“雙變量”巧消元，單變量妙破解

蔡明生

摘要：在函數與導數的應用中，涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題是其中一類熱點問題，也是近年高考中比較常見的一類基本題型，有其自身比較常規的破解思維方法與技巧策略.

關鍵詞：函數；曲線；直線；相切；最值

近些年高考和模考中函數與導數的綜合應用試題，常涉及“雙變量”或“雙參”問題，對學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模等核心素養提出了較高要求.解決這類問題的關鍵是結合已知條件，尋找雙變量所滿足的關系式，想方設法把“雙變量”問題轉化為單變量問題，從而化陌生為熟悉，實現問題的轉化與解決.

本文中以一道模擬題中涉及的“雙變量”的最值問題求解為例，深入剖析問題，多視角技巧方法應用，合理變式拓展，助力數學解題研究.

1 問題呈現

問題? 已知函數f（x）=2ln（ax+b）（a，b∈R），若直線y=x與曲線y=f（x）相切，則ab的最大值為.

此題借助含有“雙變量”的函數所對應的曲線與直線相切來合理創設情境，進而求解雙變量乘積所對應的代數式的最值.合理消元，將“雙變量”問題轉化為單變量問題，是解決此類問題的關鍵所在，也是主要的切入點.

2 問題破解

解法1：消元法—基于主元思維1.

設直線y=x與函數y=f（x）對應的曲線相切于點P（x0，2ln（ax0+b））.

因為f′（x）=2aax+b，結合導數的幾何意義可知，f′（x0）=2aax0+b=1，即ax0+b=2a（a>0）.

又因為點P在切線y=x上，則2ln（ax0+b）=x0，

所以x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a，于是b=2a-ax0=2a-2aln 2a.

因此ab=2a2-2a2ln 2a（a>0）.

設函數g（a）=2a2-2a2ln 2a（a>0），則g′（a）=2a-4aln 2a=2a（1-2ln 2a）.

令g′（a）=0，解得a=e2.所以

當a∈0，e2時，g′（a）>0，函數g（a）單調遞增；當a∈e2，+∞時，g′（a）<0，函數g（a）單調遞減.

所以g（a）max=ge2=e4，即ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題，往往是構建雙變量之間的等量關系式，進而因地制宜，直接選取其中一個變量作為“主元”，結合消元處理轉化為涉及該“主元”的關系式，從而巧妙將雙變量問題轉化為單變量問題，借助函數的構建以及導數的應用，通過函數的基本性質來確定對應的最值問題.

解法2：消元法—基于主元思維2.

同解法1得到x0=2ln（ax0+b）=2ln 2a.

那么a=12ex02，b=2a-ax0=a（2-x0）=12ex02（2-x0），因此ab=14ex0（2-x0）.

設函數g（x）=14ex（2-x）（x>0），則有g′（x）=14ex（1-x），

令g′（x）=0，解得x=1.

當x∈（0，1）時，g′（x）>0，函數g（x）單調遞增；當x∈（1，+∞）時，g′（x）<0，函數g（x）單調遞減.

所以g（x）max=g（1）=e4，即ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題，利用變量的引入以及條件關系的應用，將雙變量同時轉化為另外同一個變量的關系式，達到消元的目的，同樣可以巧妙地將雙變量問題轉化為單變量問題，借助函數的構建以及導數的應用，通過函數的基本性質來確定對應的最值問題.

解法3：消元法—基于換元思維.

同解法1可得ab=2a2-2a2ln 2a（a>0），

因此ab=2a2-2a2ln 2a=2a2-a2ln 4a2.

令t=4a2>0，函數g（t）=12t-14tln t=14t＼5（2-ln t），t>0，

則g′（t）=14（1-ln t），令g′（t）=0，解得x=e.

當t∈（0，e）時，g′（t）>0，函數g（t）單調遞增；當t∈（e，+∞）時，g′（t）<0，函數g（t）單調遞減.

所以g（t）max=g（e）=e4，即ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題，在消元并轉化為同一“主元”問題時，有時結合表達式的復雜性進行必要的換元處理，借助單變量函數問題進一步利用函數與導數的綜合應用來解決最值問題.這里換元的目的往往是為了數學運算的簡捷與方便，優化解題過程.

解法4：消元法—基于不等式放縮思維.

同解法1可得ab=2a2-2a2ln 2a（a>0），

結合切線不等式ln x≤xe（當且僅當x=e時等號成立），

因此得ab=2a2-2a2ln 2a=2a2（1-ln 2a）=a2·lne2a2≤a2·e2a2·1e=e4，當且僅當e2a2=e，即a=e2時等號成立，

則ab的最大值為e4.

故填：e4.

解后反思：涉及“雙變量”或“雙參”的相關問題，在消元并轉化為同一“主元”問題時，利用單變量表達式的恒等變形與對應的結構特征，利用一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、切線不等式等）進行必要的放縮變形，也是用來確定代數式最值問題中比較常用的一種技巧方法.

3 變式拓展

變式1? 已知a，b∈R，當a＞0時，若ln（ax+b）≤x恒成立，則ab的最大值為.

解析：令函數f（x）=ln（ax+b）-x，則有f′（x）=aax+b-1（ax+b＞0），

令f′（x）=0，解得x=a-ba.

由a＞0，當-ba＜x＜a-ba時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；當x＞a-ba時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減.

故f（x）在x=a-ba處取得最大值ln a-a-ba.

由題意可得ln a-a-ba≤0，即b≤a-aln a，所以ab≤a2-a2ln a.

設函數h（a）=a2-a2ln a，a＞0，則有h′（a）=2a-（2aln a+a）=a-2aln a=a（1-2ln a）.

令h′（a）=0，解得a=e.

當0＜a＜e時，h′（a）＞0，h（a）單調遞增；當a＞e時，h′（a）＞0，h（a）單調遞減.

所以h（a）在a=e處取得最大值e-12e=e2，

即當a=e，b=e2時，ab的最大值為e2.

變式2? 已知a，b∈R，若集合{x|ex

e2

4 教學啟示

4.1 掌握技巧方法，合理消元化歸

函數與導數的綜合應用問題中的“雙變量”或“雙參數”問題常以切線、方程、不等式、最值、參數范圍等形式呈現，但最終的落腳點都是函數，其核心是研究函數的基本性質，通過“減元”將雙元問題轉化為單元問題，確定待研究的函數成為解題的核心，再結合相關的基礎知識與技巧方法來分析與解決.

4.2 開拓數學思維，挖掘巧技妙解

解決此類涉及“雙變量”或“雙參數”的問題，要充分挖掘題設條件的內涵與本質，深入理解題目條件與所求，合理變形與整合，巧妙消元并綜合應用，開拓思維，“一題多解”，從不同思維視角切入，挖掘巧技妙解，利用不同的技巧方法來分析與處理，舉一反三，靈活變通，借助“一題多變”，達到“一題多得”，真正達到融會貫通，從數學知識、數學能力、數學思維等層面融合，形成數學知識體系，轉變為數學能力，得以創新拓展.