“做數(shù)學(xué)”，數(shù)學(xué)理解向深處漫溯

【摘 要】教師要為學(xué)生創(chuàng)造參與“做數(shù)學(xué)”的機(jī)會，構(gòu)建“做數(shù)學(xué)”的平臺，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的過程中探索新知，親歷知識的形成與發(fā)展過程，從而獲得深刻的數(shù)學(xué)理解，逐步提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師要創(chuàng)設(shè)真實情境，賦予“做數(shù)學(xué)”溫度，引領(lǐng)思維方向；注重整體設(shè)計，拓寬“做數(shù)學(xué)”寬度，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗；適時組織展示，提升“做數(shù)學(xué)”高度，呈現(xiàn)思維軌跡；開展多元評價，拓展“做數(shù)學(xué)”廣度，發(fā)揮“做數(shù)學(xué)”學(xué)科育人的價值。

【關(guān)鍵詞】“做數(shù)學(xué)” 思維 數(shù)學(xué)素養(yǎng) 學(xué)科育人

“做數(shù)學(xué)”是一種動手與動腦相結(jié)合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，是教師引導(dǎo)學(xué)生在特定的問題（任務(wù)）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，通過操作體驗（重在感知理解）、數(shù)學(xué)實驗（重在發(fā)現(xiàn)推理）、綜合實踐活動（重在問題解決），獲得數(shù)學(xué)概念、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的一種學(xué)習(xí)方式。科學(xué)有效的操作體驗、數(shù)學(xué)實驗和綜合實踐活動，不僅能幫助學(xué)生探索生活中一些常見現(xiàn)象和數(shù)學(xué)現(xiàn)象中的規(guī)律，還是發(fā)展學(xué)生的空間觀念及推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐能力和實事求是的科學(xué)態(tài)度的重要途徑。

很多教師對“做數(shù)學(xué)”的重要性有一定的認(rèn)識，但是，在日常教學(xué)中，部分教師在“做數(shù)學(xué)”的理念、技術(shù)、方法上還不能有效跟進(jìn)。有些教師認(rèn)為開展數(shù)學(xué)實驗費時較多，影響教學(xué)進(jìn)度，直接用教師演示或播放課件代替學(xué)生實驗，導(dǎo)致學(xué)生不能親身體驗知識的生長過程；一些教師強(qiáng)勢牽引，導(dǎo)致學(xué)生缺少充分觀察、猜想、動手操作、分析歸納的機(jī)會；一些課堂實驗設(shè)計本身存在一些問題，或數(shù)據(jù)失實，或刻意回避測量過程中的不精確數(shù)據(jù)，導(dǎo)致學(xué)生缺少嚴(yán)謹(jǐn)細(xì)致的作風(fēng)、缺乏科學(xué)實驗的態(tài)度等。不難看出，教師雖然對小學(xué)數(shù)學(xué)“做數(shù)學(xué)”的重要性有所認(rèn)識，但對開展小學(xué)數(shù)學(xué)“做數(shù)學(xué)”缺乏信心、動力，更缺少策略支持。如何更好地在課堂上實施“做數(shù)學(xué)”，更有效地指導(dǎo)學(xué)生開展“做數(shù)學(xué)”……這些都是教師目前的困惑與現(xiàn)狀。本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勗谛W(xué)數(shù)學(xué)課堂中如何有效地開展“做數(shù)學(xué)”。

一、創(chuàng)設(shè)真實情境，賦予“做數(shù)學(xué)”溫度

“做數(shù)學(xué)”與情境認(rèn)知有著密不可分的聯(lián)系，數(shù)學(xué)的一切抽象都要建立在各種各樣的具體現(xiàn)象之上，而具體現(xiàn)象便寓于鮮活的生活情境之中。新課標(biāo)指出，注重發(fā)揮情境設(shè)計與問題提出對學(xué)生主動參與教學(xué)活動的促進(jìn)作用，使學(xué)生在活動中逐步發(fā)展核心素養(yǎng)。事實表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)愿望大都是在一定的情境中產(chǎn)生的，而只有在真實的問題情境中，教學(xué)才具有強(qiáng)烈的吸引力。因此，在教學(xué)中，教師要把學(xué)生置于真實的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生圍繞真實的問題展開思維，了解知識產(chǎn)生的根源；明確知識之間的聯(lián)系，把握知識的生長趨勢，發(fā)現(xiàn)解決問題的策略。

