中小學數學線上教學內容資源教學匹配優化研究

薛煥斌 張磊 楊曉鵬 肖剛

2021年初，教育部等五部委聯合印發的《關于大力加強中小學線上教育教學資源建設與應用的意見》，回應了疫情防控常態化背景下社會對線上教育教學改革發展的關切，通過多部門協同工作為中小學線上教學內容資源建設與應用提供支持與服務，擴大優質教學內容資源的有效供給，是支撐我國“十四五”期間構建高質量基礎教育體系、推動教育現代化進程的重要舉措。本文以“中小學數學線上教學內容資源”為研究對象，從師生滿意度的視角，數據構建面向師生的資源需求體系結構，實證檢驗影響教師對資源使用滿意度的關鍵因素，并通過實證性結論為中小學數學線上教學內容資源教學匹配優化提供指導性的對策建議。

1 中小學數學線上教學內容資源潛在需求類別分析

基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》與《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》價值導向、教學實踐理論價值取向、中小學數學線上教學實踐取向等角度將面向師生的中小學數學線上教學內容資源潛在需求可分為基礎講課教學設計、實踐探究、概念演示動畫、數學方法技能、數學史、數學教學微課、數學素質拓展資源、雙師課程資源等8個維度類別。

2 中小學數學線上教學內容資源需求體系建構

基于中小學數學線上教學內容資源潛在需求類別分析，設計實現各類別中小學數學線上教學內容資源用于試點實踐，并在實踐平臺的實踐周期中讓中小學數學教師充分體驗各類別線上教學內容資源。繼而基于KANO模型問卷調研分析得到：針對必備型線上教學內容資源，中小學數學教師認為常見的電子教材、教參、電子ppt課件等應是必備的內容資源，如果具備了，中小學數學教師使用滿意度也不會顯著提升，但如果缺乏此類內容資源，中小學數學教師的使用不滿意度會顯著提升；針對期望型線上教學內容資源，中小學數學教師明顯期望能夠具備的線上內容資源是微課教學視頻、實踐操作演示視頻、拓展類多媒體內容資源等；針對魅力型線上教學內容資源，中小學數學教師認為超出預期具有明顯魅力屬性的內容資源主要為STEAM課程教學PPT、備課拓展閱讀知識、教學案例視頻等；針對無差異型線上教學內容資源，根據KANO模型理論，按照絕對值之和的數值大小排序為數學考試卷題庫、同步教學概念講解微課、隨堂練習題、隨堂電子教輔、教學設計方案、課后同步教學的概念學習微課、數學名師或數學家遠程直播課等。其數值越小，無差異性就越強，即有或沒有對中小學數學教師的使用滿意度影響越小。

3 中小學數學線上教學內容資源教師滿意度影響因素分析

由基于ACSI和TAM模型的中小學數學線上教學內容資源教師使用滿意度理論模型可知，影響中小學數學教師使用滿意度的直接影響因素有使用者預期、感知價值、感知質量，間接影響因素有感知有用性、感知易用性。

基于ACSI模型研究顯示，感知質量是直接影響中小學數學教師使用滿意度的關鍵影響因素，其次是感知價值和使用者預期，因此，在中小學數學線上教學內容資源推廣應用過程中，要注重中小學數學教師對線上教學內容資源的質量和價值感知，以促進中小學數學教師對線上教學內容資源在教學過程中的滿意度。

基于TAM模型研究顯示，感知有用性、感知易用性對中小學數學教師的感知質量有顯著正影響；感知有用性對中小學數學預期的正影響假設不顯著，因此，在中小學數學線上教學內容資源推廣應用過程中要注重對中小學數學線上教學內容資源的內容體系、創新性和教學使用中的價值進行引導和普及，從而提升中小學數學教師對線上教學內容的價值的理解和認同，增強中小學數學教師對線上教學內容資源的有用性感知。

4 中小學數學線上教學內容資源推廣應用案例

綜上可知，在進行中小學數學線上教學內容資源的開發過程中，中小學數學教師要合理組織教學資源內容，強化內容資源與課程知識重難點緊密結合，并注重豐富線上教學內容資源的表現形式和涉及的知識點，確保中小學數學線上教學內容資源的內容組織與中小學數學課堂教學有著良好的同步性，從而提升中小學數學教師對中小學數學線上教學內容資源的有用性感知，進而提升中小學數學教師使用滿意度。下面通過一中小學數學線上教學內容資源推廣應用案例“等比數列的前n項和公式”加以詳細說明。

