始于“結(jié)構(gòu)化”,終于“一致性”

[摘? 要] 《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》重視數(shù)學知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，強調(diào)學習內(nèi)容的整合。在“結(jié)構(gòu)化”視閾下，如何讓教師依據(jù)核心概念設(shè)計課例？文章從內(nèi)容結(jié)構(gòu)梳理、教學前沿探索、關(guān)鍵課例實踐三個方面進行研究。

[關(guān)鍵詞] 結(jié)構(gòu)化;數(shù)與運算;計數(shù)單位;一致性

“結(jié)構(gòu)”是《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版課標》）的一大特色。不管是課程內(nèi)容、數(shù)學思想方法，還是核心素養(yǎng)方面，“結(jié)構(gòu)”都發(fā)揮著舉足輕重的作用。結(jié)構(gòu)是按一定的系統(tǒng)和規(guī)則構(gòu)成的整體，是具有邏輯的整體優(yōu)化后的呈現(xiàn)。“結(jié)構(gòu)化”是將一個復雜的數(shù)學對象或概念分解為更簡單、更有組織的部分，讓學生更容易理解、分析和處理。

《2022年版課標》非常重視數(shù)學知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，強調(diào)學習內(nèi)容的整合。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域“數(shù)的認識”和“數(shù)的運算”被整合成為“數(shù)與運算”，原先被割裂的知識重新整合，形成了有結(jié)構(gòu)的知識體系。基于此，筆者談?wù)劇敖Y(jié)構(gòu)化”視閾下對“數(shù)與運算”一致性的探索與實踐。

一、“數(shù)與運算”一致性的內(nèi)容結(jié)構(gòu)梳理

小學數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域，數(shù)的認識包括整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的認識，每種數(shù)都有基于它們各自特點的認識方法;數(shù)的運算包括整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)的運算，也有各自的算法。從外層面來看，這些知識是不成體系的獨立存在。但是從數(shù)的組成進行仔細分析，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)都是基于“計數(shù)單位”建構(gòu)的，即“計數(shù)單位計數(shù)單位個數(shù)”。從數(shù)的運算算法來看，所有運算都能還原成計數(shù)單位與計數(shù)單位的運算，加減法運算是相同計數(shù)單位的累加或累減;整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)乘除法運算是計數(shù)單位的累加、創(chuàng)生和細分，由此發(fā)現(xiàn)“數(shù)與運算”的核心概念都聚焦于“計數(shù)單位”。

筆者對2022年版人教版小學數(shù)學十二冊教材進行了梳理，共有106個單元（含總復習單元），新授單元有94個，其中“數(shù)與運算”有36個單元，占小學新授單元的38.96%，在四大領(lǐng)域中占比最高（見表1）。

從表1可以發(fā)現(xiàn)：“數(shù)與運算”單元出現(xiàn)頻次高但是缺少系統(tǒng)性。教師要深入領(lǐng)會《2022年版課標》提出的“結(jié)構(gòu)化”理念，打通“數(shù)與運算”之間的“隔斷墻”，構(gòu)建“數(shù)與運算”主題學習的“承重墻”，引導學生經(jīng)歷知識結(jié)構(gòu)化的發(fā)生、發(fā)展過程，讓學生有序建立知識間的聯(lián)系和體會知識的本源性、一致性與整體性。

二、“數(shù)與運算”一致性的教學前沿探索

1. 強化“計數(shù)單位”，促進“數(shù)與運算”一致性的結(jié)構(gòu)融通

《2022年版課標》關(guān)于數(shù)的概念和數(shù)的運算的要求：“初步體會數(shù)是對數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號意識;感悟數(shù)的運算以及運算之間的關(guān)系，體會數(shù)的運算本質(zhì)上的一致性，形成運算能力和推理意識。”為了實現(xiàn)以上要求，《2022年版課標》引入了計數(shù)單位的概念。計數(shù)單位是數(shù)的概念和數(shù)的運算的核心，它是關(guān)聯(lián)整數(shù)、分數(shù)和小數(shù)以及相關(guān)數(shù)運算之間的“鑰匙”。因此，教師要引導學生感悟數(shù)的概念的一致性，讓學生經(jīng)歷從整數(shù)到分數(shù)再到小數(shù)發(fā)展的全過程，在結(jié)構(gòu)化學習過程中理解數(shù)是計數(shù)單位個數(shù)的不同表征，將對整數(shù)的認識遷移到對分數(shù)、小數(shù)的認識中，構(gòu)建數(shù)的概念一致性。

