數學思辨：讓學生講數學

【摘 要】學生是獨立的個體，不是只要“聽話”。一個只知道順從、不會自己思考、沒有獨立想法的人，會被紛繁復雜的信息“牽著鼻子走”。數學教學就是要培養學生從數學的角度出發對問題進行思考與辨析的習慣，能用數學語言表達內在的隱性思維，在問中辨、錯中辨、探中辨，掌握數學學習方法，提升教學質量。

【關鍵詞】數學思辨 講數學 抽象建模

學生從小到大，聽得最多的一句話就是“要聽話”。聽話成為衡量學生好不好的重要標準。可是，一個只知道順從、不會自己思考、沒有獨立想法的人，怎么能在未來世界僅靠自己去解決所遇到的問題？當下，由于知識泛濫，知識真假參半，學生需要有思辨的思維，避免被紛繁復雜的信息“牽著鼻子走”。更新學生的思維模式，提高智識，這是新時代教師培養接班人的責任與擔當。

思辨就是思考與辨析。所謂“思考”，指的是分析、推理、判斷等思維活動。所謂“辨析”，指的是對事物的情況、事理等進行辨別、分析。數學思辨是指學生面對數學信息，通過分析、推理、表述、交流等思維活動，找到解決問題的辦法，形成決策或結論，完成對數學認知的一個過程。數學教學就是要培養學生從數學的角度出發對問題進行思考與辨析的習慣，能用數學語言表達內在的隱性思維，掌握數學學習方法，提升教學質量。

一、問中辨——抽象建模

此“問”是指站在學生立場，找準學生的興趣點發問，問學生的所知，問學生的理解，問學生的疑惑，就像投石于池中，激活學生的思維，讓每個學生在課堂上處于思維的最佳狀態，進行不斷的判斷分析、抽象概括，獲取數學信息，找到解決數學問題的方法。

實際生活中數學問題的呈現是多樣的：有的用文字語言，有的用純圖形，也有圖文結合。在小學數學中，根據學生的思維特點，以圖文結合形式呈現的數學問題比較多。因此，在教學中，教師應順應學生的年級特點，不失時機地訓練學生學會用文字語言、符號語言建構數學問題，培養其數學語言表達能力和解題能力。

例如，蘇教版數學三年級下冊教材中有這樣一道題，如圖1，它是以圖文形式呈現的一類生活中商品優惠銷售的實際問題。圖1中呈現的數學信息散而多，生活化味道濃。教學時，教師緊扣“哪家商店賣得便宜一些”這個問題提問“甲、乙兩家商店賣的什么，便宜一些又要比較什么”，讓學生根據圖意仔細辨析，全面提取數學信息。通過比較、討論、描述，學生形成一道比較復雜的實際問題：“兩家商店在賣同一種牛奶，每箱6袋，原價48元。現在兩家商店優惠銷售，甲商店每箱42元，乙商店買一箱送2袋。比一比，哪家商店每袋牛奶賣得便宜一些？”就在這一問一辨中，學生明晰了“優惠銷售”的含義，明白了“優惠銷售”的兩種常見現實操作：一是降價銷售，二是買一送幾。對照圖文，學生很快找到數學表達的思路。

在學生正確計算兩家商店賣的牛奶每袋的價錢，比較得出結果后，教學沒有停止，教師通過情境變換——把“牛奶”改成“飲料” “礦泉水”等，條件變換——“甲商店每箱優惠6元”“乙商店買一箱送4袋”等練習，繼續讓學生在不同的情境中體驗與感悟，幫助學生構建此類優惠銷售問題的數學表達模型，即降價銷售用現價求單價，買一送幾用原價求單價。教學中，教師要經常訓練學生從具體情境中辨析、提取數學信息，抽象數學問題，培養學生從數學的角度看圖的習慣。

二、錯中辨——返璞歸真

此“錯”是指課堂教學中學生的錯例。布魯納說過，學生的錯誤都是有價值的。這就告訴我們，在教學中，對學生不要過度防錯、避錯，應該本著以人為本的教育觀，以平和的心態理智地欣賞、接納錯誤，因勢利導，抓住機會延遲評判，讓學生討論錯點、辨析錯因，在糾錯、改錯中感悟道理，領悟方法，發展思維，生出亮點，讓學生在錯誤中求生成，促進學生解題能力的提升。