4.1 課程標準分析

“等比數列的前n項和公式”節選自人教A版（2019版）高中數學必修第二冊，屬于選擇性必修課程主題一中“函數”領域的知識。在《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中，對這一節內容的學習目標要求為：①通過生活中的實例，理解等比數列的概念和通項公式的意義；②探索并掌握等比數列的前n項和公式，理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系；③能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題；④體會等比數列與指數函數的關系，也即是通過本節課的學習，在知識方面，學生能夠探索并掌握等比數列的前n項和公式，厘清等比數列的通項公式與前n項和公式之間的關系；在技能方面，學生能在具體的問題情境中，識別出等比數列，并運用前n項和公式解決相應的問題。

4.2 學情分析

在本節內容之前，學生已學習過“等差數列的前n項和公式”“等比數列的定義及通項公式”等內容，知道了求解數列問題的解題思路和切入點，了解了等比數列的構成和各項之間的關系，而且本階段的學生已經具備了一定的探究能力和較為完善的推理能力，這都為本節課的學習奠定了基礎。

4.3 教學目標分析

知識與技能目標：掌握等比數列的前n項和公式以及推導方法，會用等比數列前n項和公式解決有關等比數列的一些簡單問題。過程與方法目標：經歷等比數列前n項和的推導過程，總結等比數列求和方法，體會數學中的思想方法。情感態度與價值觀目標：在學習過程中，激發學生學習數學積極性以及學習數學的主動性。

4.4 教學重難點分析

教學重點：等比數列前n項和公式以及對公式的理解與運用。教學難點：等比數列前n項和公式的推導。

4.5 教學理念分析

本節課基于“過程—生成”教學理念進行教學設計，以提高學生的知識、技能、方法、情感為基本目標，以再造知識生成過程為基本策略，讓學生親身經歷等比數列的前n項和公式的推導過程。另外，本節課設計了“問題提出→問題解決→問題拓展→基本練習→課堂小結”五大基本模塊，以等比數列的通項公式等知識為基礎，提出一系列具有啟發性的問題，引導學生觀察、類比，從特殊到一般推導出等比數列的前n項和公式，讓學生理解“q=1”這一特殊的情況，并能將公式運用于實際問題情境中，從而讓學生了解本節課所學知識的來龍去脈，使學生的思維得到充分的發展，從而學會學習。

4.6 “課程思政”融入分析

高中數學課程思政是將思想政治教育元素寓于數學課堂教學之中，通過有機融合、潤物無聲的方式，達到既教書又育人的目的。“課程思政”是為了讓高中數學與思政教育共融，讓學生學到數學知識的同時，也能接受習近平新時代中國特色社會主義思想的熏陶，從而達到思想政治教育的目的。

在“等比數列的前n項和公式”這一節的教學中，通過計算麥粒的數量，可向學生滲透節約糧食、體會中國勞動人民不易的思想，讓學生對“誰知盤中餐，粒粒皆辛苦”這句話有更深刻的體會。此外，在對q=1和q≠1進行分類時，可用辯證唯物主義觀作為銜接點，進而培養學生全面分析問題的能力。

4.7 教學過程設計

（1）問題提出

問題：出示課本中“國際象棋”情景。你認為國王應該給發明者多少粒麥粒呢？國王有能力滿足發明者的要求嗎？

（2）問題解決

教師：國王覺得這位發明者的要求實在是太低了，你認為他的要求高嗎？

學生：（疑惑）感覺不高。

【設計意圖】詢問的目的是為了留下懸念，激發學生的興趣。

教師：根據上面的故事，你能算出發明者所得的麥粒數嗎？

學生：1+2+22+…+262+263。

【設計意圖】從故事中抽象出具體的數學問題：計算1+22+23+…+262+263。

教師：如果把各格所放的麥粒數1，2，22，23，…，263看成一個數列，這是一個怎樣的數列？

學生：是一個首項為1，公比為2的等比數列。

教師：如果記“1+2+22+…+262+263”為S64，即S64=1+2+22+…+262+263 …①，我們要怎么計算S64？

【設計意圖】要求出S64的值，很自然的方法是將它們一項項相加，可以先讓學生嘗試相加，而后學生會發現加到后面的數字太大了，運算非常煩瑣，教師進而提出有沒有簡潔的方法可以計算出S64的值。

學生：根據前面所學的等差數列前n項和公式推導過程的啟發，我嘗試將這個等比數列倒序相加，但發現1+263≠2+262。

【設計意圖】前面學習了等差數列前n項和的推導方法——倒序相加法，學生很容易聯想到將其遷移運用，但嘗試后卻發現：1+263≠2+262，嘗試多項也不成立，所以倒序相加法在這里不能用了，需要尋找新的方法。

