始于“結構化”,終于“一致性”

[摘? 要] 《義務教育數學課程標準（2022年版）》重視數學知識的內在結構，強調學習內容的整合。在“結構化”視閾下，如何讓教師依據核心概念設計課例？文章從內容結構梳理、教學前沿探索、關鍵課例實踐三個方面進行研究。

[關鍵詞] 結構化;數與運算;計數單位;一致性

“結構”是《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）的一大特色。不管是課程內容、數學思想方法，還是核心素養方面，“結構”都發揮著舉足輕重的作用。結構是按一定的系統和規則構成的整體，是具有邏輯的整體優化后的呈現。“結構化”是將一個復雜的數學對象或概念分解為更簡單、更有組織的部分，讓學生更容易理解、分析和處理。

《2022年版課標》非常重視數學知識的內在結構，強調學習內容的整合。在數與代數領域“數的認識”和“數的運算”被整合成為“數與運算”，原先被割裂的知識重新整合，形成了有結構的知識體系。基于此，筆者談談“結構化”視閾下對“數與運算”一致性的探索與實踐。

一、“數與運算”一致性的內容結構梳理

小學數與代數領域，數的認識包括整數、分數、小數的認識，每種數都有基于它們各自特點的認識方法;數的運算包括整數、分數、小數的運算，也有各自的算法。從外層面來看，這些知識是不成體系的獨立存在。但是從數的組成進行仔細分析，整數、分數、小數都是基于“計數單位”建構的，即“計數單位計數單位個數”。從數的運算算法來看，所有運算都能還原成計數單位與計數單位的運算，加減法運算是相同計數單位的累加或累減;整數、小數、分數乘除法運算是計數單位的累加、創生和細分，由此發現“數與運算”的核心概念都聚焦于“計數單位”。

筆者對2022年版人教版小學數學十二冊教材進行了梳理，共有106個單元（含總復習單元），新授單元有94個，其中“數與運算”有36個單元，占小學新授單元的38.96%，在四大領域中占比最高（見表1）。

從表1可以發現：“數與運算”單元出現頻次高但是缺少系統性。教師要深入領會《2022年版課標》提出的“結構化”理念，打通“數與運算”之間的“隔斷墻”，構建“數與運算”主題學習的“承重墻”，引導學生經歷知識結構化的發生、發展過程，讓學生有序建立知識間的聯系和體會知識的本源性、一致性與整體性。

二、“數與運算”一致性的教學前沿探索

1. 強化“計數單位”，促進“數與運算”一致性的結構融通

《2022年版課標》關于數的概念和數的運算的要求：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識;感悟數的運算以及運算之間的關系，體會數的運算本質上的一致性，形成運算能力和推理意識。”為了實現以上要求，《2022年版課標》引入了計數單位的概念。計數單位是數的概念和數的運算的核心，它是關聯整數、分數和小數以及相關數運算之間的“鑰匙”。因此，教師要引導學生感悟數的概念的一致性，讓學生經歷從整數到分數再到小數發展的全過程，在結構化學習過程中理解數是計數單位個數的不同表征，將對整數的認識遷移到對分數、小數的認識中，構建數的概念一致性。

在讓學生體會數的運算的一致性過程中，教師既要引導學生理解數的概念，又要做好“數與運算”之間的溝通，讓學生體會計數單位在數的表征與運算中的一致性;同時，讓學生感受四則運算之間的聯系，認識加法是一切運算的基礎，減法、乘法、除法都是加法的變式;感受算理和算法間的聯系，算法的提煉是經驗的累積歸納，能明白算法都是基于計數單位個數的運算;懂得算理是算法的“因”，算法是算理的“果”。

2. 關注“核心概念”，助推“數與運算”一致性的結構實施

無論是數的概念的一致性還是數的運算的一致性，教師在教學前要依據核心概念進行教學設計：設計前，教師要深入了解知識點之間核心概念的進階，明晰核心知識點在各冊教材中的呈現方式，找到并依據核心概念組織學生學習知識點;設計中，教師要勇于突破原先“知識點+課時”常規的單一課時教學，努力構建“核心概念+單元”的整體化教學。同時，鑒于核心概念在“單元與單元”不同時間跨度的出現，導致核心概念在不同學段有不同的表現形式，教師要敢于打破自然單元去實施“跨單元”的創造性教學。只有教師形成關于“數與運算”一致性的結構體系，才能有的放矢地引導學生感受“數與運算”的本質，實現不同數的運算之間的算理貫通和算法統整，體會數學思想方法的一致性、遷移性和發展性。

