一道函數類不等式的多證探究

陳小娟

函數與導數以及不等式知識的交匯應用，一直是近年高考數學解答題的必考內容，因此，關注函數類不等式的多證探究，有利于幫助我們不斷積累解題經驗，拓寬解題思路，提高對相關數學知識、思想方法在解題中的靈活運用能力，進而提升數學核心素養.

1 好題采擷

設函數f（x）=aexln x+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線為y=e（x-1）+2.

（1）求a，b；

（2）證明：f（x）>1.

2 多證探究

本試題第（1）問簡單，易得a=1，b=2，下面重點探究第（2）問.

思路一：通過不等式兩邊同乘e-x變形知，即證ln x+2ex>e-x，再變形知即證xln x+2e>xe-x.據此，可以先構造兩個不同的函數，再利用函數的最值構建出兩個不等式，最后根據不等式的傳遞性加以靈活證明.

證法1：易知函數f（x）的定義域為（0，+∞）.于是，要證f（x）>1，即證exln x+2ex-1x>1，即證ln x+2ex>e-x，亦即證xln x+2e>xe-x，其中x>0.設函數g（x）=xln x+2e（x>0），則求導得g′（x）=ln x+1.據此可知，當x>1e時，有g′（x）>0；當00），則求導得h′（x）=e-x-xe-x=e-x（1-x）.據此可知，當00；當x>1時，有h′（x）<0.故函數h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，從而可得h（x）max=h（1）=1e，所以有h（x）≤1e，即xe-x≤1e，亦即1e≥xe-x（記為②式），當且僅當x=1時等號成立.由于上述不等式①②取等號的條件不一致，因此根據不等式的傳遞性即得不等式xln x+2e>xe-x，其中x>0.

綜上，可知求證結論成立，即f（x）>1.

評注：該證法先等價轉化目標問題，再借助不等式的傳遞性“若a≥b，b≥c，則a≥c”加以靈活證明，突出體現了“函數思想”在解題中的充分運用——根據函數的單調性，可確定函數的最值，進而可構建不等式.

思路二：由于求證式可等價變形為ln x+2ex>e-x，再變形知即證ln x+1ex+1ex-e-x>0.據此，可以先構造兩個不同的函數，再利用函數的最值構建出兩個不等式，最后根據同向不等式的可加性加以靈活證明.

證法2：易知函數f（x）的定義域為（0，+∞）.于是，要證f（x）>1，即證exln x+2ex-1x>1，即證ln x+2ex>e-x，亦即證ln x+1ex+1ex-e-x>0，其中x>0.

設函數g（x）=ln x+1ex（x>0），則求導得g′（x）=1x-1ex2=ex-1ex2.據此可知：當x>1e時，有g′（x）>0；當0

接下來，利用多種不同的構造函數的方法，具體證明：不等式1ex-e-x≥0（記為④式），當且僅當x=1時等號成立.

構造函數方法1：設函數h（x）=ex-1-x（x>0），則求導得h′（x）=ex-1-1.據此可知：當x>1時，有h′（x）>0；當0

構造函數方法2：設函數h（x）=ex-1x（x>0），則求導得h′（x）=ex-1（x-1）x2.據此可知：當x>1時，有h′（x）>0；當0

綜上，由③④式及取等號的條件，即可證得f（x）＞1.

評注：該證法先等價轉化目標問題（將所求證不等式寫成兩個式子之和大于零的形式），再借助同向不等式的可加性“若a≥b，c≥d，則a+c≥b+d”加以靈活證明，突出體現了“函數思想”在解題中的充分運用，其中不等式1ex-e-x≥0（x>0）的證明，證法靈活、多樣，故值得關注和認真學習，這有利于幫助我們不斷提高解題思維的創新性、靈活性.

思路三：由于求證式可等價變形為ln x+2ex>e-x，再變形知即證eln x+2x>e1-x.又根據切線不等式“ex≥x+1（當且僅當x=0時不等式取等號）”可對代數式“e1-x”進行放縮處理，適當放大之后，可將欲證明的不等式eln x+2x>e1-x加以轉化，然后再利用構造函數的思想靈活求解，即可順利獲證.

證法3：易知函數f（x）的定義域為（0，+∞）.于是，要證f（x）>1，即證exln x+2ex-1x>1，即證ln x+2ex>e-x，亦即證eln x+2x>e1-x，其中x>0.根據切線不等式“ex≥x+1（當且僅當x=0時不等式取等號）”，可知ex-1≥x（當且僅當x=1時不等式取等號），所以當x>0時，兩邊取倒數得e1-x≤1x，當且僅當x=1時不等式取等號.據此可知，只需證明eln x+2x≥1x，即證eln x+1x≥0，且不等式取等號的條件不是x=1即可.

構造函數g（x）=eln x+1x（x>0），則求導得g′（x）=ex-1x2=ex-1x2.據此可知：當x>1e時，有g′（x）>0；當0

綜上，可知求證結論成立，即f（x）>1.

評注：該證法的關鍵是先放縮（得到e1-x≤1x）再轉化（得到只需證明eln x+1x≥0，且不等式取等號的條件不是x=1），突出體現了證明不等式具有較強的技巧性、靈活性，同時也說明“轉化思想”與“函數思想”在證明不等式中往往需要加以綜合運用.需要注意的是，一般地，在分析、解決有關函數類不等式問題時，往往需要關注切線不等式——ex≥x+1（當且僅當x=0時不等式取等號）和ln x≤x-1（當且僅當x=1時不等式取等號）在解題中的靈活運用.

總之，該考題第（2）問的設計比較好，由于求證式中同時出現了指數式與對數式，導致不等式的證明具有較強的綜合性、靈活性，從而需要先對求證式實施適當的等價變形，再利用“函數思想”和不等式的傳遞性、同向不等式的可加性加以證明（如證法1、證法2），或者先對求證式實施適當的放縮處理，再利用“轉化思想”和“函數思想”加以證明（如證法3）.