本原性問題驅(qū)動(dòng)下的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)研究

徐敏

[ 摘 要 ]本原性問題驅(qū)動(dòng)下的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)是一種新穎的教學(xué)形式.文章從“本原性問題可驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)”與“變式教學(xué)提高教學(xué)成效”兩個(gè)方面談本研究的緣起，同時(shí)以“絕對(duì)值的幾何意義”教學(xué)為例，具體從課標(biāo)要求、教育價(jià)值、學(xué)情分析與教學(xué)意義四方面展開教學(xué)分析，并根據(jù)本原性問題驅(qū)動(dòng)變式教學(xué)的具體措施提出幾點(diǎn)思考.

[ 關(guān)鍵詞 ]本原性問題；變式；絕對(duì)值

本原性問題驅(qū)動(dòng)下的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué)是指通過對(duì)知識(shí)非本質(zhì)特征的改變，如問題條件或結(jié)論的改變，問題內(nèi)容或形式的改變等，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從這些“變”中探尋出一些“不變”的本質(zhì)，再從這些不變的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的教學(xué)模式.這種教學(xué)模式能有效挖掘?qū)W生的潛能，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，為核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展奠定基礎(chǔ).

研究的緣起

（一）本原性問題可驅(qū)動(dòng)學(xué)習(xí)

問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)法（簡(jiǎn)稱PBL）強(qiáng)調(diào)將問題作為教學(xué)的起點(diǎn).隨著時(shí)代的發(fā)展，這種教學(xué)方法逐漸被引入課堂教學(xué).數(shù)學(xué)學(xué)科體系是建立在概念、定理、證明推導(dǎo)等之上的演繹系統(tǒng)，教師不僅要用問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探究意識(shí)與行為，還要從數(shù)學(xué)本原出發(fā)，從哲學(xué)層面把握知識(shí)的形成與發(fā)展，并通過以舊帶新的問題引導(dǎo)學(xué)生從宏觀到微觀的角度進(jìn)行探究，也就是利用本原性問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí).

“本原”屬于本體論術(shù)語，代表構(gòu)成一切事物最初的根源.從哲學(xué)的角度來看，本原是一種刨根問底的精神，將理解現(xiàn)實(shí)世界的“構(gòu)成要素”或“始基”作為研究的第一個(gè)問題；從學(xué)科教學(xué)的視角來看，本原問題就是促進(jìn)學(xué)生理解知識(shí)本質(zhì)的初始問題，即讓學(xué)生思考哪些問題反映了教學(xué)主題最樸素、原始、本質(zhì)的觀念、思想方法等.借助本原性問題驅(qū)動(dòng)教學(xué)是激發(fā)學(xué)習(xí)原動(dòng)力的基礎(chǔ).

課前，教師可通過學(xué)情分析與教情分析，提出一些樸素、原始、模糊、本質(zhì)、思想、主題性的問題，讓學(xué)生通過對(duì)問題的分析明確知識(shí)本質(zhì)，并借助各種資源獲取新知，提出解決問題的方法，這是發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的基礎(chǔ).這種教學(xué)方法具備如下特點(diǎn)：將本原性問題作為教學(xué)的起點(diǎn)，帶領(lǐng)學(xué)生從宏觀或微觀的角度分析數(shù)學(xué)問題，讓本原性問題促成教學(xué)目的的達(dá)成.

（二）變式教學(xué)提高教學(xué)成效

自顧泠阮教授的青浦實(shí)驗(yàn)開始，變式教學(xué)逐漸在教育界活躍起來，它將發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)作為教學(xué)目標(biāo).變式教學(xué)可促進(jìn)學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)本質(zhì)，主要通過概念、問題類型等有規(guī)律的變化來實(shí)現(xiàn).

一般情況下，可通過對(duì)概念外延的改變（維度變式）來增進(jìn)學(xué)生對(duì)概念的理解，如以非標(biāo)準(zhǔn)形式來凸顯概念的本質(zhì)，或通過反例來強(qiáng)化學(xué)生對(duì)概念的理解程度等；也可借助操作活動(dòng)增強(qiáng)學(xué)生對(duì)概念由來的認(rèn)識(shí)，讓學(xué)生對(duì)概念的層次關(guān)系形成明確認(rèn)識(shí)（即層次變式），再通過程序化的模型設(shè)計(jì)構(gòu)建概念，讓學(xué)生在一題多解或一解多題中形成解題經(jīng)驗(yàn).

變式的本質(zhì)是某種范式的變化形式，主要通過對(duì)情境、思維角度等的改變，在確保事物本質(zhì)特征不發(fā)生變化的情況下，通過遷移事物非本質(zhì)屬性設(shè)計(jì)問題.事實(shí)證明，變式屬于一種行之有效的教學(xué)方式，也屬于數(shù)學(xué)思想方法的一類.課堂上，教師借助變式揭露知識(shí)的形成與發(fā)展過程，對(duì)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展具有重要意義.