三、“數與運算”一致性的教學實踐

教師要基于對“數與運算”內容結構的梳理和教學前沿的探索，讓學生感悟“數與運算”的一致性。當前，部分教師的課堂仍存在兩個問題：一是教師缺乏對內容的整體把握，知識點零散，局限于單課時的經驗教學;二是教師對知識的連續性不明晰，在教學中忽視前后關聯，這不利于學生核心素養的培養。基于此，筆者以“分數的加法和減法”單元為例，開展始于“結構化”終于“一致性”研究，進行“數與運算”的全面實踐。

1. “結構化”視角下單元教科書的整體梳理

在學習“分數的加法和減法”單元之前，學生系統學習了“10以內的加減法”到多位數計算的所有整數加減法，在三年級上冊初步接觸了分母小于10的同分母分數加減法，在四年級下冊學習了簡單的小數加減法，在五年級下冊學習了“分數的加法和減法”（見圖1）。教材將本單元內容分成三個層次：分數加減法基本計算、分數加減法混合運算以及用分數解決問題。這樣的學習序列充分體現了“由簡到繁，由易到難”的呈現原則，這三個層次的學習路徑符合學生的認知規律。但在實際教學中，這樣的例題安排和課時劃分存在三個不足：一是例題設計梯度小，與學生經驗不匹配;二是知識內容重復多，降低學生的探索欲;三是知識關聯不密切，缺少結構性。為了實現學習的“高通路遷移”，筆者對本單元內容進行了結構化整合，具體見表2。

2. “學生立場”視角下學生情況的整體分析

對本單元內容進行結構化整合后，教師要對學生的認知水平做一個整體評估：學生在學習該內容之前已經具備了怎樣的學習基礎？學習能力如何？關鍵課“分數加減法”的學習難點和困惑是什么？教師只有清晰準確地把握學生的學習起點，才能“教”得對，“教”得好。

（1）學情前測

前測題目：直接寫出得數，并用畫圖或文字的方式說明計算過程。

①+=（??? ）;

②+=（??? ）。

（2）學情評估

參與前測的學生班級有6個，其中城鎮2個班、城郊2個班、農村2個班，共238人，前測結果見表3。第1題+，計算結果正確率為97.1%，圖像表征占88.7%，文字表征占11.3%。圖像表征前測情況如圖2所示，學生只是根據題目將分數表示為部分與部分之間的組合，沒有分數單位個數累加的意識，對表征分數單位的知識掌握不扎實。

圖2? 分數加法圖像表征

第2題+，學生計算結果正確率為 89.1%，88.2%學生用圖像表征，11.8%學生用文字表征。圖像表征的情況見表4。從前測結果來看，學生的主要問題在于圖像或文字表征中更多是算法的體現，很少從分數單位的統一及累加角度思考。

表4? 異分母分數加法圖像表征具體情況

[

正確數

（人） 正確率??? 簡潔規范?????? 30??? 16.1%???? 基本正確不簡潔

（未合并） 67??? 35.8%???? 照式畫圖?????? 58??? 31.0%???? 單位1不統一（）???? 25??? 13.4%???? 其他?????? 7???? 3.7%?????? ][表征類型][數據]

（3）學情診斷

①關于算法：有所感知

同分母分數加法計算中，大多數學生記住了分母不變、分子相加的程序性計算。學生沒有從分數單位的統一及累加角度來理解分數加減法的計算。

②關于算理：粗淺了解

學生雖然能用畫圖或文字來解釋分數的計算過程，但是只有30名學生用簡潔的一幅圖來表征算式，由此說明他們不明白分數單位是一個特殊的計數單位，沒能統整和遷移整數、小數的算理，對知識的理解存在碎片化和淺表化的現象，并缺乏加減法運算一致性的理念。

③關于聯系：不大明白

在學生眼里分數外形與整數、小數相差甚遠，因此很少有學生會用整數和小數加減法的算法來遷移分數加減法的算法。

3. “一致性”理念下“分數加減法”關鍵課例的實踐

（1）第一環節：口算尋同，初步感悟“一致”

基于以上對教材的全面分析和學情的了解與診斷，本節課不是采用情境導入，而是設計一組簡單但有關聯的算式，請學生快速口答。學生在口算中感受算式之間的聯系，在教師引導下初步感悟整數、小數、分數加減法在計算中的一致性（圖3）。

教學片段：

師：觀察5道加法算式，你們有什么發現？

生1：算式中都有1和3。

師（評價）：觀察力不錯，這只是第一層次的發現。你們還能看出算式中更多的聯系嗎？

生2：都是1+3。

師：為什么1和3能直接相加？

生3：因為他們的計數單位（分數單位）相同。

師（評價）：同學們既會觀察又會思考，發現了這些算式的共同特點。老師把這個特點寫在黑板上，1個（??? ）+3個（??? ）=4個（??? ），誰來填一填、說一說？

