探究初中數(shù)學幾何綜合試題的多種解法與教學啟示

閆百合

【摘要】隨著新課程改革的不斷深入，初中數(shù)學教學越來越注重對學生能力的培養(yǎng).在初中數(shù)學教學中，幾何綜合試題是重要的考查內容.因為幾何綜合試題可以考查學生對各種概念、性質、法則等內容的掌握情況，所以教師在進行幾何綜合試題的解答時需要根據(jù)學生實際情況進行分析，然后采取相應的措施，引導學生掌握解答幾何綜合試題所需要用到的解題方法.解答初中數(shù)學幾何綜合試題不僅需要學生掌握多種解題方法，還需要學生能靈活運用這些不同的解法.在實際教學中教師要引導學生掌握解答幾何綜合試題所需要用到的基本解題思路和方法，從而提高學生解答幾何綜合試題的能力.

【關鍵詞】初中數(shù)學；綜合試題；解題技巧

1 問題與分析

根據(jù)圖1，我們可以看出，在平面直角坐標系里，A（-1，0）和B（0，2）是已知的.△ABO通過沿著直線AB折疊，我們可以得到△ABC.假設反比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象需要經(jīng)過點C，那么k=（? ）

此問題涵蓋了反比例函數(shù)在平面直角坐標系中的應用，并且還涉及幾何領域的軸對稱性.這是一個關于函數(shù)和幾何兩個獨立的學科的經(jīng)典綜合問答.解題的基本思路相當明確，也就是要從“數(shù)與形”的角度出發(fā)，首先要找到C點的坐標，然后把它用到反比例函數(shù)的分析公式中，然后得到待定系數(shù)的數(shù)值，這里面包含了一些重要的數(shù)學思想方法，比如等價轉換、方程（組）.

2 多解與點評

解析1

在點N處，CN⊥y軸，設C的坐標為（-a，b），我們可以看出：當A（-1，0），B（0，2）的情況下，OA=1，OB=2.由此，我們能夠計算出AM=a-1，BN=2-b，并且對這些圖形進行了折疊.得到AC=OA=1，BC=OB=2，在Rt△ACM中，可以得出CM2+AM2=AC2，對此便可以知道b2+（a－1）2=1，也就是a2+b2－2a=0，①

在Rt△BCN中，BN2+CN2=BC2，由此可得出，（2－b）2+a2=22，也就是a2+b2－4b=0，②

通過對①-②得出2a=4b，也就是a=2b，將其代入上述公式①中，便可以解出正確答案，即b=45或者0（0舍棄），所以得出a=85，由此便可以得知點C的坐標為（－85，45）.又因為反比例函數(shù)為y=kx，并且過點C，所以k=－3225.

點評

其中，代數(shù)方法是主要的，幾何方法是輔助的，而對于平面幾何中的翻折變換和它的性質，卻很少使用，主要是通過勾股定理，獲得反比例函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象的對稱性，得出正確的答案.將問題轉化為解方程組：a2+b2－2a=0a2+b2－4b=0.

雖然上述的方程是二元二次方程，并且它利用了等式的特性和“整體代入”的理念，能夠較好地解決問題，但是從方程組的知識角度來看，它已經(jīng)超出了7～9年級“課標”的教學標準.因此，用“超標”來解決一道填空題，實際上是不太劃算的.

解析2

在Rt△AMC中，主要由CM2+AM2=AC2，因此（2－2a）2+a2=1，從而便可以從中得到以下相關的有效解答方法：

在Rt△AMC中，主要由CM2+AM2=AC2，因此可以得到（2－2a）2+a2=1，也就是5a2－8a+3=0，進而求得a=35和a =1（不符合題意，對此應當舍棄），對此應當知道b=45，所以便可以知道點C的坐標為（－85，45），結合相關公式便可以知道k的值.

點評

以上的方法都是以幾何方法為主，代數(shù)方法為輔.這些方法利用了翻折圖的特點，利用類似三角形的判斷與性質，得到 BN=2 AM，CN=2 CM，然后利用勾股定理以及線與線之間的等價關系，分別建立一元二次和二元一次方程，然后通過求解 AM和CM的長度，就可以輕松地得到點C的坐標，并且比以前的方法更加簡便.另外，我們還可以看到，充分挖掘題目中幾何圖形的特性，更多地利用幾何思想去理解直線與直線之間的聯(lián)系，并將其與代數(shù)方法相結合，可以極大地減少求解過程中的計算量.由此可見，充分發(fā)掘圖形自身的幾何關系，對于此類代數(shù)幾何綜合問題的求解具有極大的方便作用，突出了綜合考查學生對知識的靈活應用的解題意義.

3 對復習課教學的啟示

3.1 精選例題練習試題，突出數(shù)學本質

為了減輕初三數(shù)學復習課的教學負擔，教師要精選例題練習試題，突出數(shù)學本質.幾何綜合試題在中考試卷中占有較大比重，同時也是學生普遍感到難度較大的試題，所以，教師在平時教學中就應該引導學生善于從不同角度分析幾何綜合試題的特點，研究其中的重點、難點.比如在學習完圓的概念和性質后，可以讓學生通過圓與直線、圓與圓、圓與方程之間的關系等知識之間的相互聯(lián)系進行分析和討論.這樣既能使學生掌握數(shù)學思想方法，又能加深學生對所學知識的理解.

3.2 強化數(shù)形結合思想訓練

在初中數(shù)學教學中，數(shù)形結合思想是數(shù)學教學中一種重要的思維方法和手段.它主要是將數(shù)學問題中包含的圖形、符號、文字等因素轉化為幾何圖形或幾何符號來進行分析和解決.比如在解決函數(shù)與幾何綜合試題時可以將函數(shù)問題中涉及的圖形或符號轉化成幾何圖形來進行分析和解決.也就是說，在解決幾何綜合試題時可以利用數(shù)形結合思想對幾何問題進行分析和解決.

4 結語

幾何綜合試題的解題方法多種多樣，在教學過程中，教師要讓學生充分地思考、探究，從而激發(fā)他們學習的興趣，讓他們在學習的過程中獲得成就感和滿足感.此外，教師要引導學生養(yǎng)成良好的學習習慣，培養(yǎng)學生良好的學習品質，提升學生的數(shù)學素養(yǎng).在幾何綜合試題的教學過程中，教師要引導學生充分地思考、探究，從而培養(yǎng)他們的數(shù)學思維能力和邏輯推理能力.教師要培養(yǎng)學生良好的數(shù)學學習品質和數(shù)學素養(yǎng)，幫助學生形成數(shù)學學科思想方法，為他們后續(xù)的學習奠定良好基礎.

參考文獻：

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