例如，筆者在三年級下冊期末復習時，練習中遇到這樣一道習題，如圖2。學生當時出現了兩種不同的解法：（1）85－5＝80千克，80×3＝240千克；（2）5×3＝15千克，85－15＝70千克。大部分學生用了第二種解法，五個學生用了第一種解法。面對這樣的意外，筆者沒有立即進行判斷，而是因勢利導提醒學生圍繞解決問題的策略，組織學生一起辨析這兩種解法，卻因差錯收獲了精彩。“如果從問題想起，你認為哪種解法的第二步沒有道理？如果從條件想起，你認為哪種解法的第一步有道理？”很快，矛盾的焦點都指向對“連筐稱一共85千克”這個條件的理解。學生說理非常清楚：如果說第一種是正確的，那么，算出的蘋果重量240千克超過一共的85千克顯然不合理。題中條件“一共85千克”，是指3個筐的重量與蘋果重量的總和。那么，要求蘋果的重量，應先求出3個筐的重量。因此，正確的解答應該是第二種解法。

為了讓學生進一步掌握本學期所學解決問題的策略，明白條件與問題之間的關系，教師緊抓錯點變亮點：“同學們，如果第一種解法是正確的，求出的是蘋果重量。那么，題中的哪個條件要怎么改？”學生再次辨析，隨即就做了一個“根據算式編數學題”，焦點自然而然又指向對條件“連筐稱一共85千克”的理解，一致認為改成“每筐稱一共85千克”，一字之差將錯歸真。

師生一起辨題改“編題”，既鞏固了解決問題的策略，又獲得了一次矯正錯誤、觸類旁通、聯結新意的機會，享受到了新發現的快樂。

三、探中辨——明晰本質

此“探”是指在課堂教學中讓學生充分利用已有的知識經驗，用自己的思維方式自由地經歷、體驗、探索，適時組織思辨，實現對數學知識的整體建構。史寧中教授說過，課不要反復講，而要把握數學的本質，應該把理講出來。這里的“理”就是數學本質，就是要引導學生透過自探而得的表面現象，幫助說理直抵深刻的數學本質。

例如，蘇教版數學三年級下冊“分數的初步認識（二）”主要是讓學生認識由許多相同物體（圖形）組成的一個整體的幾分之一（幾）。這部分內容是學生從認識一個物體（圖形）的幾分之一（幾）的擴展和跨越。小學數學對分數的定義是一個單位平均分之后其中的一份或幾份，強調的是部分與整體的關系，即分數的“率”。而對于三年級學生來說，由于分的是若干個相同物體組成的一個整體，他們關注更多的是分得的具體個數與總個數“量”的關系，忽視表示的份數與平均分的份數“率”的關系。加上原有經驗的干擾及特定年齡認知的偏差，學生常常出現難以區分“個數”還是“份數”的錯誤。為此，教學時，教師依據教材原來的編排，如圖3，整體建構、整合素材、改變問題、探析自解。

（一）分一分，喚醒經驗

教師利用用“猴媽媽平均分1個桃給2只小猴”這一問題，喚醒學生對1個桃的的再認知，為分數“率”的解讀做鋪墊。

（二）改一改，反用素材，探析體會分數“率”的本質

教師改問題：“一盤桃6個，平均分給2只小猴，每只小猴分得多少？”學生很快得出分得的結果是“3個”。也就是說，每只小猴分得的結果可以用整數表示，涉及具體的量。教師繼續追問：“每只小猴分得的3個桃，如果用分數表示是幾分之幾？”學生給出兩個答案：和。“那么，究竟用哪個分數表示，想一想有什么辦法讓大家一目了然？”學生畫圖探尋，確信用突出對一個整體的6個桃的的理解。

（三）再分，進一步感受分數“分”的意義

教師讓學生在圖中表示4個桃的、8個桃的。最后，學生回顧猴媽媽的四次分桃過程，發現桃子的總數和每份的個數已經不重要了，把這些桃子看作一個整體，平均分成2份，每份就是它的。

從分得結果用整數表示，到分得結果用分數表示，這是學生對分數認識的一次飛躍。以上教學使學生認識到分數是一種無量綱的數，與整體的大小無關，與每份的具體個數無關，實現對分數脫離具體“物”與“量”的理解，即“分數的本質之一——表示部分與整體之間的關系”。

新知不新，有時是由學生固有的思維模式導致關注點的偏差造成的。教學時，教師要站在整體建構的高度，充分利用學生一定的基礎經驗，借助問題掃除學生認知的盲點，實現學生知識經驗、方法應有的生長，提升其思維能力。

真正有趣、有料、有味的數學課堂應該是通過數學問題或材料讓學生動腦思考、動手操作，生生互動、思辨質疑，從而理解知識、應用知識、掌握方法。因此，在教學中，教師要舍得給學生時間、空間，讓學生因學而思、因思而辨、因辨而慧，改變數學學習習慣和方法，學著“人人講數學”。