教師：在等差數列的求和中，我們曾把兩個Sn相加，在這里，如果我們將兩個S64相加會怎么樣呢？

學生：

S64+S64=（1+2+22+…+262+263）+（1+2+22+…+262+263），但

是由于1+263≠2+262，所以我們無法將其倒序相加，我們只能將相同的項相加，得到2S64=（1+1）+（2+2）+（22+22）+…+（262+262）+（263+263）=2+22+23+…+263+264，即得到2S64=2+22+23+…+263+264 …②。

教師：我們得到的這個②式還能化簡嗎？

學生：目前不能化簡。

教師：為求出S64，比較一下①、②兩式，看看有什么發現？

【設計意圖】給學生充分的時間比較兩式，等比數列的前n項和公式教學中關鍵是變“加”為“減”，學生理解時會有一些困難，因此需要足夠的時間探究。

學生：經比較發現，①式和②式中存在很多相同的項，如果我們用①式的兩邊分別減去②式的兩邊，就可以消去這些相同的項了。

即S64-S64=（1+2+22+…+262+263）-（2+22+

23+…+263+264）

-S64 = 1-264

S64 = 264-1

教師：264-1這個數很大，超過了1.84×1019，如果一千顆麥粒的質量約為40g，那么以上這些麥粒的總質量就超過了7000億噸，而2021年全球小麥產量約為776.4百萬噸，放到現在國王都無法兌現他的諾言，更何況古代一個印度的麥子了。而這就跟同學們一開始認為“國王的要求不高”相違背了，說明我們解決問題不能夠憑借直覺，應當通過嚴格的推理、運算去解決。麥子數量看起來多，但是農民種出來是非常不容易的，我們平時在生活中應當珍惜糧食，杜絕浪費糧食的行為，理解勞動人民的不易。

【設計意圖】此處將“課程思政”融入課堂教學中，給學生傳遞珍惜糧食的思想，讓學生學習新知識的同時，思想素養也能得到提升。

（3）問題拓展

教師：從這個例子，你能推出一個公比為q，首項為a1的等比數列{an}的前n項和的求和公式嗎？即將Sn=a1+a1q+ a1q2+…+a1qn-1 …③ 表示為簡潔的形式？

學生根據前面的例子類比，2S64前面的2正好是這個等比數列的公比，而且數列1，2，22，23，…，263中的每一項（除263這一項外）都乘2，恰好能得到數列1，2，22，23，…，

263中相應的后一項。所以，學生很容易可以想到將③式的兩邊同時乘q，得：

qSn= +a1q+a1q2+a1q3 …+a1qn-1+a1q…④

③-④ =（1-q）Sn=a1-a1qn

教師：在這里1-q可以直接除過去嗎？

學生：需分情況討論：

①當1-q≠0即q≠1時，Sn=；

②當q=1時，它的每一項都是a1，等比數列{an}為常數數列，Sn=na1。

教師：這說明我們應當用辯證的眼光看待問題，對數學問題要進行全面的分析，有時候不能夠忽略對問題的分類討論。在這個問題中，通過Sn構造出qSn再作差的方法，稱為錯位相減法，在后續的數列學習中，我們會經常用到，要注意對這種方法的理解和掌握。

【設計意圖】此處對q=1和q≠1的情況分類討論時，能教會學生用辯證的眼光看待數學問題，目的是將“課程思政”融入數學課堂教學。

（4）基本練習（略）

（5）課堂小結（略）

4.8 教學反思

（1）基于課程標準的教學反思

在前面的學習中，學生已經掌握了等差數列的前n項和公式、等比數列的通項公式，為本節課的學習打下了基礎。本節的教學設計中，首先，創設“國王在象棋放麥粒”的故事情境，引發學生思考如何計算麥粒數，讓學生在這一情境中發現數列的等比關系。然后，針對情景抽象出數學問題，給學生充分的時間去探索，再從特殊到一般推導出等比數列的前n項和公式，滿足“探索并掌握等比數列的前n項和公式”這一學習目標。除此之外，還設計了一些練習檢驗學生對公式的掌握情況，能夠很好地達到“理解等比數列的通項公式與前n項和公式的關系”這一學習目標，也為后續研究范圍更廣的數列奠定了基礎。

