初中數學解題中消元法的應用

杜雪芬

【摘要】在初中數學題目中，一般可分為“已知”和“未知”兩類信息，當處理一些特殊試題時應設出未知量，列出相應的代數關系式，然后通過恰當的變形減少未知量的數量，最終實現解決試題的目的.“未知量”就是“元”，減少未知量的方法即為消元法.本文主要對初中數學解題中如何應用消元法進行分析和研究，并分享部分代表性解題案例.

【關鍵詞】初中數學；解題技巧；消元法

消元法作為一種十分常用的數學思想，屬于數學解題中的常規方法之一.學生最先接觸消元法時是在學習二元一次方程組這一知識時，當方程組中出現有兩個未知量時，就要想方設法將“二元”消去“一元”，轉變成一元一次方程，這就是消元法的思維來源.在初中數學解題教學中，教師應當指引學生巧妙應用消元法來解題，提高學生的解題水平及效率.

1 同量表示，約簡消元

在初中數學解題訓練中，當題目中的等量關系數量比“元”的數量少時，通常難以直接把所有未知量都求出來，此時教師應提示學生考慮是否有必要將所有未知量全部求出來，可選擇一個適當的未知量視為常數，而其他未知量則使用該“常數”表示，讓學生順利解答試題［1］.

例1 已知x－y－3z=0，2x+y－3z=0，請求出x+yy－3z的值.

分析

在這道題目中有三個未知量，但是已知等式只有兩個，顯然無法把所有未知量的值都求出來，所以可選擇一個適當的未知量當作常數來對待，利用該未知量來表示其他兩個未知量，由此把“三元”消成“一元”.

詳解

因為x－y－3z=0，

2x+y－3z=0，

將兩個等式整理變形后可以得到x－y=3z，

2x+y=3z，

把兩者相加能夠得到3x=6z，

即為x=2z，

則y=－z，

故x+yy－3z=2z+（－z）－z－3z=z－4z=－14，

所以x+yy－3z的值是－14.

2 多設少求，逐步消元

在某些初中數學試題中，各個量之間都有著一定的依賴關系，利用一個量就能夠求出其他所有量，不過解題時又無需將全部量都求出來，這時可應用多設少求、逐步消元的解題方法［2］.

例2 一家商店正在銷售甲、乙兩種商品，成本都是14元，售價分別為20元與18元，已知這兩種商品某天的銷售額是1120元，總利潤是280元.

（1）這天甲、乙兩種商品分別賣出多少個？

（2）該商店為提升利潤，計劃將甲商品的售價降低，乙商品的售價升高，在銷售過程中發現，甲商品每降價0.5元能夠多賣出1份，乙商品每提價0.5元則少賣出1份，假如它們每天的銷售總量是固定不變的，則最大總利潤為多少錢？

分析

在（1）問中可以輕松求出甲、乙兩種商品的具體銷售量，在第（2）問中涉及的未知量較多，包括甲商品的降價和銷售量，乙商品的提價和銷售量，這4個未知量最多只存在三種關系，因為售價出現變化，兩種商品的銷售數量與利潤隨著發生變化，總利潤也在變化，故可設兩個未知量，采用消元法把“二元”轉變成“一元”.

詳解

（1）設這天甲、乙兩種商品分別賣出x，y個，

根據題意可得20x+18y=1120x+y=280，

解之得x=20y=40，

所以這天甲、乙兩種商品分別賣出20個與40個.

（2）設甲商品降價a元，乙商品提價b元，總利潤是W元，則甲商品的銷售量是20+2a，乙商品的銷售量是40－2b，

根據（1）可知甲、乙兩種商品一天共銷售20+40=60個，

則20+2a+40－2b=60，

由此得到a=b，

所以W=（20－a－14）（20+2a）+（18+a－14）（40－2a），

化簡整理以后可得W=－4（a－3）2+316，

因為－4<0，

所以當a=3時，W最大為316元，

所以說甲、乙兩種商品一天的最大總利潤為316元.

3 設而不求，整體代入

設而不求、整體代入，其實就是用一些未知數表示題目中的現象，且將部分未知量之間的關系視為一個整體，通過代數變換的方式將未知量消去，達到消元的目的，問題也就迎刃而解，從而獲得目標量的定值［3］.

例3 在圖1中，有一個正方形ABCD，邊長是1，被兩條同邊平行的線段EF，GH分割為4個小矩形，其中EF，GH相交于點P，△GBF的周長是1，那么矩形EPHD的面積是多大？

分析

在本題中要求的是矩形EPHD的面積，需考慮到該矩形兩個鄰邊的長度，由于G，F兩點是運動的，故DE，DF的長度也在發生變化，這表明它們的長度難以求出來，所以可設出BF，GB的長度，用未知數對矩形的面積進行表示，然后結合代數表示的方式通過整體代入消去未知量，最終順利求得結果.

詳解

設BF=x，GB=y，

則FC=1－x，AG=1－y，

因為△GBF的周長是1，

則BF+FG+GF=1，

即為x+y+x2+y2=1，

整理以后能夠得到xy－x－y=－12，

則S矩形EPHD=PH×EP=FC×AG=（1－x）（1－y）=xy－x－y+1=－12+1=12，

所以矩形EPHD的面積是12.

4 結語

總的來說，在初中數學解題教學活動中，要想更好地應用消元法，教師在平時教學中不僅需大力滲透消元法這一數學思想，還要幫助學生樹立較強的消元意識，把消元法當作一種常規方法根植于大腦，使學生學會識別運用消元法的條件，就是當未知量較多時才應用，并讓學生能夠把消元法同其他解題方法結合起來綜合使用，最終高效率地解答初中數學試題.

參考文獻：

［1］宋廷亮.例談消元法在初中數學解題中的應用［J］.數學之友，2023，37（07）：77-78+82.

［2］許小玲.例談初中數學解題中的“消元”策略［J］.好家長，2020（26）：25-27.

［3］方逵香.例談消元法在初中數學解題中的應用［J］.新課程（下），2018（07）：85.