閱讀、模仿、遷移“三步曲”求解高中數學閱讀題

劉麗 張恒麗

項目信息：2022年蕪湖市新高考背景下校本課程

“‘三新背景下高中數學閱讀校本課程的開發與研究”，項目編號為WK2214；2023年安徽省教育科學研究課題“多學段融通視域下數學閱讀課程資源的開發與實踐”，課題編號為JK23176.

在高中數學教學中，基于閱讀、模仿、遷移三步曲進行數學解題時，通過仔細閱讀題目，理解問題的要求和給定條件，學生能夠準確把握題目中的關鍵詞和信息，并能與已學知識進行聯系.而學生通過模仿已有的解題思路和方法，分析解題過程中的關鍵步驟和思維路徑，能夠形成固有的解題框架，以此提高解題的準確性和效率.最終，學生可以將已經掌握的解題思路遷移到新的問題中，運用相關的知識和技巧解決新的數學問題，有助于培養靈活運用知識的能力，提升解題的創新性和獨立性.

例1? 在求解1+2+22+23+24+……+22 017的值時，可以假設：

S=1+2+22+23+24+……+22017.①

隨后對①式兩側同乘冪的底數2，則可以得到如下式子：

2S=2+22+23+24+……+22 017+22 018.②

用②式減①式，可以得到

2S－S=22 018－1.

因此可求解出S=22 018－1.

問題1：根據以上解題方式，請仿照此方法求解出1+2+22+23+24+……+29的值.

問題2：試求解1+5+52+53+54+……+5n的值.

問題3：試求解25+26+27+28+29+210的值.

分析：根據閱讀、模仿、遷移“三步曲”的解題方式，解答本道題時，可以將整個解題過程劃分為以下三個步驟，然后根據每個步驟的方式一步步進行分析求解，從而使學生更好地掌握相關數學解題點

［1］.

第一步：閱讀

例1中詳細描述了本題的解題思路，但最為關鍵的部分是如何將所要求值的式子變形.在例題中，將①式兩邊同乘冪的底數2后，得到②式，隨后用②式減①式，則可以得出相應的等式，最后將結果進行簡化，就可以求解出答案.通過閱讀題目，能夠很清楚地掌握本題的解題方法.

第二步：模仿

在求解問題1時，學生可以根據題目中已知的解題方法進行模擬，假設

S=1+2+22+23+24+……+29.③

隨后對③式兩邊同乘冪的底數2，則可以得到④式：

2S=2+22+23+24+……+29+210.④

用④式減③式，可以得到2S－S=210－1，即S=210－1.

因此能夠得出問題1的最終答案為210－1.

由此可見，學生基本上只需要掌握已知題目中的轉換方式，就能充分模仿問題1的求解方式.這種模仿方式不僅簡單，而且解題效率也比較高，適合大部分學生學習［2］.

第三步：遷移

在求解問題2時，首先假設

S=1+5+52+53+54+55+……+5n.⑤

隨后對⑤式的兩邊同乘冪的底數5，可以得到⑥式：

5S=5+52+53+54+55+……+5n+5n+1.⑥

用⑥式減⑤式，可以得到5S－S=5n+1－1，即S=5n+1－14.

在求解問題3時，基于遷移的方式進行答時，其解題方式如下：

25+26+27+28+29+210=1+2+22+23+24+25+26+27+28+29+210－（1+2+22+23+24）=211－1－（25－1）=211－1－25+1=211－25=2 048－32=2 016.

小結：從例1中可以看出，數學閱讀理解問題的解決通常需要經歷“三步曲”的方式，因此在后續的教學過程中，教師應該加強對學生的數學閱讀、模仿以及遷移三方面的訓練，使學生學會數學閱讀、模仿以及遷移，從而在遇到數學閱讀理解題目時，能夠實現快速解題的目的［3］.

例2? 已知如下方程組：

2x+5y=3，4x+11y=5.⑦⑧

在解答該方程組時，可以采用整體代換的方式求解，將方程組中的方程⑧進行變形處理，以此得到4x+10y+y=5，并再次進行變形處理后，得到方程2（2x+5y）+y=5，然后將方程⑦代入其中，則可以得出2×3+y=5，從而求解出y=－1.隨后將y=－1代入到方程⑦中，可以求解出x=4.