下面，筆者以“絕對(duì)值的幾何意義”為例，研究本原性問題驅(qū)動(dòng)下的初中數(shù)學(xué)變式教學(xué).

本原性問題驅(qū)動(dòng)下的變式教學(xué)措施

（一）教學(xué)分析

1.課標(biāo)要求

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)“絕對(duì)值”章節(jié)提出的要求為：通過數(shù)軸理解絕對(duì)值的意義并掌握其求解方法，明確||a的幾何意義.新課標(biāo)對(duì)“絕對(duì)值”章節(jié)提出了較高要求，但絕對(duì)值的幾何意義對(duì)初中生而言過于抽象，這就對(duì)教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提出了更高的要求.教師需在了解學(xué)情與教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)便于學(xué)生分析與思考的問題，以幫助學(xué)生更好地理解知識(shí)本質(zhì).

2.教育價(jià)值

新課標(biāo)認(rèn)為數(shù)學(xué)思想隱藏在知識(shí)的形成、發(fā)展與應(yīng)用中，數(shù)學(xué)思想凌駕于知識(shí)之上，屬于更高層次的概括與抽象，常見的數(shù)學(xué)思想有分類、抽象、歸納、模型、數(shù)形結(jié)合與演繹思想等.教師不論是在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)還是實(shí)施教學(xué)時(shí)，都應(yīng)將滲透數(shù)學(xué)思想方法的理念根植于每個(gè)環(huán)節(jié)，想方設(shè)法幫助學(xué)生提煉數(shù)學(xué)思想方法，為促進(jìn)學(xué)生形成終身可持續(xù)發(fā)展的能力而奠定基礎(chǔ).

本原性問題驅(qū)動(dòng)下的變式教學(xué)能有效揭露知識(shí)本質(zhì)，幫助學(xué)生更好地理解與應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法.本節(jié)課的教學(xué)，從內(nèi)容本身“絕對(duì)值的幾何意義”來看比較抽象，需利用數(shù)軸來輔助教學(xué)，那么分析與解決問題的過程自然而然離不開數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用.對(duì)初中生而言，借助數(shù)軸解決實(shí)際問題屬于一種新的解決問題的方法，因此教師除了要關(guān)注學(xué)生對(duì)絕對(duì)值幾何意義顯性內(nèi)容的掌握程度外，還要關(guān)注學(xué)生對(duì)絕對(duì)值幾何意義隱性知識(shí)的掌握情況.

3.學(xué)情分析

“絕對(duì)值的幾何意義”是基于學(xué)生掌握絕對(duì)值的定義、性質(zhì)、整式加減與一元一次方程的解法后，結(jié)合學(xué)情與教情，筆者自主開發(fā)的一節(jié)課，意在鞏固學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，培養(yǎng)學(xué)生的“四基”與“四能”，讓學(xué)生從這節(jié)課中掌握數(shù)形結(jié)合與分類討論思想等.

學(xué)生在初始接觸絕對(duì)值相關(guān)內(nèi)容時(shí)，雖然課堂上也進(jìn)行了數(shù)學(xué)思想方法的滲透，但學(xué)生受自身原有認(rèn)知水平與生活經(jīng)驗(yàn)的限制，難以從真正意義上體會(huì)與理解相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法.在后面遇到整式的加減與一元一次方程的內(nèi)容時(shí)，將這些內(nèi)容與絕對(duì)值的應(yīng)用有機(jī)融合在一起，便形成了良好的訓(xùn)練素材，學(xué)生能從中逐步體會(huì)到分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值與意義.將這些數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用到解決實(shí)際問題中，一方面豐富了學(xué)生的認(rèn)知，起到了智育的作用；另一方面提升了學(xué)生的解題能力，為形成良好的解題技巧奠定了基礎(chǔ).

4.教學(xué)意義

剛剛步入初中的學(xué)生認(rèn)知水平有限，還沒有形成用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的意識(shí)，想讓他們借助數(shù)軸來解決與絕對(duì)值相關(guān)的問題會(huì)讓他們有點(diǎn)無從下手.借助本原性問題來驅(qū)動(dòng)學(xué)生的探索意識(shí)，利用變式教學(xué)來靈活學(xué)生的思維，可進(jìn)一步聚焦學(xué)生思維的方向.尤其是梯度明顯的問題設(shè)計(jì)，可讓學(xué)生的思維隨著情境的變化而活躍，并基于已有知識(shí)結(jié)構(gòu)通過自主探索與合作交流來發(fā)現(xiàn)問題.數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，可進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)絕對(duì)值幾何意義的理解，能為后續(xù)靈活應(yīng)用夯實(shí)基礎(chǔ).

（二）教學(xué)簡(jiǎn)錄

驅(qū)動(dòng)問題1 絕對(duì)值的概念是什么？請(qǐng)舉例說明.

要解決這個(gè)問題，需借助數(shù)軸來分析.筆者要求學(xué)生以合作學(xué)習(xí)的方式來交流結(jié)論.大部分學(xué)生都選擇了從特殊點(diǎn)之間的距離來理解任意點(diǎn)的距離問題，此過程將絕對(duì)值的幾何意義暴露了出來.

