畫圖法在小學數學解題中的應用技巧

周強

【摘要】數量關系與空間形式是數學的主要研究內容，根據二者的轉換關系畫圖解題，可在一定程度上降低問題難度，達到活化思維，提高解題效率的目的.文章簡單介紹了畫圖法的內涵，基于實際案例探討線段圖、格子圖、集合圖、面積圖在小學數學解題中的應用技巧，應用該方法指導學生解決小學數學難題，有利于發展其數學思維，提高其解題能力，為拓寬學生解題思路提供參考.

【關鍵詞】畫圖法；小學數學；解題；應用

引 言

《義務教育數學課程標準（2022年版）》倡導教師在教學過程中引導學生發現情境中的數量關系與空間形式，使其學會運用畫圖等方法簡化、解決實際問題，形成應用意識.小學數學問題可大致分為填空、選擇、計算、應用等四大類，一些問題形式簡單，可通過直接套用數學公式求解.但另外一些問題較為復雜，需要借助線段圖、格子圖、集合圖等圖示表示其數量、邏輯關系，再進行轉化求解.實際教學中，教師應注意整理畫圖法解決不同類型數學問題的案例，從中提煉該方法的應用技巧，并將其傳授給學生，由此發展學生的幾何直觀、邏輯意識等核心素養.

一、畫圖法概述

畫圖法是數學問題解決方法的一種，主要借助線段圖、示意圖、集合圖等圖示將抽象問題形象化，由此直觀呈現蘊藏在問題之中的數量、邏輯關系，以便確定解題切入點.其中，線段圖、示意圖等圖示以線段、格子、小棒等圖形為構成要素，用于直觀體現問題中的數量關系，可用于引導學生由直觀思維過渡到抽象思維，使其形成抽象思考現實問題中數量關系的思維習慣.集合圖以Venn圖為主要形式，用于確定求值范圍、排除重疊答案等，對于培養學生的集合思維有著積極意義.

二、畫圖法在小學數學解題中的應用技巧

（一）線段圖在小學數學解題中的應用技巧

由線段、箭頭、數字符號等要素構成的圖示被稱為線段圖.線段的長度是有限的，所以線段圖一般被用于表示有限的量.在數學解題中，可以用一條較長線段表示“和”，將組成“和”的各分量依次標在該線段上，當出現多種數量關系時，“和”的關系還可以用大括號來表示.以此類推，線段圖還可用于表示數學問題中數量的差、倍關系等.目前常用于小學數學解題中的線段圖可大致分為單線分段圖、復式并列圖、變式線段圖等三類.應用線段圖求解問題時，要借助線段的長短表示量的大小，并對應標上數據.針對不同問題，應靈活選用以上三類線段圖，確定標準量與比較量，在解決“比……多”的問題時，多的部分畫實線，在解決“比……少”的問題時，少的部分畫虛線，同時應標上數據.

1.單線分段圖

單線分段圖即借助單條線段表示整體、部分量之間的關系的線段圖，常被用于小學低段數學運算解題、中低段應用題求解過程當中.其應用的基本步驟是：根據題意確定標準量（單位“1”），根據解題需要表示部分量，最后根據題目給出的信息、要求的信息進行標注，將文字問題轉化為識圖問題.以人教版二年級數學上冊“表內乘法（一）”涉及的應用題求解為例：

例1 小明與父母去果園摘桃子.他將摘到的桃子平均分成了4堆，3堆送給了他的好朋友們，留下一堆自己吃.小明留下自己吃的桃子有6個，他一共摘了多少個桃子？

解析 小明留下自己吃的桃子有6個，可將其作為切入點確定單位“1”，之后畫出單線分段圖（如圖1所示），表示問題的數量關系.

根據線段圖可以得出，小明將桃子平均分成了4堆，每堆6個桃子，可列式求出桃子總數.解答過程為：6×4=24（個），小明一共摘了24個桃子.

2.復式并列圖

復式并列圖指的是用兩條或兩條以上的線段表示幾個并列量之間關系的線段圖，常被用于解決小學數學中復雜的應用問題.其應用基本步驟是：根據問題主干信息確定標準量，再根據解題需求畫出比較量，最后在線段圖中標注所求問題，分析求解.以人教版六年級數學上冊“分數乘法”涉及的應用題求解為例：

3.變式線段圖

變式線段圖是在單線分段圖、復式并列圖基礎之上變形得到的線段圖，多被用于解決形式、內容復雜的實際問題，如工程問題、相遇問題等.它的畫法靈活多變，需要根據問題的實際情況進行繪制.以人教版三年級數學上冊“多位數乘一位數”涉及的相遇問題求解為例：

例3 卡車從A地駛向B地，轎車從B地駛向A地.二車在中途第一次相遇，相遇地距A地60千米.之后二車繼續行駛.當二車到達終點（A，B兩地）后立即返回，二車在中途第二次相遇，相遇地距B地30千米，那么A，B兩地距離是多少？

解析 如圖3所示，先畫出卡車、轎車第一次相遇點.用虛線表示轎車行駛的路程，實線表示卡車行駛的路程.之后再畫出二車第二次相遇點，并標注第二次相遇點距B地30千米的有效信息.

