進階式教學:助推學生數學“認知爬坡”

[摘? 要] 進階是學生學習的推動力，也是數學學習的目的所在。在小學數學教學中，教師應當以前測為基礎，以目標為抓手、以互動為動力、以方式為支架，促進學生數學“認知爬坡”。開展進階式的教學，可以提高學生學習數學的動力，可以有效發展學生的核心素養。

[關鍵詞] 進階式教學;數學認知;認知爬坡

《禮記·曲禮》中說“拾級聚足，連步以上”，這一論述后來演變為“拾級而上”，指“順階梯步步往上走”。在教學領域，“學習進階”是美國教育家史密斯提出來的一個概念。所謂“學習進階”是指“在學習某一個概念過程中所遵循的系列性的復雜路徑”。進階式教學是一個循序漸進的從簡單到復雜、從陌生到熟悉、從片面到全面、從單一到綜合、從現象到本質、從復制到創造的發生、發展、創新的過程。開展進階教學除了能提升學生的數學學習能力之外，學生的核心素養也能得到充分發展。

一、以前測為條件，催生學生的“學習進階”

學生的“學習進階”類似一種“序列”。“學習進階”是描述學生在各個階段所遵循的一種連續性、連貫性、代表性、從單一到綜合、從簡單到復雜的學習過程。教師必須精準掌握學生的具體學情，從而讓自己的進階式教學有的放矢。以前測作為進階式教學的基礎是助推學生數學“學習進階”的前提、條件和保障。“前測”是對學生數學前知識經驗的一種探測過程。借助前測，教師能掌握學生的已有知識經驗等。

正如美國學者奧蘇貝爾所說，“影響學生學習數學的因素是學生知道并了解了什么，以此為基礎開展有效的教學活動”?！扒皽y單”不僅能讓教師了解學生的已有認知基礎，更能讓教師探測到每一位學生的認知邏輯。有了前測，教師的教學就能切入學生的“最近發展區”，引導學生由現有水平轉變成為可能的發展水平。比如教學“間隔排列”時，筆者借助前測單對學生開展前測工作。結果發現，學生對于具體的間隔排列問題都能通過簡單的、直觀的“數一數”得出相關的結論，但學生對于間隔排列的問題缺乏整體性、系統性的思考。因此，以學生的前測為基礎，筆者通過對教材主題圖“手帕和鑷子”“木樁和籬笆”“兔子和蘑菇”等一一間隔排列的物體進行集中呈現，引導學生“數一數”“填一填”“比一比”“說一說”，對“兩端物體相同”“兩端物體不同”的一一間隔排列的物體的規律進行概括，并努力促成學生對間隔排列問題的本質性理解，即“為什么有時候兩種物體的個數相等，有時候兩種物體的個數相差1個”。通過對間隔排列的兩種物體一一對應地“圈一圈”，能讓學生看到不同排列的兩種物體的組合，能讓學生發現間隔排列中兩種物體的對應關系。在此基礎上，筆者引導學生根據要求創造性地設計間隔排列。

以前測為基礎，能讓教師的教學更具針對性、實效性。在上述間隔排列問題的教學中，通過對學生的學情前測，教師將教學重點放置在引導學生建立“一一對應”的數學思想上。教師應引導學生構建起一一對應數學思想，激發每一個學生的好奇心，以及對數學學習的欲望，讓學生的學習積極性與創造性得到調動。對學生進行前測測試，可幫助學生突破教學的重難點，突破對數學的認知與思維的困境。

二、以目標為抓手，推動學生的“學習進階”

目標是學生數學學習的路標。教學中，教師不僅以學生的學習經驗為基礎，催生學生的“學習進階”，還能以學生的學習目標為抓手，推動學生的數學“學習進階”。從原點到目標是一個連續性的學習進程。進階視野下的數學教學，不僅要求學生的學習是連續性的，還要求教師的教學是連續性的。教學中，教師要夯實學生的數學學習基礎，指明學生的數學學習目標，要讓目標成為推動學生“學習進階”的“引擎”，成為指引學生數學“學習進階”的“燈塔”。

以目標作為抓手，教師要把握“此一課目標”與“彼一課目標”，把握“此一目標”與“彼一目標”。過去，只是教師知道自己的教學目標，而學生不知道自己的學習目標。學習目標的隱匿，導致學生的數學學習過程如同“在黑夜中前行”。比如教學“解決問題的策略——一一列舉”時，筆者在教學中呈現了這樣的教學目標：（1）讓學生經歷用列舉的策略解決簡單的實際問題的過程，掌握列舉的方法，讓列舉有序、不重復、不遺漏;（2）在問題反思、溝通過程中，可以更好感受一一列舉的價值以及存在的特點;（3）在列舉的過程中積累解決問題的經驗，增強解決問題的信心。借助于這樣的目標，筆者在教學中，引導學生采用列舉法來解決問題，并引導他們在這個過程中掌握相應的方法，這些方法比較多元化，比如分類法、序列法、窮舉法、規律探究法等。在教學中，針對學生的學習目標，借助不同的例題，引導學生逐步掌握列舉的策略。比如，“用22根一米長的柵欄圍成長方形花圃”主要是讓學生有序列舉;“四支球隊進行比賽”主要是讓學生不遺漏、不重復列舉。在后續的練習中，教師相機滲透、融入其他相關的列舉方法，如窮舉法、規律探究法等。以目標作為抓手，讓學生可以親身經歷列舉的過程。從列舉到有效列舉，到最后的策略性列舉，每一個過程學生都親身參與，效果自然不一樣。