變式1 分別說說下列式子的幾何意義：①|(zhì)|5；②||3 + 5；③||2-5；

設(shè)計(jì)意圖 描述|| x的幾何意義屬于一個(gè)本原性問題，意在讓學(xué)生理解絕對(duì)值的幾何意義，體驗(yàn)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.而后兩個(gè)變式的提出，意在促進(jìn)學(xué)生對(duì)絕對(duì)值的幾何意義產(chǎn)生更深層次的認(rèn)識(shí)，這為發(fā)展學(xué)生的符號(hào)意識(shí)奠定了基礎(chǔ)，也讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到整體思想的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

設(shè)計(jì)意圖 以探討滿足|| x =5的x值為本原性問題，讓學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)除了應(yīng)用自己所熟悉的分類討論思想來解決這類問題外，還能從絕對(duì)值的幾何意義出發(fā)進(jìn)行解題.隨著變式的拓展，學(xué)生的思維從等式轉(zhuǎn)化到不等式問題，問題情境的改變，讓學(xué)生不由自主地就從數(shù)軸的角度來分析問題.類比代數(shù)法中的分類討論與幾何法中的數(shù)軸應(yīng)用，學(xué)生體驗(yàn)到借助絕對(duì)值的幾何意義來解題具有很大的優(yōu)勢(shì).

有解，則該方程必須滿足什么條件？

設(shè)計(jì)意圖 此環(huán)節(jié)主要是圍繞本原性問題“絕對(duì)值的幾何意義”而展開的，從含有一個(gè)絕對(duì)值的方程與不等式開始，演變到含有兩個(gè)絕對(duì)值的方程與不等式.問題驅(qū)動(dòng)與數(shù)形結(jié)合思想的有機(jī)融合，讓原本復(fù)雜的問題變得簡(jiǎn)單、具體，學(xué)生從具體的“數(shù)”出發(fā)，通過直觀的“形”的輔助，順利解決了問題，進(jìn)一步深化了學(xué)生對(duì)絕對(duì)值幾何意義的認(rèn)識(shí).

（三）教學(xué)思考

1.凸顯學(xué)生的主體性

新課標(biāo)一再強(qiáng)調(diào)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體.同樣，本原性問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)也應(yīng)將學(xué)生放在主體地位，任何問題或變式的提出，都要處于學(xué)生最近發(fā)展區(qū).因此，教師應(yīng)在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施過程中充分了解學(xué)情，只有掌握學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，才能提出恰如其分的問題，達(dá)到教學(xué)效益的最大化.

本節(jié)課中，教師所設(shè)計(jì)的每一個(gè)問題都基于學(xué)生已有認(rèn)知，問題與變式遵循“低起點(diǎn)、密臺(tái)階、高思維”的原則，這不僅遵循了學(xué)生認(rèn)知發(fā)展循序漸進(jìn)的原則，還符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律，體現(xiàn)了“以生為本”的設(shè)計(jì)理念.

2.關(guān)注認(rèn)知建構(gòu)過程

建構(gòu)主義理論提出：學(xué)習(xí)的本質(zhì)就是認(rèn)知建構(gòu)的過程，當(dāng)新知成為個(gè)體知識(shí)結(jié)構(gòu)中的組成部分時(shí)，才算完成了意義建構(gòu).本節(jié)課以絕對(duì)值的概念作為教學(xué)的起點(diǎn)，一方面喚醒學(xué)生的認(rèn)知，另一方面為新知的建構(gòu)做鋪墊.隨之，圍繞“絕對(duì)值的幾何意義”這個(gè)本原性問題展開教學(xué)，通過對(duì)問題情境的變化，使得學(xué)生的思維經(jīng)歷了拾級(jí)而上的發(fā)展過程.學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過程中領(lǐng)略到了各種數(shù)學(xué)思想方法的魅力，獲得了較好的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3.提煉數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法的提煉與應(yīng)用是本原性問題驅(qū)動(dòng)變式教學(xué)的價(jià)值所在.本節(jié)課的每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都離不開數(shù)學(xué)思想方法的支撐，如數(shù)軸的應(yīng)用涉及數(shù)形結(jié)合思想；驅(qū)動(dòng)問題2的探索涉及整體思想與分類討論思想；驅(qū)動(dòng)問題3涉及從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想等.隨著各種數(shù)學(xué)思想方法的形成與應(yīng)用，學(xué)生的整體學(xué)力得到有效提升.

總之，新課標(biāo)背景下的數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)學(xué)情、教學(xué)任務(wù)與環(huán)境等設(shè)計(jì)切實(shí)可行的教學(xué)方案，讓學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，積極參與本原性問題的探索，并在變式的拓展與應(yīng)用中提煉數(shù)學(xué)思想方法，形成良好的數(shù)學(xué)理解能力與創(chuàng)新意識(shí)，為提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定基礎(chǔ).