觀察圖示，兩輛車初次相遇時，卡車行駛了60千米；兩輛車二次相遇時，兩車共行駛了三個全程，則卡車共行駛了60×3=180（千米）.由圖可知，卡車共行駛了一個全程還多30千米，所以180-30所得的差即為A，B兩地的距離.具體解答過程為：60×3-30=150（千米），A，B兩地相距150千米.

（二）格子圖在小學數學解題中的應用技巧

格子圖指的是借助方格等圖形語言清晰展現問題中數量關系的一類圖示，通常由方格、數字符號、文字信息三部分內容構成.格子圖具有直觀、簡潔的特征，可用于表示復雜問題中的數量關系，達到化簡難題的目的.應用格子圖，應先確定單位“1”，之后依據題意繪制方格，用數字進行標注.以人教版五年級數學上冊“小數除法”中的復雜問題求解為例：

例4 甲、乙、丙三人準備了相同的錢購買氣球.乙手中的氣球比甲手中的氣球多6個，丙與乙手中的氣球數量相同，同時兩人各付給甲1.2元.那么，氣球的單價是多少？

解析 通常情況下，物品單價=總價÷數量.但這一問題并未直接給出氣球總數、購物總價，難以用常規思路求解.可考慮題目給出的已知信息，由“甲、乙、丙三人準備了相同的錢購買氣球”可知，三人最初購買氣球的個數相同，由“丙與乙手中的氣球數量相同”可知，乙、丙比甲各多拿6個氣球.由此進行逆向推理，如果乙、丙兩人各分給甲2個氣球，則甲、乙、丙三人的氣球數量相同，如圖4所示.

根據圖示回顧題目信息，乙、丙兩人各付給甲1.2元，反面證明了兩個氣球的總價為1.2元，由此可求出氣球單價.具體解題過程為：1.2÷（6-6×2÷3）=1.2÷（6-4）=1.2÷2=0.6（元），每個氣球的售價為0.6元.

（三）集合圖在小學數學解題中的應用技巧

集合圖指的是利用封閉曲線表示集合的圖.小學數學教科書（人教版）雖未給出過多說明，但其經常出現于統計問題、重疊問題等問題的解決過程中.應用此類圖示解決問題時，可在審題過程中對已知信息進行分類，并應用集合圖將分類結果展現出來，獲取問題結果.以人教版三年級數學上冊“倍的認識”涉及的重疊問題解題為例：

例5 現有一張長為24厘米，寬為16厘米的長方形，將其分割成邊長是整數厘米的正方形，可以怎樣分割？正方形的邊長可以是多少厘米？

解析 將長為24厘米，寬為16厘米的長方形分割為正方形，那么正方形的邊長一定同時滿足“是24的因數”與“是16的因數”兩個條件.借助集合圖（如圖5所示），將可能的答案列舉出來：

觀察圖示，發現同時滿足兩項條件的數有1，2，4，8四個數，得到問題的答案：分割出的正方形邊長可能是1，2，4，8厘米.

（四）面積圖在小學數學解題中的應用技巧

面積圖一般以長方形面積圖、正方形面積圖的形式出現，用于表示問題中整體、部分量的關系.

面積圖用于乘、除法運算解題時，用于表示算式中的倍數關系、和差關系等.應用面積圖解答計算題時，需要另辟蹊徑，先明確算式內容確定單位“1”，繪制面積為具體數的圖形，再結合計算需要繪制面積為不同數的圖形，并對面積圖進行疊加或分割處理，得到計算結果.以人教版五年級數學下冊“分數的加法和減法”中涉及的計算解題為例：

結 語

畫圖法以數形結合思想為核心，利用線段圖、格子圖、集合圖、面積圖等圖示梳理數學問題的數量與邏輯關系，實現對復雜問題的簡化.教師應當認識到畫圖法的應用價值，同時根據相遇問題、植樹問題等不同類型數學問題的特征、解題要求指導學生選擇恰當的圖示分析、解決問題，促使學生在分析、討論、探究的過程中總結畫圖法的應用技巧，形成快速解決數學問題的關鍵能力.

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