經歷探索過程 發現數學規律

[摘? 要] 從廣義上說，數學本質上是探索規律的一門科學。對小學生而言，學習數學就是經歷探索規律的過程和掌握探索規律的初步方法。文章以“表面涂色的正方體”一課的教學為例，談談如何多角度地引導學生經歷探索規律過程，發現數學規律，積累活動經驗。

[關鍵詞] 探索規律;經歷過程;積累經驗

探索規律是數與代數領域教學的重要組成部分，其內容廣泛存在于小學數學各階段的各種課型中，如新授課、練習課、專題課等。探索規律作為一種貫穿整個數學教學的長線，存在數學學習的各個階段、各個方面，要求學生能夠探索給定情景中隱含的規律以及變化趨勢。

蘇教版教材從三年級上冊開始逐步安排探索規律的專題活動，引導學生經歷由特殊到一般、具體到抽象的歸納過程，獲得發現和表達規律的經驗，初步感悟推理、歸納等數學思想方法，體會數學知識的嚴謹結構，培養用數學語言表達的能力。

“表面涂色的正方體”是一節典型的規律探索類課型，教師要引導學生經歷操作、觀察、想象、歸納等過程，探索表面涂有顏色的小正方體的各種情況以及其中隱含的規律，并嘗試用含有字母的式子表達規律。因其操作情況復雜、觀察角度多元，對學生的空間想象能力提出了更高的要求，因此教學難度較大。筆者以“表面涂色的正方體”一課為例，具體闡述如何多角度引導學生經歷探索的過程，從而發現規律和表征規律。

一、自定學材，暴露學情

課堂中使用的學材，更多時候是由教師準備的，這無疑是正確的。因為教師準備的學材往往具有簡捷、易操作等特點，可以讓學生的操作更具有指向性，能夠節約課堂的時間，但存在忽視學生的生活經驗、知識起點、操作需要等問題。基于此，學材的選擇可以交給學生，讓學生根據自身的生活經驗和思維經驗，自主選定學材。

“表面涂色的正方體”一課用什么材料上課，一直是教師頭疼的問題。為了發揮學生的主動性和積極性，筆者將這個問題拋給學生。課前，筆者在班級提出這樣的要求：“在一個較大的正方體的6個面都涂上顏色，如果把這個正方體切成若干個同樣的小正方體，切成的小正方體藏著什么樣的秘密，這是我們下節課要研究的內容。請大家準備學具。”要求一提出，學生立刻“炸開了鍋”：“要切什么”“怎么切”的議論聲此起彼伏。其實，這不僅是學生關心的現實問題，更是這節課能否順利開展的前提。經過商討，學生選定三種學材，分別是橡皮泥、若干白色小正方體、不同階數的魔方，其中橡皮泥和魔方由學生自行準備，若干白色小正方體由教師提供，因為以前學習體積時，學生操作過大量的此類學具。

仔細分析學生的材料會發現，學生想象中的“切”是不同的，也代表著不同的想象力：橡皮泥可切可數，選擇這類學具的學生，更想依賴切和數的操作過程，想直觀地研究新問題;選擇白色小正方體的學生，明白“切”和“拼”這兩個看似不同的操作有一致性;選擇魔方的學生，相信已經由面及體、由外及里地展開了想象。

因此，材料的選擇，除了在形式上讓學生親自經歷了選擇材料的過程，還讓學生有機會暴露自己的思維起點和操作起點，使接下來的操作能在學生可掌控的范圍內進行，生成真操作、真經驗。

二、設疑引思，提出問題

1. 設疑：教師提出來的疑問

“表面涂色的正方體”一課與生活聯系得并不緊密，學生幾乎沒有直接的生活經驗，對于要探索的規律也是陌生的。因此，教師要先幫助學生理解什么是“表面涂色的正方體”、小正方體是指什么。筆者希望學生能夠親手切一切、拆一拆，通過操作、觀察，思考以下幾個問題：

（1）將棱平均分成幾份，可以得到幾個小正方體？

（2）涂色的小正方體分幾種情況，什么原因導致了涂色的情況不同？

（3）3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色各有幾個？請記錄下來。

2. 引思：學生做出來的疑問

課始，筆者要求學生用自己帶來的學具，將大正方體切成若干小正方體。其中，有3名學生將每條棱平均分成2份，得到了4個小正方體（他們的學材都是橡皮泥）;14名學生將每條棱平均分成3份，得到了27個小正方體（其中2名學生用的是橡皮泥，12名學生用的是白色小方塊）;1名學生將每條棱平均分成4份，得到了64個小正方體（由白色小方塊拼搭涂色后，再拆開）。

學生在這個操作的過程中，衍生出兩個新的問題：

（1）為什么明明是切大正方體，有的同學用先搭后拆的學具，也能達到目的？

（2）對比橡皮類的學具和小方塊類的學具，你更喜歡哪一種？為什么？

玩橡皮泥的學生感受到“切正方體”和“先想好要切的份數，然后拼出相應的大正方體，再拆開”也可以達到同樣的目的，并且學生親自體驗了將橡皮泥切成很多份的“難”，更能理解選擇學具不能想得太“簡單”。這樣的體驗，相比教師直接給定學具或者用課件演示，何嘗不是幫助學生積累活動經驗的一部分呢？