如在蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“三角形的認(rèn)識”的教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)為，有三個點、三個角、三條邊的圖形就是三角形。而教材中三角形的概念：三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。在這節(jié)課的設(shè)計中，筆者以現(xiàn)實問題為背景創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)計三個層次的操作活動，層層深入，引導(dǎo)學(xué)生不斷思考：“三角形的形狀和大小究竟和什么有關(guān)？”活動一：紙上任意三個點連線，都能連成三角形嗎？學(xué)生通過“動手畫”，自主探索，得出：三個點（不在同一條直線上）位置確定了，三角形的形狀和大小就確定了。活動二：兩個三角形，如果對應(yīng)的三個角度數(shù)相同，這兩個三角形一定完全相同嗎？學(xué)生通過“動手比”得出：三角形的三個角確定了，它的形狀雖然相同，但大小不能確定。活動三：兩個三角形，如果對應(yīng)的三條邊長度相同，這兩個三角形一定完全相同嗎？學(xué)生借助三根小棒“動手圍”，交流得出：三角形的三條邊確定了，三角形的形狀和大小就確定了。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生再次對比抽象，得出三角形的概念：三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。教師追問：“三條邊在哪？三個頂點在哪？”學(xué)生在真實的問題情境中，通過不斷嘗試、操作、歸納，引發(fā)對三角形定義判斷依據(jù)的反思，建立三角形的空間表象。數(shù)學(xué)概念是抽象的，但許多抽象概念來源于現(xiàn)實的生活實踐，是從現(xiàn)實中概括出來的。

在“做數(shù)學(xué)”的過程中，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在特定的問題（任務(wù)）情境中，以“做”為支架，讓學(xué)生能夠切身體會到“做數(shù)學(xué)”的價值和必要性。這就需要教師創(chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)那榫常瑸閷W(xué)生提供學(xué)習(xí)的先行組織者。情境的創(chuàng)設(shè)是“做數(shù)學(xué)”的重要環(huán)節(jié)，它可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識。情境的合適與否，取決于學(xué)生的已有經(jīng)驗和他們在其中可以施展的活躍程度。因此，教師在創(chuàng)設(shè)情境時，需要充分考慮學(xué)生的實際情況，創(chuàng)設(shè)出符合學(xué)生認(rèn)知水平和興趣的情境，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和學(xué)習(xí)效果。

二、注重整體設(shè)計，拓寬“做數(shù)學(xué)”寬度

操作體驗、數(shù)學(xué)實驗、綜合實踐活動作為“做數(shù)學(xué)”的主要樣態(tài)，在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂“做數(shù)學(xué)”教學(xué)中顯得尤其常見。在設(shè)計操作體驗、數(shù)學(xué)實驗、綜合實踐活動的內(nèi)容時，教師要建立“做數(shù)學(xué)”教學(xué)的整體觀，對活動內(nèi)容的架構(gòu)和序列做到心中有數(shù)。為了更好地指導(dǎo)學(xué)生，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)科的結(jié)構(gòu)和學(xué)生的認(rèn)知水平，綜合運用“散點化”“淺顯化”的操作、理解，并且通過合理的“做數(shù)學(xué)”的目標(biāo)和活動，讓學(xué)生不僅可以獲取實踐經(jīng)驗、知識和技能，還可以更深入地理解知識的本質(zhì)，從而促進(jìn)主動發(fā)展。