在讓學生體會數(shù)的運算的一致性過程中，教師既要引導學生理解數(shù)的概念，又要做好“數(shù)與運算”之間的溝通，讓學生體會計數(shù)單位在數(shù)的表征與運算中的一致性;同時，讓學生感受四則運算之間的聯(lián)系，認識加法是一切運算的基礎(chǔ)，減法、乘法、除法都是加法的變式;感受算理和算法間的聯(lián)系，算法的提煉是經(jīng)驗的累積歸納，能明白算法都是基于計數(shù)單位個數(shù)的運算;懂得算理是算法的“因”，算法是算理的“果”。

2. 關(guān)注“核心概念”，助推“數(shù)與運算”一致性的結(jié)構(gòu)實施

無論是數(shù)的概念的一致性還是數(shù)的運算的一致性，教師在教學前要依據(jù)核心概念進行教學設(shè)計：設(shè)計前，教師要深入了解知識點之間核心概念的進階，明晰核心知識點在各冊教材中的呈現(xiàn)方式，找到并依據(jù)核心概念組織學生學習知識點;設(shè)計中，教師要勇于突破原先“知識點+課時”常規(guī)的單一課時教學，努力構(gòu)建“核心概念+單元”的整體化教學。同時，鑒于核心概念在“單元與單元”不同時間跨度的出現(xiàn)，導致核心概念在不同學段有不同的表現(xiàn)形式，教師要敢于打破自然單元去實施“跨單元”的創(chuàng)造性教學。只有教師形成關(guān)于“數(shù)與運算”一致性的結(jié)構(gòu)體系，才能有的放矢地引導學生感受“數(shù)與運算”的本質(zhì)，實現(xiàn)不同數(shù)的運算之間的算理貫通和算法統(tǒng)整，體會數(shù)學思想方法的一致性、遷移性和發(fā)展性。

三、“數(shù)與運算”一致性的教學實踐

教師要基于對“數(shù)與運算”內(nèi)容結(jié)構(gòu)的梳理和教學前沿的探索，讓學生感悟“數(shù)與運算”的一致性。當前，部分教師的課堂仍存在兩個問題：一是教師缺乏對內(nèi)容的整體把握，知識點零散，局限于單課時的經(jīng)驗教學;二是教師對知識的連續(xù)性不明晰，在教學中忽視前后關(guān)聯(lián)，這不利于學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)。基于此，筆者以“分數(shù)的加法和減法”單元為例，開展始于“結(jié)構(gòu)化”終于“一致性”研究，進行“數(shù)與運算”的全面實踐。

1. “結(jié)構(gòu)化”視角下單元教科書的整體梳理

在學習“分數(shù)的加法和減法”單元之前，學生系統(tǒng)學習了“10以內(nèi)的加減法”到多位數(shù)計算的所有整數(shù)加減法，在三年級上冊初步接觸了分母小于10的同分母分數(shù)加減法，在四年級下冊學習了簡單的小數(shù)加減法，在五年級下冊學習了“分數(shù)的加法和減法”（見圖1）。教材將本單元內(nèi)容分成三個層次：分數(shù)加減法基本計算、分數(shù)加減法混合運算以及用分數(shù)解決問題。這樣的學習序列充分體現(xiàn)了“由簡到繁，由易到難”的呈現(xiàn)原則，這三個層次的學習路徑符合學生的認知規(guī)律。但在實際教學中，這樣的例題安排和課時劃分存在三個不足：一是例題設(shè)計梯度小，與學生經(jīng)驗不匹配;二是知識內(nèi)容重復多，降低學生的探索欲;三是知識關(guān)聯(lián)不密切，缺少結(jié)構(gòu)性。為了實現(xiàn)學習的“高通路遷移”，筆者對本單元內(nèi)容進行了結(jié)構(gòu)化整合，具體見表2。

2. “學生立場”視角下學生情況的整體分析

對本單元內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合后，教師要對學生的認知水平做一個整體評估：學生在學習該內(nèi)容之前已經(jīng)具備了怎樣的學習基礎(chǔ)？學習能力如何？關(guān)鍵課“分數(shù)加減法”的學習難點和困惑是什么？教師只有清晰準確地把握學生的學習起點，才能“教”得對，“教”得好。

（1）學情前測

前測題目：直接寫出得數(shù)，并用畫圖或文字的方式說明計算過程。

①+=（??? ）;

