關于動態幾何問題解題策略的探究

馬云飛

[ 摘 要 ]瓜豆原理在解析動態幾何線段、軌跡、路徑問題中十分常用，教學探究中需要引導學生總結方法技巧，探究軌跡模型，并結合實例探索構建思路.文章通過解讀瓜豆原理，對其常見的兩種類型進行應用探究.

[ 關鍵詞 ]瓜豆原理；模型；軌跡；直線；圓弧

動態幾何問題是初中數學重點和難點問題之一，該類問題往往以幾何運動為背景進行綜合構建.對于其中涉及主動點和從動點的情形，可以結合瓜豆原理模型，利用軌跡思想，明確主、從動點之間的關系，由軌跡入手逐步破解.下面深入探究瓜豆原理模型，探究解題思路.

方法技巧探究

探究瓜豆原理破解幾何動態問題，需要關注以下三大重點：一是原理解讀，二是滿足條件，三是思路構建.下面分步探究，具體分析.

1.原理解讀

瓜豆原理適用于主、從動點幾何最值問題，內容核心為含有一個主動點和一個從動點，受到特定條件的約束，從動點跟隨主動點運動，且兩者的軌跡相同.古語：種瓜得瓜，種豆得豆，故而得名.因此該模型原理中有“種”圓得圓，“種”線得線.本質上瓜豆原理是關于幾何旋轉、相似的解析構造.

2.滿足條件

瓜豆原理適用于幾何動點問題，使用時需要滿足三大條件：一是問題中含有兩動一定；二是動點與定點之間的連線的夾角為定角；三是動點與定點的距離之比為一定值.

3.思路構建

使用瓜豆原理進行解題構建時，需分為五步，需要完成動點軌跡確認、解題模型構建及求解.構建思路如下：

第一步，確定主動點的軌跡；

第二步，探尋主動點與從動點之間的關系；

第三步，確定主動點軌跡的起點、終點；

第四步，結合相似知識，確定從動點的軌跡；

第五步，根據動點的軌跡來構建模型，求解點、線、圓背景中的路徑長或線段長.

軌跡模型探究

瓜豆原理的軌跡模型常見的有兩種，一種是運動軌跡為圓弧，另一種是運動軌跡為線段.探究解析時需要深入解讀模型，掌握其解析思路，總結相應的結論，為后續的應用探究打下基礎，下面開展模型探究.

模型1：軌跡為圓弧模型

引例：如圖1（a），P為圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP的中點.

思考①：當點P在圓O上運動時，點Q的軌跡是什么樣子的？

思考②：分析點Q的軌跡，它與圓O之間有何關系？

總結：在上述軌跡為圓模型中，確定點Q的軌跡，實則就是確定其圓心和半徑，需要從以下三大視角審視模型.

①共線分析：在模型中始終存在三點共線，即點A，Q，P始終共線，由此可得點A，M，O共線.

③縮放分析：從幾何縮放視角分析，可將點Q的軌跡視為點P的軌跡的比例縮放.

基于上述軌跡為圓模型分析，在實際解析時需要關注兩大關系：一是根據動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系；二是根據動點之間的數量關系分析軌跡為圓時半徑之間的數量關系.

模型2：軌跡為線段模型

引例：如圖2（a）所示，△APQ為等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ.

思考：當點P在直線BC上運動時，點Q的軌跡是怎樣的？

分析：當AP與AQ的夾角固定，并且兩者的比值為定值時，點P和Q的軌跡為同一幾何圖形.分析點Q的軌跡，可以任取兩個時刻的位置，連接即可.如提取其中的特殊位置，起始點和終止點位置，再連接即可確定點Q的軌跡線段，如圖2（b）所示.

總結：對于上述軌跡為線段模型，需要滿足對應的必要條件，有兩種情形，一是主動點、從動點與定點連線的夾角為定量，即∠PAQ是定值；二是主動點、從動點到定點的距離之比是定量，即AP∶AQ是定值.

模型示例探究

上述探索了瓜豆原理，解讀模型、總結方法思路，并對其中的兩種模型進行深入探究，形成了相應的解析策略.下面結合實例具體探究，進一步總結方法策略.

