從數列視角切入 妙解求值問題

李伊璐 高明

項目信息：西華師范大學縱向科研項目“基于核心素養下的南充市高中課堂教學研究——以數學學科為例”，項目編號為468020.

摘要：數學試題以發展能力為立意，以靈活運用為導向.數列經常與函數和其他版塊的知識交匯融合.本文中通過對一些求函數最值、變量取值范圍、代數式求值問題，根據a+b=c，ab=c的結構特征和代數式的遞推關系，從數列視角切入，將原問題轉化為數列相關問題，利用數列的特殊性，分析題設結構，構造數列模型，以達到突破解題常規、深化解題思維、開拓解題方法的目的.

關鍵詞：數列視角；求值問題

1 構造等差數列妙解最值與取值范圍問題

在解決結構形如“a+b=c”型的取值范圍或最值問題時，從數列視角切入，引入公差d，找到公差d和所求參數之間的關系，利用其性質，可高效求解出相應問題.

例1

（2022年全國高中數學聯賽重慶市初賽試題）

不等式x+y≤k5x+y，對任意正實數x，y都成立，則實數k的最小值為.

分析與解答：本題涉及不等式問題，將條件變形為k≥x+y5x+y=x5x+y+y5x+y.

令x5x+y+y5x+y=2t，具有“a+b=c”結構形式.

視x5x+y，t，y5x+y為等差數列，引入公差d，令

x5x+y=t-d，①

y5x+y=t+d，②

且滿足|d|≤t.

①2×5+②2，得

1=5（t-d）2+（t+d）2=6d-23t2+103t2.

易得103t2≤1，故t≤3010.

所以k≥x5x+y+y5x+ymax=（2t）max=305.

因此，實數k的最小值為305.

例2

（2020年全國高中數學聯賽四川賽區預賽）

已知正實數x，y滿足1x+3y+12x+y=1，則x+y的最小值為.

分析與解答：本題具有“a+b=c”結構形式，視1x+3y，12，12x+y為等差數列，引入公差d.

令1x+3y=12-d，12x+y=12+d，|d|≤12，則

x+3y=21-2d，2x+y=21+2d.

解得x=154-16d1-4d2，y=152+12d1-4d2.

于是x+y=156-4d1-4d2.

令6-4d1-4d2=t，將其轉化為關于d的一元二次方程，又|d|≤12，利用判別式Δ≥0，可得t≥3+22.

故x+y=156-4d1-4d2≥3+225.

因此，x+y的最小值為3+225.

評注：求解不等式最值問題、函數值域問題，可以用換元、分離常數等方法，但易忽略不等式成立的條件.題設中具有a+b=c的形式，以數列的視角切入，深化數列和函數、不等式的關系，使得求解函數最值、值域問題更加高效和直觀.

2 構造等比數列妙解多元最值與范圍問題

在解決條件中具有形如“ab=c（c為常數）”型的多元變量的取值范圍或最值問題時，通過構建數列模型，可將問題轉化為公比（單元）的函數形式，求解出最值.

例3

（2022年全國高中數學聯賽江蘇賽區蘇州市選拔賽試題）

已知正實數a，b，c滿足2（a+b）=ab，且a+b+c=abc，則c的最大值為.

分析與解答：本題抓住條件2（a+b）=ab，可變形為（a-2）（b-2）=4，具有“ab=c（c為常數）”型特征.

構造等比數列模型：a-2=2q，b-2=2q（q>0）.

將c轉化為q的函數形式，由a+b+c=abc，得4+2q+2q+c=（2+2q）2+2qc，

可得

c=4+2q+2q4q+4q+7=2q2+4q+24q2+7q+4

=124q2+8q+44q2+7q+4=121+q4q2+7q+4

=121+17+4q+1q≤121+17+8=815，

當且僅當q=1時，等號成立.

因此，c的最大值為815.

例4? （2021年上海市高三數學競賽試題）已知正實數a，b滿足a（a+b）=27，求a2b的最大值.

分析與解答：此題可采用不等式放縮的方式進行解答，但難度大，不易找到切入點.若以a（a+b）=27具有“ab=c（c為常數）”型特征為突破口，問題則比較容易求解.

構造等比數列模型：

a=33q，a+b=33q（q>0）.

解得b=33q-1q，

則

a2b=27q2·33q-1q=8131q-1q3.

令函數f（x）=x-x3（x>0），則f′（x）=1-3x2，

易知f（x）在x=33時取得最大值，因此a2b=8131q-1q3≤81333-333=54，

此時q=3.

故a2b的最大值為54.

評注：例3、例4對2（a+b）=ab，a（a+b）=27變形，構造符合等比數列模型的形式，從數列視角切入，引入公比q，用含q的表達式來表示題設所求，再利用函數、不等式的性質等求解出最值問題.

3 構造數列遞推關系妙解代數式求值問題

在一些代數式求值問題的解題過程中，將其轉化為一般形式，使其具有“數列”結構，利用數列的性質求解，進而將問題化繁為簡，化難為易，以達到解決問題的目的.

例5

（2021年全國高中數學聯賽湖北賽區預賽試題）設x1，x2，x3是方程x3-x+1=0的三個根，則x51+x52+x53=.

分析與解答：本題可以將問題一般化，構造數列遞推式來解答.

記an=xn1+xn2+xn3.

利用方程根與系數的關系，可得x1+x2+x3=0，

x1x2+x2x3+x3x1=-1，x1x2x3=-1.

易得a1=x1+x2+x3=0，a2=x21+x22+x23=2，

a3=x31+x32+x33=3x1x2x3=-3.下求a5的值.

利用an的定義及關系式，可得an+3=an+1-an.

由a1=0，a2=2，a3=-3，

得

a4=a2-a1=2，a5=a3-a2=-5.

因此x51+x52+x53=a=-5.

例6

（2013年全國高中數學聯賽江蘇賽區預賽試題）

設x，y為兩個不同的實數，且x2=2x+1，y2=2y+1，則x6+y6的值為.

分析與解答：此題可以將問題一般化，構造數列遞推式來解答.

記an=xn+yn.

易知a1=x+y=2，a2=x2+y2=6，則xy=-1.

利用an的定義及關系式，可得

an+1=xn+1+yn+1=（x+y）（xn+yn）-（xyn+yxn）

=（x+y）an-xyan-1.

遞推得an+2=5an+2an-1.由a1=2，a2=6，

可得a3=14，a4=34，a5=82，a6=198.

評注：求解此類問題，利用方程的根與系數的關系求出變量的值，計算量繁雜.因此可建立數列模型，把要求的代數式x51+x52+x53，x6+y6與數列中具體的某一項對等起來，將問題一般化，建立數列模型，這樣可以簡化運算步驟，減少運算量.

解決數列與其他知識融合的問題，是“打草驚蛇”的過程，把“草”看作是數列，那么“蛇”就是不等式、函數等知識，知識點之間相互獨立又彼此聯系.抓住結構特征，從數列視角切入，以數列模型為牽引，建立同其他知識點的聯系，能夠提升學生的解題能力，減輕學生學習壓力，有利于構建全面的知識體系，增強解題思維的完整性，從而進一步提升學生的核心素養.