②+=（??? ）。

（2）學情評估

參與前測的學生班級有6個，其中城鎮(zhèn)2個班、城郊2個班、農(nóng)村2個班，共238人，前測結(jié)果見表3。第1題+，計算結(jié)果正確率為97.1%，圖像表征占88.7%，文字表征占11.3%。圖像表征前測情況如圖2所示，學生只是根據(jù)題目將分數(shù)表示為部分與部分之間的組合，沒有分數(shù)單位個數(shù)累加的意識，對表征分數(shù)單位的知識掌握不扎實。

圖2? 分數(shù)加法圖像表征

第2題+，學生計算結(jié)果正確率為 89.1%，88.2%學生用圖像表征，11.8%學生用文字表征。圖像表征的情況見表4。從前測結(jié)果來看，學生的主要問題在于圖像或文字表征中更多是算法的體現(xiàn)，很少從分數(shù)單位的統(tǒng)一及累加角度思考。

表4? 異分母分數(shù)加法圖像表征具體情況

[

正確數(shù)

（人） 正確率??? 簡潔規(guī)范?????? 30??? 16.1%???? 基本正確不簡潔

（未合并） 67??? 35.8%???? 照式畫圖?????? 58??? 31.0%???? 單位1不統(tǒng)一（）???? 25??? 13.4%???? 其他?????? 7???? 3.7%?????? ][表征類型][數(shù)據(jù)]

（3）學情診斷

①關(guān)于算法：有所感知

同分母分數(shù)加法計算中，大多數(shù)學生記住了分母不變、分子相加的程序性計算。學生沒有從分數(shù)單位的統(tǒng)一及累加角度來理解分數(shù)加減法的計算。

②關(guān)于算理：粗淺了解

學生雖然能用畫圖或文字來解釋分數(shù)的計算過程，但是只有30名學生用簡潔的一幅圖來表征算式，由此說明他們不明白分數(shù)單位是一個特殊的計數(shù)單位，沒能統(tǒng)整和遷移整數(shù)、小數(shù)的算理，對知識的理解存在碎片化和淺表化的現(xiàn)象，并缺乏加減法運算一致性的理念。

③關(guān)于聯(lián)系：不大明白

在學生眼里分數(shù)外形與整數(shù)、小數(shù)相差甚遠，因此很少有學生會用整數(shù)和小數(shù)加減法的算法來遷移分數(shù)加減法的算法。

3. “一致性”理念下“分數(shù)加減法”關(guān)鍵課例的實踐

（1）第一環(huán)節(jié)：口算尋同，初步感悟“一致”

基于以上對教材的全面分析和學情的了解與診斷，本節(jié)課不是采用情境導入，而是設(shè)計一組簡單但有關(guān)聯(lián)的算式，請學生快速口答。學生在口算中感受算式之間的聯(lián)系，在教師引導下初步感悟整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)加減法在計算中的一致性（圖3）。

教學片段：

師：觀察5道加法算式，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生1：算式中都有1和3。

師（評價）：觀察力不錯，這只是第一層次的發(fā)現(xiàn)。你們還能看出算式中更多的聯(lián)系嗎？

生2：都是1+3。

師：為什么1和3能直接相加？

生3：因為他們的計數(shù)單位（分數(shù)單位）相同。

師（評價）：同學們既會觀察又會思考，發(fā)現(xiàn)了這些算式的共同特點。老師把這個特點寫在黑板上，1個（??? ）+3個（??? ）=4個（??? ），誰來填一填、說一說？

學生發(fā)言（略）。

師：填單位的時候，大家有什么發(fā)現(xiàn)？

生（小結(jié)）：不管是計數(shù)單位、分數(shù)單位還是數(shù)量單位，只要滿足單位相同就能直接相加。

（2）第二環(huán)節(jié)：以圖釋式，深入理解“一致”

畫圖是算理的表達。課中教師選擇學生的前測作品來進行算式的分析和理解，讓學生既感覺親切，又能清晰地看到同伴對于分數(shù)加法的不同表達，在觀察和互評中理解同伴的表達，并在討論中逐漸理解算理的一致性。

教學片段：

師：課前同學們用不同的方式表示了+的計算過程，老師選了幾幅，我們一起來看一看吧！（課件出示學生前測作品，如圖4）

師：3位同學都用畫圓的方式表示了+的計算過程，你們看懂了哪幅圖？

生4：我看懂了第①幅，他是把1個圓看作一個整體，1個加3個等于4個，也就是。

生5：我看懂了第③幅，他是把8個小圓看作單位1，表示1個加3個等于4個。

生6：我看明白了第②幅，他是把1個圓看作單位1，先取其中的1份表示，再取這樣的3份表示，意思是1個加3個等于4個;我覺得這幅圖比第①幅和第③幅更高級，因為他把算式畫在一個圖里了，既簡潔又明白。