學生開展數學學習，最后都要回到其原點：目標。目標不單是原點，也是學習的歸宿。教師在教學時需要進行有效“示標”，讓學生對準學習目標有計劃、有步驟地開展學習。目標是學習基礎，也是學習條件。教師以目標為抓手，讓學生的數學學習具有條理性，借助目標可引導學生的數學學習不斷進階。

三、以互動為動力，助推學生的“學習進階”

“學習進階”可理解成學習序列的進階，進階式教學注重學生數學學習的連貫性、層次性。教學過程中教師以互動作為原動力，促進學生開展有效的交流和對話，在進階式的教學中包括教師與學生、學生與學生的互動交流?；有越虒W能讓學生掌握一些基礎內容，然后向上而學，進一步掌握提升學習的方法。

比如“三角形的三邊關系”教學過程中，一些教師提供的工具是不會動且長度固定的小棒，這樣的素材不利于學生進行的多元互動。在教學中，筆者設計了靈活多變的小紙條。其中一根紙條固定不變，另外兩根紙條的長度不斷變化，從而導致三根紙條的關系不斷變化。當兩根變化的紙條的長度和小于或者等于第三根紙條的時候，三根紙條不能圍成三角形;當兩根變化的紙條的長度和大于第三根紙條的時候，還會出現另外兩根紙條的長度和小于這一根紙條的情形。這樣的發現讓學生彼此之間積極互動：有的學生認為，三角形a、b兩條邊的和必須大于第三條邊c，三角形a、c兩條邊的和也必須大于第三條邊b，三角形b、c兩條邊的和也必須大于第三條邊a;有的學生說，三角形的三條邊中任意兩條邊的和都必須大于第三條邊;還有的學生說，三角形的三條邊中，較小的兩條邊的和必須大于最長的那條邊等。在互動的過程中，學生對“三角形中較小的兩條邊的和大于第三條邊”產生了異議：有的學生說，如果三角形中有兩條邊相等，并且這兩條相等的邊可以是較小的邊也可以是較長的邊，用“三角形中任意兩條邊的和大于第三條邊”來規定三角形的三邊關系比較好。這樣，學生在這種多元互動的過程中，對“三角形的三邊關系”的認知實現進階，感悟到“任意兩條邊的和大于第三條邊”的“三條邊圍成三角形的充要條件”中的“任意”一詞的必要性、精準性、科學性、合理性。

多元互動能夠促進學生對數學知識的建構，對方法、思想等的感悟。在小學數學教學中，教師要引導學生對數學知識進行深度分析，從而促進學生對數學知識的認知、思考，讓學生把握數學知識的本質、關聯。教師要為學生的“學習進階”提供支持，讓學生科學、合理地建構新知。通過多元互動，讓學生對數學知識的建構更深入、更連續、更精準、更富有意義和價值。

四、以方式為支架，引導學生的“學習進階”

開展進階式教學，教師要以互動為動力，以方式為支架。以學習方式為支架，關鍵是要依循學生的學習興趣，盤活學生的學習經驗，激發學生的數學思維、想象，讓學生經歷充分的數學化、形式化、公理化的學習過程。

比如教學“運算律”時，教師可以引導學生建構“學習模”。具體而言，就是教師在引導學生學習“加法交換律”的時候，先聯系學生的生活，引導學生積極猜想，然后引導學生積極驗證。通過這部分內容的學習，教師引導學生總結現有的學習方法，并做好歸納工作，這種方法稱為不完全歸納法。以方法為基礎，教師要引導學生開展進階式學習，讓學生可以自主學習更多的內容，如乘法的交換律等各種內容。

這樣基于“不完全歸納法”的學習能讓學生在數學學習過程中積極主動地提出相關的問題，并積極主動地舉例驗證。對學生而言，“不完全歸納法”作為一種重要的學習方式，不僅對學習“運算律”這部分內容，而且對學習其他相關內容都具有重要的意義和價值。以學習方式為支架，能引導學生的數學學習不斷進階，能有效發展學生的高階思維和高階認知。

在小學數學教學中，學生表達數學知識、表征數學知識的方式等都是不盡相同的。教師要賦予學生自主表達數學知識的權利、時空，讓學生能用自己喜歡的方式進行表達。在這個過程中，教師要融入、滲透相關的數學思想方法。以相關的學習方式為學生數學思考、探究的“腳手架”，能助推學生數學思維螺旋式發展。進階式教學能優化學生的數學思維和認知品質。

“進階”是學生數學學習的一種方式，也是學生數學學習的動力和目的。教師要以前測為基礎、以目標為抓手、以互動為動力、以方式為支架，助推、引導學生的數學學習不斷進階。進階式教學能促進學生的“認知爬坡”，能促進學生的數學學習力不斷提升。

作者簡介：王涵（1990—），本科學歷，中小學二級教師，從事小學數學教學工作。