以蘇教版數(shù)學(xué)三年級下冊“面積的認(rèn)識”教學(xué)為例，在實際課堂教學(xué)中，教師安排了幾個層次的操作體驗。第一層次：進(jìn)行“自我感知”，組織學(xué)生摸摸數(shù)學(xué)書的封面。學(xué)生不僅摸了數(shù)學(xué)書的封面，還摸了底面、側(cè)面等其他的面，其目的就是感知面與體的關(guān)系。第二層次：進(jìn)行“彼此交流”，讓學(xué)生以數(shù)學(xué)書封面的大小為標(biāo)準(zhǔn)，相互說一說、找一找生活中比數(shù)學(xué)書封面小一點的面、大一點的面，指導(dǎo)學(xué)生用規(guī)范的語言來表達(dá)直觀的感知，完成知識的逐步抽象，明確面是有大有小的。第三層次：達(dá)成“群體共識”，通過數(shù)學(xué)書封面這個載體，引導(dǎo)學(xué)生說一說，實現(xiàn)從物體表面的大小到平面圖形的大小的過渡，讓學(xué)生在操作體驗中切實感受到長方形的大小就是長方形的面積，再通過剝離其他物體的表面，實現(xiàn)從線到面的轉(zhuǎn)換，得到不同的平面圖形。教師追問：“平面圖形有面積嗎？”通過類比，學(xué)生逐漸構(gòu)建出面積的概念：物體表面的大小或者封閉的平面圖形的大小就是它的面積。這樣的整體設(shè)計，目的明確，層次清晰。學(xué)生始終在思考、在探究、在操作、在體驗，在行動中感悟數(shù)學(xué)問題的研究過程和方法，體驗思維脈搏，積累鮮活的思考經(jīng)驗。

再如，五年級下冊學(xué)習(xí)了“圓”這一單元后，教師安排了一節(jié)綜合實踐課“車輪為什么是圓的”。學(xué)生準(zhǔn)備的實驗工具主要有小棒，刻度尺，硬紙板，剪刀，圓形、三角形、方形等形狀實物。學(xué)生圍繞提出的一些問題，如“車輪只能是圓的嗎？能不能是其他形狀”“方輪車能順利前行嗎”“車輪的軸心一定要安裝在圓心嗎？能不能安裝在其他位置”進(jìn)行小組討論，確定研究的方案和路徑。教師引導(dǎo)學(xué)生明確第一個實驗主題：“車輪只能是圓的嗎？能不能是其他形狀？”具體實驗步驟：（1）準(zhǔn)備三角形、正方形、圓形三種不同形狀的輪子；（2）將這幾種輪子在桌面上滾一滾，觀察滾動的情況；（3）記錄滾動的過程；（4）對這幾種情況進(jìn)行比較分析。接著，教師引導(dǎo)學(xué)生思考“車輪能順利滾動，不僅和形狀有關(guān)，還和軸的位置有關(guān)？”，明確第二個實驗主題：“車輪的軸心在哪里合適？”學(xué)生通過實驗發(fā)現(xiàn)：當(dāng)車軸位于圓心時，它能夠自如運動；而當(dāng)車軸不在圓心時，雖然也能滾動，但軸心會不斷上下移動，因此，當(dāng)車軸安裝在圓心上時，可以確保車軸與路面之間的距離保持一致，從而使車輪能夠平穩(wěn)地行駛。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)不僅是研究“車輪為什么是圓的”，還要以“點”帶“面”，引導(dǎo)學(xué)生靈活運用已掌握的數(shù)學(xué)模型來表達(dá)生活中的類似現(xiàn)象，不斷提升學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光分析現(xiàn)實世界的能力。

從認(rèn)識論的角度看，親身經(jīng)歷的事情能有效地促進(jìn)感性認(rèn)識與理性認(rèn)識的相互轉(zhuǎn)化，使感性認(rèn)識與理性認(rèn)識形成良性循環(huán)。通過親身實踐，學(xué)生不再是一個被動的觀察者或聽眾，而是主動參與其中。這使他們更加渴望探索實驗的結(jié)果、過程和方法。教師應(yīng)以學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，積極探索“做數(shù)學(xué)”的教學(xué)內(nèi)容，并將其融入課堂之中，讓學(xué)習(xí)的內(nèi)容更加貼近實際，讓數(shù)學(xué)的知識更加貼近生活。教師要有整體性、結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)眼光，幫助學(xué)生制訂合理的操作方案，給足學(xué)生探索的空間，使學(xué)生能夠突破固有認(rèn)知，形成新見解，提出新問題。通過實踐，學(xué)生可以更加深刻地理解數(shù)學(xué)的實質(zhì)內(nèi)涵，并且能夠更加深入地體驗數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程和方法，從而獲取豐富的經(jīng)驗。