師（評價）：老師特別欣賞生6的評價，他更全面地對第②幅作品做出了點評，你們還有補充嗎？

生7：雖然第①幅和第③幅圖的計算過程都很清晰，但是我覺得第②幅圖更直觀，不僅畫得簡單，還表達得清楚，我要向生6同學學習！

生8：如圖5，我是用線段圖來表示的，大家看看對不對？

生生互評，覺得很好！

生9：我是用文字來表示的（如圖6）。

[在同分母加法中，得出的和分母不變，分子則由加數(shù)的分子相加而得，故+=。]

生10：生9總結(jié)得很好，我提煉為“在同分母加法中，分母不變，分子相加”。

全班認同，自發(fā)鼓掌。

師：大家都很會學習。對+這道加法計算，老師選了3位同學課前的作品（圖7），請大家來評價。

生11：③號圖明顯不對，用圖表示第一個加數(shù)時，他把“2個圓”看作整體“1”;表示第二個加數(shù)時，他把“8個圓”看作整體“1”，兩個加數(shù)的單位“1”不統(tǒng)一，肯定不正確。

生12：分母不同，不能直接相加，要先轉(zhuǎn)化成同分母分數(shù)。

師：為什么要轉(zhuǎn)化成同分母呢？

生13：為了讓兩個加數(shù)的單位統(tǒng)一，第一個加數(shù)是1個，第二個加數(shù)是3個，兩個加數(shù)的單位不一樣不能直接相加，轉(zhuǎn)化成4個就能相加了。

師：還有補充嗎？

生14：我看①號把轉(zhuǎn)化成，變成同分母就容易計算了，畫圖也是對的。

生15：異分母分數(shù)相加要先通分，變成相同的分母后再把分子相加，比同分母加法多了一步轉(zhuǎn)化的過程。

生16：只要統(tǒng)一分數(shù)單位就能計算了。

以上教學片段呈現(xiàn)了有序的結(jié)構(gòu)化學習。在“分數(shù)加減法”算理理解和算法提煉的教學中，教師用學生的作品喚醒新舊知識的聯(lián)結(jié)，讓學生去點評同伴的作品，在評價中發(fā)現(xiàn)運算的本質(zhì)，掌握運算方法，理解運算的一致性。

（3）第三環(huán)節(jié)：創(chuàng)編算式，遷移貫通“一致”

在分數(shù)減法教學時，教師不是采用新知教學的方式，而是讓學生用、、和四個分數(shù)來編減法算式。學生在教師引導下編寫同分母及異分母減法，利用學法遷移，理解分數(shù)減法的方法和分數(shù)加減法通分的原理。這樣，學生從本質(zhì)上理解在數(shù)的運算中單位不同不能直接相加減，化成相同單位才能相加減，形成了整體性和一致性的數(shù)學思維。

（4）第四環(huán)節(jié)：拓展提升，轉(zhuǎn)化明晰“一致”

教師出示挑戰(zhàn)題：

①-0.2=

②=

③+=

通過三道題，能讓學生打開分數(shù)運算的思維，與小數(shù)融通，與分數(shù)乘法呼應(yīng)，用字母建模，在挑戰(zhàn)練習中深入感悟“數(shù)與運算”一致性的精髓，深刻體會“數(shù)與運算”一致性的本質(zhì)。

四、結(jié)語

教師要充分認識“數(shù)與運算”一致性的價值，重視知識、方法、思想之間的結(jié)構(gòu)化聯(lián)系，徹底改變“數(shù)與運算”教學相互孤立的教學模式。教師要轉(zhuǎn)變理念，從思考“教什么”轉(zhuǎn)變?yōu)椤坝薪Y(jié)構(gòu)地教”，讓“數(shù)與運算”教學結(jié)構(gòu)更清晰，使學生享受有質(zhì)量的數(shù)學教育。

作者簡介：周珊珊（1977—），本科學歷，高級教師，從事小學數(shù)學教學與研究工作，曾獲部級優(yōu)課、浙江省教改之星金獎、浙江省優(yōu)質(zhì)課二等獎、舟山市名師等榮譽。