學生發言（略）。

師：填單位的時候，大家有什么發現？

生（小結）：不管是計數單位、分數單位還是數量單位，只要滿足單位相同就能直接相加。

（2）第二環節：以圖釋式，深入理解“一致”

畫圖是算理的表達。課中教師選擇學生的前測作品來進行算式的分析和理解，讓學生既感覺親切，又能清晰地看到同伴對于分數加法的不同表達，在觀察和互評中理解同伴的表達，并在討論中逐漸理解算理的一致性。

教學片段：

師：課前同學們用不同的方式表示了+的計算過程，老師選了幾幅，我們一起來看一看吧！（課件出示學生前測作品，如圖4）

師：3位同學都用畫圓的方式表示了+的計算過程，你們看懂了哪幅圖？

生4：我看懂了第①幅，他是把1個圓看作一個整體，1個加3個等于4個，也就是。

生5：我看懂了第③幅，他是把8個小圓看作單位1，表示1個加3個等于4個。

生6：我看明白了第②幅，他是把1個圓看作單位1，先取其中的1份表示，再取這樣的3份表示，意思是1個加3個等于4個;我覺得這幅圖比第①幅和第③幅更高級，因為他把算式畫在一個圖里了，既簡潔又明白。

師（評價）：老師特別欣賞生6的評價，他更全面地對第②幅作品做出了點評，你們還有補充嗎？

生7：雖然第①幅和第③幅圖的計算過程都很清晰，但是我覺得第②幅圖更直觀，不僅畫得簡單，還表達得清楚，我要向生6同學學習！

生8：如圖5，我是用線段圖來表示的，大家看看對不對？

生生互評，覺得很好！

生9：我是用文字來表示的（如圖6）。

[在同分母加法中，得出的和分母不變，分子則由加數的分子相加而得，故+=。]

生10：生9總結得很好，我提煉為“在同分母加法中，分母不變，分子相加”。

全班認同，自發鼓掌。

師：大家都很會學習。對+這道加法計算，老師選了3位同學課前的作品（圖7），請大家來評價。

生11：③號圖明顯不對，用圖表示第一個加數時，他把“2個圓”看作整體“1”;表示第二個加數時，他把“8個圓”看作整體“1”，兩個加數的單位“1”不統一，肯定不正確。

生12：分母不同，不能直接相加，要先轉化成同分母分數。

師：為什么要轉化成同分母呢？

生13：為了讓兩個加數的單位統一，第一個加數是1個，第二個加數是3個，兩個加數的單位不一樣不能直接相加，轉化成4個就能相加了。

師：還有補充嗎？

生14：我看①號把轉化成，變成同分母就容易計算了，畫圖也是對的。

生15：異分母分數相加要先通分，變成相同的分母后再把分子相加，比同分母加法多了一步轉化的過程。

生16：只要統一分數單位就能計算了。

以上教學片段呈現了有序的結構化學習。在“分數加減法”算理理解和算法提煉的教學中，教師用學生的作品喚醒新舊知識的聯結，讓學生去點評同伴的作品，在評價中發現運算的本質，掌握運算方法，理解運算的一致性。

（3）第三環節：創編算式，遷移貫通“一致”

在分數減法教學時，教師不是采用新知教學的方式，而是讓學生用、、和四個分數來編減法算式。學生在教師引導下編寫同分母及異分母減法，利用學法遷移，理解分數減法的方法和分數加減法通分的原理。這樣，學生從本質上理解在數的運算中單位不同不能直接相加減，化成相同單位才能相加減，形成了整體性和一致性的數學思維。

（4）第四環節：拓展提升，轉化明晰“一致”

教師出示挑戰題：

①-0.2=

②=

③+=

通過三道題，能讓學生打開分數運算的思維，與小數融通，與分數乘法呼應，用字母建模，在挑戰練習中深入感悟“數與運算”一致性的精髓，深刻體會“數與運算”一致性的本質。

四、結語

教師要充分認識“數與運算”一致性的價值，重視知識、方法、思想之間的結構化聯系，徹底改變“數與運算”教學相互孤立的教學模式。教師要轉變理念，從思考“教什么”轉變為“有結構地教”，讓“數與運算”教學結構更清晰，使學生享受有質量的數學教育。

作者簡介：周珊珊（1977—），本科學歷，高級教師，從事小學數學教學與研究工作，曾獲部級優課、浙江省教改之星金獎、浙江省優質課二等獎、舟山市名師等榮譽。