分析轉(zhuǎn)化變形，化未知為已知

蔣紅艷

高中數(shù)學(xué)教材對“誘導(dǎo)公式”這一章節(jié)的具體學(xué)習(xí)要求是：能夠熟練運用誘導(dǎo)公式將任意角的三角函數(shù)化歸為銳角的三角函數(shù)；理解并學(xué)會推導(dǎo)誘導(dǎo)公式，會分析誘導(dǎo)公式的特征，總結(jié)規(guī)律；通過典例的學(xué)習(xí)，掌握運用誘導(dǎo)公式進行簡單三角函數(shù)的化簡、求值的通性法則.

筆者結(jié)合具體實例，針對誘導(dǎo)公式的化簡、求值、證明問題的解決思路與方法例析如下，希望給同學(xué)們一些參考與幫助.

1 利用誘導(dǎo)公式求值

例1? 已知tanα+8π7=m（m≠-1），求代數(shù)式sin15π7+α+3cosα-13π7sin20π7-α-cosα+22π7的值.

解：原式

=sinπ+8π7+α+3cos-3π+α+8π7sin4π-8π7+α-cos2π+α+8π7

=-sin8π7+α+3cosπ-α+8π7-sin8π7+α-cosα+8π7

=sin8π7+α+3cosα+8π7sin8π7+α+cosα+8π7

=tan8π7+α+3tan8π7+α+1

=m+3m+1.

思路與方法：本題靈活運用了整體思想，把α+8π7當(dāng)成一個角，用誘導(dǎo)公式把其他角的三角函數(shù)全都化為α+8π7的三角函數(shù)值；當(dāng)然，本題也可以先將tanα+8π7=m化為tanα+π7=m，然后用誘導(dǎo)公式把其他角的三角函數(shù)都化為α+π7的三角函數(shù).

2 利用誘導(dǎo)公式化簡

例2? 化簡：sinkπ-2π3coskπ+π6（k∈Z）.

解：（1）當(dāng)k=2n（n∈Z）時，

原式=sin2nπ-2π3cos2nπ+π6=-sin2π3＼5cosπ6

=-sinπ3cosπ6=-32×32=-34.

（2）當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時，

原式=sin2nπ+π-2π3cos2nπ+π+π6=sinπ3cosπ+π6

=sinπ3-cosπ6=-34.

所以sinkπ-2π3coskπ+π6=-34（k∈Z）.

思路與方法：本題在靈活運用誘導(dǎo)公式化簡的過程中，主要體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.

3 利用誘導(dǎo)公式證明

例3? 證明：sec α-tan α=tanπ4-α2.

法1：sec α-tan α=1cos α-sin αcos α=1-sin αcos α

=sin2α2+cos2α2-2sinα2cosα2cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα22cos2α2-sin2α2=cosα2-sinα2cosα2+sinα2

=1-tanα21+tanα2=tanπ4-α2.

法2：sec α-tan α=1-sin αcos α=1-cosπ2-αsinπ2-α=tan12π2-α

=tanπ4-α2.

法3：sec α-tan α

=1-sin αcos α

=2cosπ4+α2sinπ4-α2cos α

=2cosπ4+α2sinπ4-α22sinπ4-α2cosπ4-α2

=tanπ4-α2.

思路與方法：本題的三種證法主要體現(xiàn)了運用誘導(dǎo)公式與三角公式進行恒等變換的技巧；解題的關(guān)鍵是要熟悉誘導(dǎo)公式，會根據(jù)解題的需要作適當(dāng)?shù)淖冃危€要具有敏銳的觀察力與邏輯推導(dǎo)能力.

4 誘導(dǎo)公式的逆用

例4? 在△ABC中，若sin C是sin A與sin B的等差中項，證明sin（A-B）=2（sin A-sin B）.

證明：由sin A+sin B=2sin C，得2sinA+B2＼5cosA-B2

=4sinA+B2cosA+B2，則cosA-B2=2cosA+B2，

等式兩邊同乘2sinA-B2，得

2sinA-B2＼5cosA-B2

=4sinA-B2cosA+B2，即

2 sinA-B2cosA-B2=22sinA-B2＼5cosA+B2.

所以sin（A-B）=2（sin A-sin B）.

思路與方法：本題如果直接證明比較困難，不如先進行分析，sin（A-B）=2（sin A-sin B）2sinA-B2cosA-B2

=4cosA+B2sinA-B2cosA-B2=2cosA+B2；再由條件步步逆推，sin A+sin B=2sin C2sinA+B2cosA-B2=2sin（A+B）

=4sinA+B2cosA+B2cosA-B2=2cosA+B2.這樣，順推與逆推相結(jié)合，達到了殊途同歸的目的.

5 誘導(dǎo)公式的綜合運用

例5? 試證明：cos215π+cos415π+cos815π+cos1615π=12.

法1：左邊=cos215π+cos815π+cos415π+cos1615π

=2cosπ3cosπ5+2cos2π3cos2π5=cosπ5-2π10

cos25π=2sin3π10sinπ10=2cos2π10sinπ10=2cosπ10sinπ10cos210πcosπ10=sin2π10cos2π10cosπ10

=sin4π102cosπ10=12=右邊.

法2：左邊=cos215π+cos1415π+cos415π+cos815π

=2cos2π5cos8π15+2cos2π5cos2π15=2cos2π5cos815π+cos215π=4cos2π5cosπ3cosπ5=2cosπ5cos2π5=2sinπ10cosπ5=12=右邊.

思路與方法：本題的證法1在證明到“2sin3π10＼5sinπ10”這一步時，接著運用誘導(dǎo)公式將其變形為“2cos2π10sinπ10”，再進一步化簡.證法2應(yīng)用誘導(dǎo)公式將cos1615π化為cos1415π，化積后有公因子出現(xiàn)，即可提取公因式、再化積，從而達到證明的目的.

從近幾年的高考試題來看，誘導(dǎo)公式已成為每年高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一，且各種題型均有涉及.其中，解答題常與同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解三角形等知識點結(jié)合起來命題，分值較高，難度較大，也是高考備考的重點內(nèi)容.因此要指導(dǎo)學(xué)生通過典型例題的學(xué)習(xí)與適量訓(xùn)練，學(xué)會和掌握運用誘導(dǎo)公式進行三角函數(shù)的化簡、求值、證明的方法與技巧，更要能夠運用轉(zhuǎn)化思想，通過創(chuàng)設(shè)運用誘導(dǎo)公式的條件，綜合運用其他相關(guān)知識，解決與函數(shù)、方程、解三角形等有關(guān)的綜合問題，不斷提高綜合解題能力.

參考文獻：

［1］鄒玲.合理融合交匯，誘導(dǎo)公式應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（21）：8-9.

［2］周文國.誘導(dǎo)公式的學(xué)與思［J］.數(shù)理天地（高中版），2022（13）：9-12.