1.瓜豆原理之直線軌跡問題

例1 在如圖3所示的平面直角坐標系xOy中，已知點A（0，4），P是x軸上的一個動點.現把線段PA繞著點P順時針旋轉60°，得到線段PF，連接OF，則線段OF長的最小值是 .

思路分析：本題目為動態幾何求線段最值問題，以線段PA旋轉為背景進行綜合構建.分析可知其中點A為主動點，點F為從動點，兩點之間由幾何條件進行串聯.問題解析時，可以結合瓜豆原理，先確認動點軌跡，再構建最值模型.

過程解析：由條件可知，線段PA繞點P順時針旋轉60°后得到線段PF，根據旋轉特性可知∠APF= 60°，PF=PA，可推知△APF是等邊三角形，則有AP=AF.需要討論點F的位置，分兩種情形：情形1，點F在x軸上；情形2，點F在y軸上.下面分別構建模型，討論分析.

評析：上述求解線段的最小值時借用了瓜豆原理，分析其中的主動點與從動點的關系，根據主動點的軌跡確定從動點的軌跡為直線，屬于瓜豆原理中的直線軌跡類型.探究解析時需要關注兩點：一是分析確定主動點軌跡的起始點和終止點；二是把握主動點與從動點的幾何關系.

2.瓜豆原理之圓弧軌跡問題

例2 如圖5所示，A為坐標系第一象限內的定點，P是以O為圓心，2個單位長度為半徑的圓上的一個動點，連接AP，以AP為邊向AP右側作等邊三角形APB.當點P在⊙O上運動一周時，點B運動的路徑長是 .

思路分析：本題目為與圓相關的動態幾何求路徑問題，題目設定了點P的軌跡，探求點B的運動路徑長.需要把握其中的核心條件，即點B是以AP為邊所作的等邊三角形的一個頂點.分析可知問題滿足幾何中的瓜豆原理，點P為主動點，點B為從動點，即可確定點B的軌跡，后續再根據移動軌跡求路徑.

過程解析：連接AO，OP，將AO繞點A逆時針旋轉60°，得線段AO′，連接O′B，OO′，如圖6所示.

評析：上述求解動態幾何中的路徑長，使用了瓜豆原理，分析其中主動點與從動點的關系，確定動點的軌跡，進而完成路徑求解.對于瓜豆原理中的圓弧軌跡問題，需要注意兩點：一是分析其中的幾何特性，構建主動點與從動點之間的聯系；二是關注動點的運動軌跡，包括圓弧的圓心和半徑長.

解題教學建議

上述對動態幾何中的瓜豆原理進行深入探究，總結了方法技巧，解讀了模型特性，并結合實例對兩種軌跡類型進行探究，下面提出幾點建議.

1.深入知識本質，總結方法技巧

瓜豆原理模型是破解動態幾何問題常用的方法策略，探究解析時需要注意深入知識本質，同時全面解析突破的方法技巧.教學探究時，可從以下三個方面進行：一是具體解讀模型的原理，挖掘知識本質；二是對其適用條件進行剖析，分析條件之間的關聯；三是構建解題應用的思路，形成分步策略.

2.總結模型類型，實例探索構建

動態幾何問題在初中數學中十分常見，利用瓜豆原理模型探究突破時要注意類型解讀，并結合實例分類構建.教學中教師需對常用模型進行深入分類解析，即軌跡為直線型和軌跡為圓弧型，并精選問題引導學生體驗構建過程.教學時需要注意以下三點：一是對類型進行引例分析，總結解析思路；二是實例探究注意思路引導，引導學生逐步思考；三是注意解后評析，讓學生思考解題過程，總結方法思路，積累解題經驗.

3.滲透思想方法，提升綜合素養

在動態幾何問題的探究解析中，教師需要注意合理滲透數學思想方法，通過思想方法教學來提升學生的綜合素養.教學時可從以下兩個方面進行：一是滲透模型思想，構建瓜豆原理的解析模型，引導學生關注模型構建的過程；二是滲透數形結合思想.動態幾何問題解析時需要利用數形結合的方法技巧，教學時要引導學生掌握具體的方法，由“數”照“形”，以“形”釋“數”.