問題1：根據已知的方程組求解方式，請使用整體代換的方式求解方程組

3x－2y=5，9x－4y=19.⑨⑩

問題2：若x，y滿足3x2－2xy+12y2=47，2x2+xy+8y2=36，請求x2+4y2的值.

分析：基于“三步曲”的方式，對例題2求解時，依舊按照以下三個步驟進行［4］.

第一步：閱讀

通過閱讀例題2，學生可以掌握相應的解題方法或者思路，在拿到本道題時，需要對題目提供的文本材料進行閱讀理解，并從文本中提取有價值的內容和信息.對于新的解二元一次方程組的方式——借助整體代換的方法求解，由于本例題中只給出了相應的解題步驟，但沒有對整體代換概念和方法作出說明，因此學生在解題時，需要先從中得出相應的解題方法或者解題思路.例2中的（2x+5y）是個整體，對應的數值為3，將方程⑦變形成一個含有（2x+5y）這個整體的方程后，使用數值3替代掉（2x+5y），從而能夠求解出對應的方程組.

第二步：模仿

通常情況下，數學習題中提出若干個問題時，其中第一個問題的解答通常比較簡單.對于例2中的問題1，只需要根據已知題目的方式模仿文本中的方法或者思路，抓住方法的實質就能解決問題.這種“換湯不換藥”的方式，通常只需要調整文本中的數據，就能快速解答出題目［5］.

在求解問題1時，可以將（3x－2y）看作一個整體，學生只需要模仿，就能快速完成求解.其解題過程如下：

將方程⑩變形后，可以得到6x－4y+3x=19，再次變形后，得到方程2（3x－2y）+3x=19，將方程⑨代入其中，則可以得出2×5+3x=19，最后能夠求解出x=3.

在得到x=3后，將其代入到方程⑩中，最終求解出y=2.

第三步：遷移

完成模仿后，大部分學生已經基本上掌握了本道題目中所述的整體代換方法，而在接下來的問題2的解答中，其主要學習任務是將所學習到的整體代換方法進行具體的遷移，用整體代換法解決問題.相較于第二步的模仿，第三步的遷移不再是簡單地對數學習題進行解答，而是要將所學習到的新知識應用到新的問題解決中.在解決問題2時，可以發現（x2+4y2）是該問題中方程組的整體部分，因此將問題2中的方程組變形，可以得到

3（x2+4y2）－2xy=47，2（x2+4y2）+xy=36.B11B12

對于上述方程組，將含有xy的項消去后，則能夠輕松求解出（x2+4y2）的值.因此求解時，對方程組采取B12×2+B11的方式，得到7（x2+4y2）=119，從而得出x2+4y2=17.

數學解題思路的培養是高中數學教學的重要內容，而基于閱讀、模仿、遷移的三步曲為學生提供了一種行之有效的解題思路.通過仔細閱讀題目、模仿已有的解題思路和方法、遷移已學知識解決新的問題，學生可以建立起正確的解題框架和方法論，提升數學解題的能力.

參考文獻：

［1］林世平，王珠芳.立足轉化思想，培育核心素養——例談轉化思想在高中數學解題中的應用［J］.數學之友，2022（20）：58-60.

［2］翁建新，陳美蘭.“讀思達”教學法在高中數學教學中的實踐探析［J］.中學理科園地，2023，19（2）：12-13.

［3］吳惠琴.關注閱讀能力培養 促進綜合能力提升——談數學閱讀在解題中的應用［J］.數學教學通訊，2022（3）：81-82.

［4］韓麗.圈點批注、讀中領悟、模仿遷移——淺說高中現代抒情散文讀寫結合教學策略的探索［J］.語文課內外，2021（16）：307.

［5］王保東，張靜，鄭燕杏.在解題教學中體會數學閱讀、運算和表述——以一道高考題的解題教學為例［J］.中小學數學（高中版），2021（11）：62-64.