三、 適時組織展示，提升“做數(shù)學(xué)”高度

“做數(shù)學(xué)”旨在幫助學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，以有效的方式建立知識，讓他們能夠通過獨立思考、行動來達(dá)成學(xué)習(xí)目標(biāo)。教師可以為學(xué)生提供明確的目標(biāo)，并且鼓勵他們自主規(guī)劃學(xué)習(xí)路線，制訂有效的學(xué)習(xí)計劃。“做數(shù)學(xué)”是一段充滿活力的研究之旅，旨在幫助師生共同進(jìn)步。在“做數(shù)學(xué)”中，學(xué)生以自主的方式探索，通過思考和實踐，不斷提升自身的能力，從而達(dá)到學(xué)習(xí)目標(biāo)。由于每個學(xué)生的認(rèn)知水平和個性特點都不同，他們在研究過程中的成果也會有所差異。為了幫助學(xué)生更好地完成這個過程，教師需要創(chuàng)設(shè)一個平等、輕松的交流氛圍，讓學(xué)生大膽分享自己的想法和成果。同時，教師還要適時組織展示活動，努力呈現(xiàn)學(xué)生的思維軌跡，并幫助他們逐步構(gòu)建和完善自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

以“面積的認(rèn)識”這節(jié)課中“怎樣比面積的大小”這一教學(xué)環(huán)節(jié)為例，教師在組織教學(xué)時，設(shè)計了一個又一個矛盾，從一開始的通過直接觀察比較大小，到無法觀察比較，想到重疊法，直至使用重疊法無法比較大小引出剪拼法，最后使用數(shù)格法，層層深入，不斷激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在這個教學(xué)環(huán)節(jié)，操作實驗“應(yīng)運而生”。重疊法和剪拼法既是教學(xué)的重點，也是難點。教師通過改編、重組教材上的題材，給學(xué)生重新提供了三個圖形進(jìn)行兩次面積的大小比較，而這兩次比較就蘊含了幾種不同的比較方法。每一次比較后，教師著重交流展示學(xué)生的所思所得，實現(xiàn)了知識的遷移，使學(xué)生體會到面積的本質(zhì)是測量的結(jié)果，從而進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生的度量意識。

再如，蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊“三角形的三邊關(guān)系”這節(jié)課，教師首先提供了教材上規(guī)定長度（8cm、5cm、4cm、2cm）的四種小棒。學(xué)生在動手實踐后，發(fā)現(xiàn)用三根小棒去圍三角形，有的能圍成，有的卻不能圍成。教師引發(fā)學(xué)生從不能圍的情況著手思考：“你們發(fā)現(xiàn)不能圍成三角形的三條線段長度有著怎樣的關(guān)系？”學(xué)生基于直觀感受認(rèn)為，兩條短線段的長度和小于第三條線段，進(jìn)而思辨質(zhì)疑：“能圍成三角形的三條線段又有怎樣的關(guān)系呢？”學(xué)生猜想：兩條短線段長度的和大于第三條線段。此刻，學(xué)生的思維和關(guān)注點還停留在兩條短線段的和與最長線段之間的關(guān)系，對于另外兩條線段長度的和與第三條線段的關(guān)系還不能及時關(guān)注。這時，教師就需要適時引導(dǎo)學(xué)生思考：“另外兩條線段長度的和與第三條線段的關(guān)系又是怎樣的呢？算一算，比一比。”學(xué)生經(jīng)過計算、交流、展示、歸納，得出：能圍成三角形的三條線段，任意兩條線段長度的和大于第三條線段；不能圍成三角形的三條線段，有一組兩條線段長度的和小于或者等于第三條線段，另外兩組中兩條線段長度的和也是大于第三條線段的。

我們不難發(fā)現(xiàn)，每一次的操作實驗，緊跟著活動之后的環(huán)節(jié)，就是交流分享活動的成果和收獲。在這個過程中，教師的角色也發(fā)生了變化。他們不再是單純的知識傳授者，而成為學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者和促進(jìn)者。他們通過提供問題和情境，激發(fā)學(xué)生的思考和探究欲望，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實踐操作和交流展示。同時，教師還需要及時引導(dǎo)學(xué)生延伸思考，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題中存在的不足之處。在這一階段，教師把課堂還給了學(xué)生，讓學(xué)生通過小組合作、動手、動腦、動口，充分體驗知識的產(chǎn)生和變化，體驗到操作體驗帶來的樂趣和成果，同時突出了師生之間、學(xué)生之間的多向交流與相互合作，體現(xiàn)了以生為本的理念，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)新思維。在真正的交互中，學(xué)生吸收師生間、同伴間的積極影響，在成就自己與成就他人之間實現(xiàn)“雙贏”，讓“做數(shù)學(xué)”的育人價值得到升華。

