一道課堂習題的再探究

秦昊

1 問題的提出

文［1］對如下習題作了拓展研究，并給出了如下兩個結論：

習題? 過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當△AOB的面積最小時，求直線l的方程.

結論1? 如圖1，設定點P在定角∠XOY內，過點P的直線分別交OX，OY于A，B兩點，當且僅當P為AB中點時，△OAB的面積最小.

結論2? 如圖2，設定點P在定角∠XOY內，過點P的直線分別交OX，OY于A，B兩點，當且僅當OA=OB時，PA·PB最小.

文［1］末提到可以進一步探究|AB|以及△AOB周長的最小值，本文對△AOB周長的最小值進行再探究.

變式題? 過點P（1，2）的直線l與x軸的正半軸，y軸的正半軸分別交于A，B兩點，當△AOB的周長最小時，求直線l的方程.

2 問題探究

解法1：如圖3，直線l的斜率必存在，不妨設直線l的斜率為k（k<0），則直線l的方程為y=k（x-1）+2，求得A1-2k，0，B（0，-k+2），則△AOB的周長為

C（k）=|OA|+|OB|+|AB|=1-2k+（-k+2）+1-2k2+（-k+2）2（k<0）.

對上述函數求導，得

C′（k）=2k2+（k-2）（k3+2）k3＼5（k-2）2（k2+1）k2-1.

令C′（k）=0，解得函數的駐點為k=-43.當k<-43時，C′（k）<0，函數y=C（k）嚴格遞減；當-430，函數y=C（k）嚴格遞增.因此，當k=-43時，△AOB的周長C（k）取得最小值，直線l的方程為y=-43（x-1）+2，即4x+3y-10=0.

解法2：如圖4，作△OAB中∠O所對的旁切圓C，旁切圓C與OA，OB的延長線及AB分別相切于點M，N，D.不妨設旁切圓C的半徑為r.此時△AOB的周長為

y=|OB|+|OA|+|DB|+|DA|

=|OB|+|OA|+|BN|+|AM|

=|OM|+|ON|

=2r.

求△AOB的周長最小值等價于求旁切圓C的半徑r的最小值.

設l：y-2=k（x-1），旁切圓C：（x-r）2+（y-r）2=r2.

因為直線l與圓C相切，所以|kr-r-k+2|k2+1=r.

整理，可得關于k的一元二次方程

（2r-1）k2+2（r-1）（r-2）k+4r-4=0，

其判別式Δ=［2（r-1）（r-2）］2-4（2r-1）＼5（4r-4）≥0，即r2（r-1）（r-5）≥0.

解得r≥5（r≤1時，圓C為內切圓，舍去）.

當r=5時，可得k=-43，此時直線l的方程為4x+3y-10=0.

如圖5所示，旁切圓的方程為（x-5）2+（y-5）2=52，圓C恰過點P（1，2）.

變式題的結論顯示，當△AOB的周長最小時，△OAB中∠O所對的旁切圓恰過點P.

這是偶然的嗎？讓我們進一步探究.

結論1? 如圖6，設定點P在直角∠XOY內，作過點P的直線分別交OX，OY于A，B兩點，當△OAB的周長最小時，△OAB中∠O所對的旁切圓恰過點P.

證明：如圖7，以O為坐標原點，OX為x軸，OY為y軸，建立平面直角坐標系.作△OAB中∠O所對的旁切圓C，旁切圓C與OA，OB的延長線及AB分別相切于點M，N，D.不妨設旁切圓C的半徑為r.此時△AOB的周長為

y=|OB|+|OA|+|DB|+|DA|=|OB|+|OA|+|BN|+|AM|=|OM|+|ON|

=2r.

求△AOB的周長最小值等價于求旁切圓C的半徑r的最小值.

設點P（a，b），直線l：y-b=k（x-a），

旁切圓C：（x-r）2+（y-r）2=r2.

因為直線l與圓C相切，所以|kr-r+b-ka|k2+1=r.

整理，可得關于k的一元二次方程

a（2r-a）k2+2（r-a）（r-b）k+2br-b2=0，

其判別式Δ=［2（r-a）（r-b）］2-4a（2r-a）＼5（2br-b2）≥0，

即r2-2（a+b）r+a2+b2≥0.

解得r≥a+b+2ab（r≤a+b-2ab時，圓C為內切圓，舍去）.

當r=a+b+2ab時，△OAB的周長取得最小值2（a+b+2ab）.

故旁切圓C的方程為［x-（a+b+2ab）］2+［y-（a+b+2ab）］2=（a+b+2ab）2.

將點P（a，b）代入圓C方程的左邊，化簡得

（b+2ab）2+（a+2ab）2

=a2+b2+4ab+22ab（a+b）

=（a+b+2ab）2.

故旁切圓恰好過點P.

不難發現變式題為結論1的特殊情況，由此可見變式題的結論并非偶然.

其實，對結論1還可以作進一步推廣：

結論2? 如圖8，設定點P在定角∠X′OY′內，作過點P的直線分別交OX′，OY′于A，B兩點，當△OAB的周長最小時，△OAB中∠O所對的旁切圓恰過點P.

證法1：如圖9，以O為坐標原點，OX′為x軸，OX′的垂線為y軸，建立平面直角坐標系.作△OAB中∠O所對的旁切圓C，切點分別為D，M，N.設旁切圓C的半徑為r，定角∠X′OY′=2θ，此時△AOB的周長為

y=|OB|+|OA|+|DB|+|DA|=|OB|+|OA|+|BN|+|AM|=|OM|+|ON|

=2rcot θ.

求△AOB的周長最小值等價于求旁切圓C的半徑r的最小值.

設點P（a，b），直線l：y-b=k（x-a），旁切圓C：（x-rcot θ）2+（y-r）2=r2.因為直線l與圓C相切，所以krtan θ-r+b-kak2+1=r，整理得關于k的一元二次方程

（r2cot2θ-2racot θ+a2-r2）k2+（2brcot θ-2r2cot θ+2ar-2ab）k-2br+b2=0，

其判別式

Δ=［2brcot θ-2r2cot θ+2ar-2ab］2-4（r2cot2θ-2racot θ+a2-r2）（-2br+b2）≥0.

由此可解得r≥atan θ+btan 2θ+tan 2θ＼5b2（1-cot2θ）+2abcot θ

（r≤atan θ+btan 2θ-tan 2θb2（1-cot2θ）+2abcot θ時，圓C為內切圓，故舍去）.

由此可知，當r=atan θ+btan 2θ+tan 2θ＼5b2（1-cot2θ）+2abcot θ時，

△OAB的周長取得最小值2（a+btan θ+tan θb2（1-cot2θ）+2abcot θ），易得此時的旁切圓C的方程.

由于將點P（a，b）代入圓C方程的計算難度一般，但篇幅較大，此處省略.經過筆者驗證，點P（a，b）滿足旁切圓方程，結論得證.

圖10

證法2：如圖10所示，已知P為定點，∠X′OY′為定角，當△OAB中∠O所對的旁切圓恰過點P時，旁切圓為定圓，切點S，T也為定點.過點P作異于AB的直線分別交OX′，OY′于A′，B′兩點.此時，在劣弧ST上必存在一點Q，過點Q可作圓C的切線分別交OX′，OY′于M，N兩點，且滿足MN∥A′B′.此時△OAB的周長=△OMN的周長=|OS|+|OT|=2|OT|，顯然，△OMN的周長小于△OA′B′的周長，即△OAB的周長小于△OA′B′的周長，結論得證.

參考文獻：

［1］黃振浩.一道課本例題的多方位探究［J］.中學數學雜志，2019（1）：33-34.