以計數單位為核心 感悟數的概念一致性

【摘 要】自《義務教育數學課程標準（2022年版）》頒布以來，“數的概念與運算一致性”是熱門的關鍵詞之一，諸多專家教授對其進行了廣泛的理論研究，為教師提供了各類學習資源。但由于現有小學數學教材的編寫并未完全貼近新課標理念，在“課標理念”和“課堂落地”之間還有著很大的差距，需要教師在理論學習和課堂實踐中打通壁壘、積累經驗、形成策略。文章以“數的認識總復習”一課為例，從知識內容“結構化”、學習過程“數學化”兩個方面，聚焦“計數單位”這一核心概念，將新課標理念落實到課堂實踐中。

【關鍵詞】計數單位 一致性 結構化 數學化

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確指出：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性。”數概念本質上的一致性主要體現在兩個方面：一是整數、分數和小數都是對數量或數量關系的抽象；二是無論是整數、分數還是小數，都可以從計數單位和計數單位個數的角度來認識。

六年級下冊“數的認識總復習”一課，主要是對整數、分數、小數的意義和性質、讀寫、大小比較等內容進行整理和復習。課前，通過對部分學生的前測和訪談了解到，大部分學生能理解整數是對數量的抽象，理解整數的計數單位；知道分數可以表示“量”也可以表示“率”，但對兩者混淆不清。在學生的觀念中，其更認可分數表示部分和整體的關系，不知道分數單位有什么用，部分學生甚至不清楚分數單位就是分數的計數單位；大部分的學生對于小數的意義還停留在計量單位“元、角、分”中，認為僅僅是另一種表達，對于小數是“十進分數”的本質沒有認知，更不清楚整數、分數、小數的計數單位之間的聯系。

綜上所述，學生對于數的認識沒有形成基于“計數單位”的統一認知，沒有在數的表達中感悟數學符號的意義，沒有形成應有的符號意識，對“滿十進一”的計數原理以及“十進制”計數原則僅停留在表面認知水平。因此，分數的意義和小數的意義一直是小學生學習的難點和痛點，到六年級總復習階段，由于之前對數的概念的學習是零散的、割裂的，讓學生無法抓住知識本質，更無法形成和發展符號意識、數感、抽象能力等核心素養。

新課標在課程理念中明確指出：“設計體現結構化特征的課程內容，重點是對內容進行結構化整合，探索發展學生的核心素養的路徑。”因此，在目前新教材尚未落地的背景下，有必要在六年級總復習階段，以“數的概念本質一致性”為主線，幫助學生梳理“數的認識”知識結構。筆者嘗試基于“計數單位”這一核心概念，引導學生經歷數學化的過程，感悟數的概念本質上的一致性，發展核心素養。

一、基于知識內容“結構化”，凸顯核心概念

課程內容的結構化，有利于體現學習內容的整體性，揭示數學學科內容的本質特征，對于學生核心素養的形成具有重要意義。對于數學而言，數的表達是具有共性的，都是借助“計數單位”的表達。小學階段所認識的數，無論是整數、分數還是小數，其核心都是“計數單位”及其表達方式不斷演進的過程。不論是數學語言還是數學符號的表達，都可以歸結為“多少個計數單位”。因此，在本節課的教學中，教師要緊扣“計數單位”這一核心概念，對有關數的認識的內容進行結構化重組，借助“計數單位”這一核心概念溝通整數、分數、小數之間的本質聯系。同時，基于學生的知識基礎和認知特點設計有效的學習活動，使他們能夠較好地把握數概念發展的內在邏輯，感受數的概念在本質上的一致性，形成數感和符號意識。

（一）溝通整數的讀法和意義，強調“計數單位”的核心地位

學生在第一學段剛開始認數時，就是先認識“計數單位”，再基于計數單位，從數的組成上來表達整數，理解整數的意義。因此，在新課伊始，第一個探究活動就從溝通整數的讀法和意義開始。

首先，根據實際情境某校學生總人數5424人，讓學生回憶這個整數的讀法和意義（讀作：五千四百二十四；意義：5個千、4個百、2個十、4個一），并引導學生將數的組成進行算式表達 （5424=5×1000+4×100+2×10+4×1）。其次，引導學生對比、溝通整數讀法和意義之間的聯系，讓學生在交流中發現——整數的讀法就是讀出每個數位上的數字及對應的計數單位，整數的意義就是表示多少個計數單位。讀法和意義是一脈相承的，關鍵是計數單位的個數和計數單位。由此，凸顯“計數單位”在整數概念中的核心地位。最后，引導學生回憶整數的計數單位，通過結構圖示，讓學生直觀體會計數單位從“一”開始，在不斷“滿十進一”的過程中，形成“十、百、千、萬……”計數單位，依據“十進制”計數法，豐富完善學生對整數的認識。

（二）感悟小數的讀法本質，溝通整數和小數的聯系

教師在小數復習階段設計了第二個探究活動。學生通過獨立思考和小組合作等學習方式，復習小數5.424的讀法（五點四二四）、意義（5個一、4個0.1、2個0.01、4個0.001）及算式表達（5.424=5×1+4×0.1+2×0.01+4×0.001）。

接下來是本環節的重點——小數部分的讀法。在剛開始認識小數時，小數的讀法規則一般是直接告知的常識性知識：“小數部分是幾就讀幾”，學生并沒有理解知識本質。因此，筆者引導學生對小數的讀法大膽提出自己的疑問：“為什么小數部分只讀數字呢？為什么不能像整數部分那樣讀作五點四百二十四？”通過不斷地質疑，引發學生的交流辨析：“不能讀作五點四百二十四，是因為4不表示4個百，而表示4個0.1，2也不是2個百，是2個0.01……”引導學生討論整數和小數讀法看似不同但實質相同的道理，理解讀法和計數方法之間的關系，感悟整數與小數讀法的本質是讀出計數單位和計數單位的個數，體會“計數單位”的核心地位，感悟整數和小數概念本質上的一致性。