（2）基于教學重難點的教學反思

在本節課的教學過程中，將故事情境抽象出具體的數學問題：計算1+22+23+…+262+263，讓學生觀察每一項的特點，而不是一上來就直接告訴學生將式子的兩邊同時乘以2，應當注重教學的關鍵是如何變“加”為“減”，這一過程對學生而言是不可思議的，也與前面所學的推導等差數列的前n項和公式有所不同，但也可以尋找關聯，因此教學應著力在此做文章。然后，再從特殊到一般推出一個公比為q，首項為a1的等比數列{an}的前n項和的求和公式，讓學生易于接受，并強調q的范圍，從中滲透類比、分類討論等思想方法。最后，再對推導過程中使用的“錯位相減法”進行總結，讓學生注意對這一方法的理解和掌握。整個探究的過程中，讓學生有充分獨立思考的空間，相比直接給出公式而言，重視推導的過程，也培養了學生的合作探究精神，符合本節課所設計的教學重難點，使學生的數學思維能力得到充分發展。

（3）基于師生關系的教學反思

在“等比數列的前n項和公式”這一節的教學中，教師主要充當引導者的角色，利用引導性的話語引發學生學會思考，回答教師所提出的問題，讓學生充分理解如何將式子變“加”為“減”，并從特殊到一般推導出等比數列的前n項和公式，由淺入深，層層遞進，符合學生的認知發展特點，重視學生的主體地位，能夠幫助學生更好地理解等比數列的前n項和公式的由來，從而提升課堂教學的效果。

（4）基于教學效果的教學反思

在本節課中，著重分析等比數列前n項和公式的推導過程，聯系了之前所學習的等差數列求和公式的推導過程，結合了學生已學的知識，能讓學生理解為什么可以把式子變“加”為“減”，也讓學生能夠更直觀地感受到等比數列求和公式的知識生成過程，使得新知識更易被學生所接受。同時，整節課重視學生的主體地位，讓學生親身經歷去探索公式的推導過程，強調合作解決，盡可能讓每一名學生都能積極地思考，參與到課堂之中。

除此之外，本節課還設計了三道有針對性的練習，讓學生靈活運用等比數列的通項公式及前n項和公式，培養學生的數學運算能力。在課程的最后能夠及時總結，幫助學生回顧所學，而在作業布置方面，重視課本的課后練習，能讓學生鞏固所學同時有所提升。由此看來，本節課的課堂結構完整，可在一定程度上提高數學課堂教學的質量，能達到良好的教學效果。

（5）基于課程思政的教學反思

在本節課的學習中，為了讓學生學到數學知識的同時，其思想境界也能得到一定的提升，在計算出麥粒數后，啟發學生學會珍惜糧食，讓學生能夠感受到數學與我們的現實生活是息息相關的，也能讓學生領會到農民之不易。除此之外，在對等比數列的前n項和公式進行推導時，對q=1和q≠1的情況進行分類，能夠體現辯證唯物主義的思想，讓學生學會用辯證的眼光去看待數學問題。這兩部分的內容都體現了“課程思政”融入高中數學教學課堂，踐行了數學課堂立德樹人的目標，能夠幫助學生形成正確的價值觀。

5 中小學數學線上教學內容資源教學匹配優化建議

上述案例表明，在中小學數學線上教學內容資源應用過程中，中小學數學課堂教學實踐中的重難點的匹配度與有用性以及使用者的滿意度呈現高度正相關，這就要求在開發時需強化中小學數學線上教學內容資源對中小學數學課堂教學重難點的匹配度。中小學數學教師應仔細研究《義務教育數學課程標準（2022年版）》與《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》以及相應的教材，在中小學數學線上教學內容資源重難點與在線技術表現形式方面均應與對應的知識點具有高度的匹配度，才能更好地輔助、促進和提升中小學數學線上教學的效果，獲得中小學數學教師更高的滿意度。從開發實踐的角度看，資深中小學數學教師往往對教學重難點的理解更深刻，在中小學數學線上教學內容資源開發時如果在內容設計、技術開發與課堂實踐這三個關鍵環節都引入資深中小學數學教師的參與評審機制，將會顯著提升開發中小學數學線上教學內容資源的匹配度。

本文系廣東省社科規劃2022年度常規項目“基于滿意度測評模型的中小學數學線上教學內容資源需求體系研究”（GD22CJY24）、2022年度廣東省重點建設學科科研能力提升項目“基于使用滿意度評價的中小學數學線上教學資源需求模型研究”（2022ZDJS062）、廣東省教育科學規劃課題“基于大數據的高師數學‘過程→生成型線上教學資源需求模型研究”（2021GXJK183）、“高師數學線上教學資源需求體系建構及使用滿意度影響因素研究”（2022GXJK260）與“基于教學測評模型的高師數學‘過程→生成教學圖景研究”（2022GXJK264）研究成果。

（作者單位：韓山師范學院數學與統計學院）