關于“垂線段最短”解最值的專題教學探究

徐強

[ 摘 要 ]圍繞“垂線段最短”可以構建解題模型，解決線段最值問題.教學中教師應立足知識定義，開展模型探索，再結(jié)合實例強化應用.研究者結(jié)合教學實踐，開展“垂線段最短”解最值微專題設計，并提出相應的教學建議.

[ 關鍵詞 ]垂線段；最短；定義；模型；最值

“垂線段最短”是初中數(shù)學的核心內(nèi)容，在數(shù)學解題中有著廣泛的應用，可求解相關最值問題.“垂線段最短”解最值的方法較為特殊，是基于教材定義的思路構建，因此教學中教師需要精設教學環(huán)節(jié)，引導學生明晰定義，掌握構建思路，結(jié)合實例強化.下面結(jié)合教學實踐，進行具體探究環(huán)節(jié)設計.

教學環(huán)節(jié)設計探究

“垂線段最短”是初中數(shù)學的基礎知識，教學中需要完成“定義講解”到“解題構建”的過渡，整個過程筆者建議結(jié)合具體圖形，直觀呈現(xiàn)解析方法、構建策略，結(jié)合具體問題來逐步強化.教學設計可分為四個環(huán)節(jié)：定義講解、模型構建、初步應用、拓展強化.

1.教學環(huán)節(jié)（一）——教材釋義，定義講解

垂線段最短：在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短.

教學預設：教學中教師首先給出上述定義，讓學生重溫定義，再結(jié)合具體圖形引導學生直觀理解.如圖1所示，分析點A到直線l上的線段，其中點B，C是直線l上的一般點，而點M為垂線段點，顯然AB> AC>AM，由此學生可以直觀地理解垂線段最短的定義.

教學建議：該環(huán)節(jié)的核心內(nèi)容是讓學生直觀理解定義，因此教師設計該環(huán)節(jié)時不僅需要給出具體文字定義，還需要結(jié)合圖形來明確定義內(nèi)容，同時關注如下兩點：一是關注線段的直觀比對；二是關注垂線段的定義，即定點到垂足的距離.

2.教學環(huán)節(jié)（二）——模型構建，策略生成

“垂線段最短”可應用于線段最值問題中，尤其適用于涉及兩條線段的最值中，教學中需要教師結(jié)合具體情形來構建解析模型.

教學預設：如圖2所示，在△ABC中，M，N分別是DE，BC上的動點，連接AM，MN，求AM + MN的最小值.

利用“垂線段最短”來分析思考，顯然作出點A到BC的垂線段，則可以確定線段和的最小值.具體作圖過程如下：

過點A作BC的垂線，垂足為Q，與DE相交于點P，當M，N分別與P，Q重合時，AM + MN有最小值，即為AQ的長度.如圖2所示，顯然圖中AM + MN ≤ AQ，其中AQ即為點A到BC邊的垂線段.

教學建議：在利用“垂線段最短”模型解最值教學中，教師不僅要引導學生關注模型的構建過程，還要讓學生掌握兩點核心內(nèi)容，一是模型的本質(zhì)，即過定點作定直線的垂線段；二是明晰模型適用的問題需要具備兩大特征：①含有一個定點；②動點的運動軌跡為直線.

3.教學環(huán)節(jié)（三）——模型應用，強化練習

上述完成了“垂線段最短”定義的講解和模型構建，該環(huán)節(jié)需要引導學生進行應用練習，問題選取不宜過難，與上述模型問題結(jié)構類似為宜.

問題1 如圖3所示，在△ABC中，AC = BC = 10，∠ACB = 4∠A，BD平分∠ABC交AC于點D，點E，F(xiàn)分別是線段BD，BC上的動點，則CE+EF的最小值是 .

教學預設：本題為關于兩線段和的最小值，探究教學中需要教師引導學生從問題特征入手，定位方法，再結(jié)合模型進行思路構建.

題目設定C為定點，而點E，F(xiàn)分別是線段BD，BC上的動點，動點的軌跡均為直線，顯然可以利用“垂線段最短”模型來求解.

求解CE+EF的最小值，可先進行對稱轉(zhuǎn)化，再結(jié)合定義確定最值：過點C作關于BD的對稱點G，過G點作GF⊥BC交BC于點F，交BD于點E，如圖4所示.根據(jù)對稱可知EG=EC，從而可將問題轉(zhuǎn)化為EG+ EF的最小值.

教學建議：對于模型的應用教學，教師要重視兩點，一是學生剛掌握了模型方法，問題選取時要緊密聯(lián)系模型；二是教學引導要緊扣模型應用，從問題入手，定位解法，再結(jié)合模型分析推理，過程引導十分重要.

4.教學環(huán)節(jié)（四）——拓展強化，綜合應用

定義模型在綜合性問題中也有廣泛的應用，教學探究中還需要進一步拓展強化，以拓寬學生的解題視野.問題選取適當變式，可結(jié)合幾何運動，變換其中的動點軌跡條件來變式探索.

教學預設：本問題是關于直線DF的最小值探究，問題較為特殊，“讀題”階段需要教師引導學生關注兩點，一是問題的特點，涉及線段旋轉(zhuǎn)，讓學生結(jié)合旋轉(zhuǎn)特性推理條件；二是E為動點，其運動軌跡不確定，需要教師引導學生先分析軌跡，再確定方法思路.

動點軌跡探究：△ABC為等邊三角形，E為其對稱軸上的一個動點，顯然可推得∠CAE = 30°，BD = 43，∠CBF = 30°，從而可確定點F的運動軌跡為直線BF.

教學建議：對于變式綜合性問題的探究教學，需要注意過程引導，且對于每一個過程均需要慎重解讀，圍繞解題過程來分環(huán)節(jié)設計.以上述教學為例，分為旋轉(zhuǎn)推理、進一步解讀、軌跡探究、最值求解四個階段，每一個階段均需要教師進行細致的推理引導.

專題設計教學思考

上述圍繞“垂線段最短”定義開展模型解題應用構建，整個過程從“基本的知識定義”出發(fā)，構建“解題模型”，再深入“解題拓展”，整個微專題設計方案具有極高的參考價值，現(xiàn)提出以下幾點教學建議.

建議1 立足教材基礎，整合構建模型.

“垂線段最短”是教材的基礎知識，立足該內(nèi)容開展探索構建，有助于學生“學以致用”，能提升學生對知識的理解.方法構建中需要對知識進行整合，探索構建模型，形成解題策略.因此教學中筆者建議教師引導學生深度解讀教材的基礎知識，探索解題方法.

建議2 環(huán)節(jié)關聯(lián)設計，問題設問引導.

在“解題方法”專題探究過程中，教師要精設教學環(huán)節(jié)，各環(huán)節(jié)之間緊密關聯(lián)，按照知識的生成規(guī)律來編排，要引導學生從基礎知識入手，生成解題方法，再強化應用，提升學生思維.問題探索建議采用設問引導的方式，啟發(fā)學生思考.