最后，在回憶整理小數部分計數單位時，同樣用結構圖示，溝通計數單位之間的聯系，明確從左往右是計數單位不斷細分的過程。

二、經歷學習過程“數學化”，發展核心素養

“沒有數學化就沒有數學，如果將數學解釋為一種活動，那就必須通過數學化來教數學、學數學……數學化是數學教育的必然趨勢，能夠保證實現數學整體結構的廣闊途徑。”要想感悟數概念的本質，就要經歷由數量到數的抽象、由整數到分數再到小數的形成過程。這個過程是知識的發展過程，也是數學化的過程。學生經歷了這個過程，才能夠體會知識的本源性與一致性。

在本節課的教學中，教師注重激活學生已有的經驗，激發學生探索的欲望，在集體討論中碰撞思想，在不斷交流中建構認知，真正經歷一個再創造和數學化的過程。同時，引導學生運用觀察比較、抽象概括等方法研究學過的整數、分數和小數，用數學的思維去發現、用數學的語言去表達，使學生在深刻理解小學階段認識的數的相關知識時，對數的意義、性質等獲得新的認識，從而打通整數、分數、小數外在形式的壁壘，并使整數、分數、小數成為一個有結構的整體。理解數概念在本質上的一致性，有助于學生學會用數學的眼光觀察現實世界，發展核心素養。

（一）重塑分數的意義，發展數感和符號意識

為什么學習了整數之后還要學習分數？很多六年級學生無法準確地回答這個問題。究其原因，學生對分數的學習缺乏“數學化”過程。在現有不同版本的數學教材中，無論是“分數的初步認識”還是“分數的意義”，均側重分數表示關系的意義，忽略了分數表示數量的意義。在課堂學習中，學生主要從“先分再取”的情境中認識分數表示部分和整體的關系，并且只從這個層面概括出了分數的意義（把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份可以用分數表示），這樣“一分一取”分數就出來了，自然就不需要“分數單位”了。但這樣僅僅從“率”的角度概括出的分數意義，會讓學生對分數意義的理解造成偏差，從而缺乏對整數、小數、分數本質意義的溝通，無法真正理解知識本質。

在分數的復習環節中，教師繼續引導學生從“讀法”和“意義”兩個角度進行知識本質的發掘，讓學生經歷學習過程“數學化”。教師出示分數，在學生正確地說出讀法和意義后，啟發學生聯系整數和小數的意義表達——表示幾個計數單位，提出問題串：“分數有計數單位嗎？”“分數單位有什么用？”“你能從計數單位的角度重新表達分數的意義嗎？”

教學過程中，教師通過數形結合的方式（如圖1），將一個長方形平均分成5份，其中的一份就是，以這個計數單位來數：1個、2個、3個、4個，數出涂色部分是“4個”，讓學生將的意義拓展到幾個計數單位的表達，即表示“4個”，和整數、小數的意義表達是一致的。在這個環節中，重點強調平均分后“一份表示的意義”，將原來學生思維中根深蒂固的“先分再取”的分數概念進階至“先分再數”，突出分數單位的重要性，凸顯分數作為“數”的本質。

圖1

接著，溝通分數意義兩種表達的共通之處。教師提問：表示把單位“1”平均分成5份，表示這樣的4份。現在你能理解“這樣的”是指什么？引導學生溝通基于計數單位的分數意義，發現“這樣的4份”就是“以為一份，有這樣的4份”，都是以計數單位為標準，進行計數。最后，通過整數、小數和分數意義的對比，引導學生發現“計數單位”是構建數的基礎，感悟數的概念一致性，形成數感和符號意識。

（二）數的大小比較，深化數的概念一致性

從數的大小比較中，不管是整數、小數還是分數，都是基于相同的計數單位進行的。因此，教師在以“讀法和意義”為梳理路線的整數、小數和分數意義復習之后，設計探究活動三：從計數單位的角度比較數的大小。（如圖2）

通過對比整數、小數和分數比較大小的聯系和區別，讓學生經歷“數學化”的學習過程，歸納出比較數的大小也要在相同計數單位上進行、從高的計數單位開始比較的道理，發現數的大小比較的本質就是比較“計數單位的大小或相同計數單位個數的多少”，感悟數的大小比較與數的概念也是一致的。在這樣的過程中，引導學生感悟數學概念的一致性，理解符號表達的重要性，形成數感和符號意識，深化數的概念一致性。

三、結語

在本節課即將接近尾聲時，很多學生表達了自己的學習收獲：“從這節復習課中‘重新’認識了整數、小數和分數”“以前雖然知道計數單位，但不知道它的作用，今天知道原來就是‘計數’的單位，整數、小數和分數都表示有幾個計數單位”“計數單位很重要，數的讀法、意義和大小比較都離不開它”。

為了讓學生更好地感悟“數的概念及運算的一致性”，新課標第一次引入“計數單位”的概念——“關于個數和順序的計量單位”。教學實踐表明，“計數單位”可以作為實現“數與運算”主題數學化的抓手。教師要基于新課標強調的“數的概念一致性”理論，嘗試從知識內容“結構化”的角度，設計“數學化”的學習過程，聚焦“計數單位”這一核心概念，引導學生理解數學的本質，發展核心素養，激發學習數學的興趣，將“課標理論”不斷吸收、內化并實踐落地到課堂教學中。

【參考文獻】

[1]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995．

[2]趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐——以“數與運算”總復習為例[J].課程· 教材·教法，2022（8）.