3. 再設疑：不想麻煩，唯有找規律

“現有的操作只達到了將棱平均分成4份的情況，那接著怎么辦呢？”一個學生很“沖動”地回答：“我們可以把小方塊集中起來，拼更大的正方形！”之所以說他很“沖動”，因為他的話并沒有引起其他學生的共鳴，反而其他人一致認為：“那多麻煩啊，是有規律的！”

沒有什么比學生自己提出問題更能激發其繼續探索的欲望。因此，在探索規律的過程中，教師不要急于拋出所有需要解決的問題或者需要探索的規律，要給學生一些思考的方向，給學生一些實踐的空間，一旦學生產生新的想法或問題，探索就將按照學生思維的生長點繼續前進。

三、觀察想象，走向規律

1. 以觀察現象為基礎發揮想象

基于真實的操作，學生很快發現，實物操作只能解決簡單的問題，如果將棱平均分成更多份，需要先找出規律。那從何找起呢？筆者認為，找規律得從觀察現象開始。課堂上，筆者找了一個把棱平均分成3份的學生，請他匯報是怎么數的。該生帶著一堆已經拆好的小方塊，分別數了3面涂色、2面涂色和1面涂色的數量，并不能很好地體現各類涂色正方體的特點。這時筆者并沒有急于糾正學生，而是給學生反思的機會，提出疑問：“你想讓我們觀察什么？”在交流的時候，學生不僅要表達出表象的東西，還要想辦法將過程呈現出來，因為操作的過程中往往蘊含了很多需要思考的東西。

該生很機智地拿起一個同學的3階魔方，邊指邊說：“3面涂色的正方體都在角落，有8個;2面涂色的正方體都在這兒（指向棱），一共有12個;1面涂色的正方體都在面上，一共有6個。”

動態的觀察，精彩的表達！筆者繼續引導：“結合你們自己的操作以及他的匯報，你們有什么體會？”學生從自身的操作經驗以及他人的操作經驗中，很快得出兩點共識：

一是3面涂色的都在頂點處，共8個;2面涂色的都在棱上，數出1條棱上的方塊個數，再乘12;1面涂色的都在面上，數出1個面上的方塊個數，再乘6。

二是可以不用真的切開，借助魔方想象，就可以繼續研究更多圖形。

2. 有序思考，發現規律

經過上一個環節的匯報和交流，學生意識到無論是觀察還是想象，都需要有序進行。在此基礎上，筆者引導學生繼續觀察4階魔方，想象5階魔方，直至更多階魔方，學生得出初步結論：

①3面涂色的個數都是8，因為都在頂點上;

②2面涂色的個數都是12的倍數，因為都在棱上;

③1面涂色的個數都是6的倍數，因為都在面上。

在教學中，教師僅僅停留在這一步還不夠，學生的思考還可以繼續前進：“每條棱上的個數和每個面上的個數只能數出來嗎？”在思維的關鍵處，這樣的提問是一種思維的延伸，也是規律的完善。學生親歷探索規律的過程，借助具體實物和數據能夠概括出個數與棱被平均分的份數之間的關系。

四、歸納發現，表達規律

探究進行到這里，學生從不同學材聚焦到魔方實物，經歷從切、拼、拆、數到想象、運算等過程，從而類推出規律。在概括規律時，因為能力有差異，學生采用的方式有所區別：一部分學生依然借助魔方來表達，一部分學生用文字表達出規律。這兩種表達都是正確的，是基于學生真實的探索經驗總結而來。

在此基礎上，筆者引導學生繼續往前走一步——用數學語言來概括規律。從復雜的文字到簡潔的語言，教師要給學生搭建一個“腳手架”。于是，筆者將應用規律和表達規律結合起來，激發學生：“如果將涂色大正方體的每條棱平均分成10份，3面、2面、1面涂色小正方體分別有多少個？”學生很快能根據之前概括的規律算出結果，并能通過3階魔方假想10階魔方，具體解釋是如何列式計算的。最后，筆者繼續引導：“再大一點，如果將涂色大正方體的每條棱平均分成n份，你能分別表示出3面、2面、1面涂色小正方體的個數嗎？”

五、回顧反思，積累經驗

其實研究到這里，探索表面涂色的正方體個數的規律并沒有完全結束。由于時間關系，筆者無法開展進一步探索。因此，筆者將這個問題留作學生課后的探索任務。之所以敢交給學生課后探索，是因為本節課學生經歷了整個探索規律的過程，積累了操作觀察、發現歸納、語言表達等活動經驗，能將這些經驗遷移至課后的研究中。為了讓學生對在課堂中學到的活動經驗有一個更清晰的認識，在課的結尾處筆者和學生一起回顧本節課的探索過程。

規律的呈現都是表面的，但數學的本質是高度抽象的。“探索規律”從現象出發，將其抽象成數學模型，并用數學語言表達出來。在此過程中，教師要多角度地激發學生的遷移能力、推理能力等，引導學生經歷科學的、完整的、系統的探索過程，發現規律、表達規律，感受規律的概括不是一個問題，而是一類問題。學生習得的規律既是某一結果性的知識點，還是一套可適用于其他領域學習的科學探索路徑。這樣的探究經驗能打開學生的學習視野，拓展學生的學習場域。

參考文獻：

[1] 劉曉玫. 讓學生想象在彩色的空間里[J]. 小學數學教師，2019（04）：31-32.

[2] 劉曉萍，曹志國. 對“探索規律”教學的叩問——以“釘子板上的多邊形”教學為例[J]. 小學數學教育，2018（08）：3.

作者簡介：孟佳燕（1990—），本科學歷，一級教師，從事小學數學教學與研究工作。