四、 開展多元評價，拓展“做數(shù)學(xué)”廣度

小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就知識而言，主要看是否掌握了前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識，是否形成了一定的知識技能。但是，不同的學(xué)習(xí)路徑，往往決定了學(xué)習(xí)者對所學(xué)知識的理解深度，同時也決定了學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)過程中積累了怎樣的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，形成了怎樣的能力。因此，教師需要對“做數(shù)學(xué)”實施的內(nèi)容、過程及效果進(jìn)行多元評價。評價的主要目的是全面了解師生“做數(shù)學(xué)”的過程和結(jié)果，激勵學(xué)生學(xué)習(xí)，改進(jìn)教師教學(xué)，提升教學(xué)質(zhì)量，促進(jìn)核心素養(yǎng)的發(fā)展。具體來講，要看實施的內(nèi)容是否與新課標(biāo)、教材內(nèi)容相鏈接，是否與學(xué)生的認(rèn)知水平相適切；教師在課堂教學(xué)中是否能夠有效實施“做數(shù)學(xué)”教學(xué)，是否能夠有效地組織和指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)；教師的教學(xué)改進(jìn)措施和計劃是否科學(xué)合理，是否能夠不斷提高自身的教學(xué)水平和能力；教師的教學(xué)效果如何，是否能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性；教師的教學(xué)方式和方法是否多樣化，是否能夠滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求；教師的教學(xué)態(tài)度和情感投入是否積極，是否能夠給予學(xué)生足夠的關(guān)注和支持；學(xué)生是否積累可遷移的經(jīng)驗，是否形成一定的數(shù)學(xué)思想；教師的教學(xué)反饋和評價是否及時準(zhǔn)確，是否能夠幫助學(xué)生改進(jìn)學(xué)習(xí)方法和提高學(xué)習(xí)效果。

對“做數(shù)學(xué)”實施的內(nèi)容、過程及效果進(jìn)行多元評價，是以提高學(xué)生“做數(shù)學(xué)”的意識、能力為出發(fā)點和歸宿的。教師通過執(zhí)教者、聽課者、實驗者的多元反饋，形成相對客觀、全面、科學(xué)的評價，并為后續(xù)優(yōu)化實施內(nèi)容、完善實驗過程、改進(jìn)教學(xué)方法、凸顯感悟體驗提供切實的信息反饋，真正發(fā)揮評價的發(fā)展性和導(dǎo)向性功能，發(fā)揮“做數(shù)學(xué)”學(xué)科育人的價值。

總之，針對當(dāng)前的課堂教學(xué)，“做數(shù)學(xué)”已然成為一種趨勢。教師要努力發(fā)掘和開發(fā)小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“做數(shù)學(xué)”的素材，仔細(xì)梳理當(dāng)前“做數(shù)學(xué)”中的問題，不斷探求影響“做數(shù)學(xué)”效益的相關(guān)因素，認(rèn)真踐行“做數(shù)學(xué)”的實施策略，逐步掌握認(rèn)識事物、發(fā)現(xiàn)真理的方式方法，培養(yǎng)學(xué)生的建模能力和應(yīng)用意識，使學(xué)生進(jìn)入主動探索的狀態(tài)，變被動地接受學(xué)習(xí)為主動建構(gòu)的過程，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，通過“做數(shù)學(xué)”培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)，發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值。

【參考文獻(xiàn)】

[1]董林偉.走向?qū)W科育人：“做數(shù)學(xué)”的時代建構(gòu)與實踐創(chuàng)新[J].教育發(fā)展研究，2021（8）.

[2]喻平.“做數(shù)學(xué)”的理論基礎(chǔ)分析[J].教育研究與評論，2021（3）.

[3]周曉梅.基于循證理論的小學(xué)數(shù)學(xué)實驗教學(xué)模式探究[J].教學(xué)與管理，2020（2）.

[4]毛新薇.“全視角學(xué)習(xí)”視域下的數(shù)學(xué)實驗教學(xué)研究[J].教育視界，2021（23）.