相比，2024年的題目更新、更活、更能選拔出思維敏捷的考生，命題難度把握得比較適中.

例2? （2023年新高考Ⅰ卷·7）記Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，設(shè)甲：{an}為等差數(shù)列；乙：Snn為等差數(shù)列，則（? ）.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

解析：若{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，則有Sn=na1+n（n-1）2d=12dn2+a1-12dn，

可得Snn=12dn+a1-12d，

而Sn+1n+1-Snn=d2為常數(shù)，

故Snn為等差數(shù)列，則甲是乙的充分條件.

反之，若{Snn}為等差數(shù)列，則有Sn+1n+1-Snn=nSn+1-（n+1）Snn（n+1）=nan+1-Snn（n+1）為常數(shù).

設(shè)常數(shù)t=nan+1-Snn（n+1），則Sn=nan+1-n（n+1）t，

Sn-1=（n-1）an-n（n-1）t（n≥2），

兩式對應(yīng)相減，可得an=nan+1-（n-1）an-2nt，即an+1-an=2t為常數(shù).

當(dāng)n=1時，上式也成立，

故{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件.

綜上分析，可知甲是乙的充要條件.

故選：C.

點(diǎn)評：本題以等差數(shù)列為載體，考查充分條件和必要條件以及對等差數(shù)列定義的理解，考查學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng).

3 創(chuàng)設(shè)實(shí)例情境，體現(xiàn)應(yīng)用價值

新高考改革命題強(qiáng)調(diào)“核心素養(yǎng)”，應(yīng)用題或者數(shù)學(xué)文化題是考查數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的最好載體，特別是在數(shù)列模塊中創(chuàng)設(shè)實(shí)例應(yīng)用情境，在歷年高考全國卷中也都有所涉及.

例3? （2022年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷·3）中國的古建筑不僅是擋風(fēng)遮雨的住處，更是美學(xué)和哲學(xué)的體現(xiàn).如圖是某古建筑物的剖面圖，AA′，BB′，CC′，DD′是桁，DD1，CC1，BB1，AA1是脊，OD1，DC1，CB1，BA1是相等的步，相鄰桁的脊步的比分別為DD1OD1=0.5，CC1DC1=k1，BB1CB1=k2，AA1BA1=k3，若k1，k2，k3是公差為0.1的等差數(shù)列，直線OA的斜率為0.725，則k3=（? ）.

A.0.75

B.0.8

C.0.85

D.0.9

解析：設(shè)OD1=DC1=CB1=BA1=1，則有CC1=k1，BB1=k2，AA1=k3，

依題可得k3=k1+0.2，k3=k2+0.1，

結(jié)合比例性質(zhì)有DD1+CC1+BB1+AA1OD1+DC1+CB1+BA1=0.725，即0.5+k1+k2+k34=0.725，解得k3=0.9，故選擇答案：D.

2022年新高考Ⅱ卷第3題（此略）以古代建筑為數(shù)學(xué)文化背景，考查等差數(shù)列以及斜率等基礎(chǔ)知識的基本運(yùn)用.以實(shí)例場景為問題背景，從2017年新高考改革以來，全國卷就開始考查此類實(shí)例情境的應(yīng)用問題，值得關(guān)注.

4 突出基礎(chǔ)本質(zhì)，凸顯通性通法

數(shù)列的基礎(chǔ)本質(zhì)還是與兩個基本數(shù)列相關(guān)的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等問題，以及一些相關(guān)的基本性質(zhì)，解答題也往往是圍繞這些重點(diǎn)知識點(diǎn)設(shè)置與考查.在具體解答過程中，還是強(qiáng)調(diào)通性通法，以最基本的方法來解決最基本的問題，這往往是數(shù)列試題設(shè)置的本質(zhì)所在.

例3? （2023年全國甲卷理科·17）已知數(shù)列{an}中，a2=1，設(shè)Sn為{an}前n項(xiàng)和，2Sn=nan.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列{an+12n}的前n項(xiàng)和Tn.

解析：（1）依題知2Sn=nan，a2=1.

當(dāng)n=1時，2a1=a1，即a1=0；當(dāng)n=3時，2（1+a3）=3a3，即a3=2；

當(dāng)n≥2時，有2Sn-1=（n-1）an-1，所以2（Sn-Sn-1）=nan-（n-1）an-1=2an，

化簡可得（n-2）an=（n-1）an-1，則當(dāng)n≥3時，可得anan-1=n-1n-2.

所以an=anan-1·an-1an-2·……·a3a2·a2=n-1n-2·n-2n-3·……·21·1=n-1.

上式中當(dāng)n=2或n=1時，a2=1，a1=0也適合，所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n-1，n∈N*.

（2）由（1）知，an=n-1，n∈N*，可得an+12n=n2n，

所以Tn=12+222+323+……+n2n，可得12Tn=122+223+324+……+n2n+1.

以上兩式對應(yīng)相減，可得12Tn=12+122+123+124+……+12n-n2n+1=121-12n1-12-n2n+1=1-12n-n2n+1.

所以Tn=2-22n-2n2n+1=2-2+n2n，n∈N*.

點(diǎn)評：本題看似難度不大，但對學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及構(gòu)造新數(shù)列思維有一定的要求.第（1）問看似常規(guī)，但解題過程中充滿思辨，間接考查了利用累乘法求等數(shù)列通項(xiàng)的思維過程.

5 總結(jié)試題特征，挖掘命題特點(diǎn)

（1）注重對等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式、求和公式及一些重要性質(zhì)的考查.

（2）注重等差、等比數(shù)列與數(shù)學(xué)文化相結(jié)合，本質(zhì)還是考查等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與求和公式的應(yīng)用.

（3）新定義下的數(shù)列題目及數(shù)列與三角函數(shù)、集合交匯的綜合試題，是新高考的熱點(diǎn)題型.