基于修正Gram睸chmidt法的雙連通區域數值保角逆變換計算法

摘?要：研究基于模擬電荷法的雙連通區域的數值保角逆變換問題。利用修正GramSchmidt法求解雙連通區域數值保角逆變換中的約束方程組，解得模擬電荷量和逆變換半徑，構造出近似保角逆變換函數。通過數值實驗驗證算法的有效性。

關鍵詞：模擬電荷法；數值保角逆變換；修正GramSchmidt法；雙連通區域

中圖分類號：O241.85??文獻標識碼：A

The?Modified?GramSchmidt?Method?for

Numerical?Inverse?Conformal?Mapping?of?Double?Connected?Domain

Wang?Jian

Xingzhi?College?of?Xi'an?University?of?Finance?and?Economics?Shaanxi?Xi'an?710038

Abstract：The?problem?of?numerical?conformal?inverse?transformation?in?the?doubly?connected?region?based?on?the?simulated?charge?method?is?studied.The?modified?GramSchmidt?method?is?used?to?solve?the?constraint?equations?in?the?numerical?conformal?mapping?inverse?transformation?in?the?doubly?connected?region.The?simulated?charge?quantity?and?the?radius?of?the?inverse?transformation?are?solved，and?the?approximate?conformal?mapping?inverse?transformation?function?is?constructed.The?effectiveness?of?the?algorithm?is?verified?by?numerical?experiments.

Keywords：Simulated?charge?method；Numerical?conformal?inverse?transformation；Revised?Gram?Schmidt?method；Double?connected?region

保角變換在物理學和工學領域［13］應用廣泛。求解保角變換的方法分為解析法和數值法。解析法僅在一些特殊區域得到函數表達式。對于復雜區域的實際問題必須采用數值法求解函數。數值法主要有積分方程式法［4］、正交多項式法［5］和有限差分法等。模擬電荷法首次由德國人Steinbigler［6］提出。天野要等學者對模擬電荷法和數值保角變換等做了大量研究工作，提出了基于模擬電荷法的數值保角變換計算法（天野法）［712］。保角變換分為單連通區域保角變換［78］和多連通區域保角變換［12］，文中研究雙連通區域數值保角逆變換問題［11］。

修正GramSchmidt法（MGS法）［13］是實現系數矩陣A的QR分解非常有效的算法之一。它是對古典GramSchmidt法（GS法）的改進，在數值上更加穩定。文中利用修正GramSchmidt法解雙連通區域數值保角逆變換中的約束方程組，得到模擬電荷量和逆變換半徑，構造近似保角逆變換函數，利用數值實驗驗證了所提算法的有效性。

1?雙通區域數值保角逆變換計算法

本節給出基于模擬電荷法的雙連通區域數值保角逆變換計算法。如圖1，在w平面上，同心圓圍成的區域μ＜w＜1，其中μ是小圓的半徑，大圓是單位圓。約束點分布在邊界上，模擬電荷點分布在同心圓圍成的區域外部。通過數值保角逆變換將同心圓的邊界及區域μ＜w＜1變換成z平面上兩條封閉的Jordan曲線C1和C2所圍成的區域D。其中，C1為外邊界，C2為內邊界。

+代表模擬電荷點；·代表約束點

圖1?基于模擬電荷法的雙連通區域數值保角逆變換

在不失一般性的情況下，假定映射函數f（0）=0，f（w）滿足正規化條件f（∞）=∞，f′（∞）＞0時是正則的，即

f（w）=weg（w）+ih（w），μ＜w＜1（1）

g（w）是Dirichlet型勢場問題

SymbolQC@

2g（w）=0，μ＜w＜1

g（w）=logz－logw，w=1

g（w）=logμ－logz－logw，w=μ（2）

的解。其中h（w）是g（w）的共軛調和函數。

根據模擬電荷法，g（w）可以用同心圓所圍成的區域外部配置N個電荷點ζj作為極的對數勢場的一次結合

G（w）=-∑Nj=1Qjlogw－ζj（3）

高度近似。這里h（w）可以用

H（w）=-∑Nj=1Qjarg（w－ζj）（4）

高度近似。另外，μ由M近似。

ζj（j=1，2，…，N）為電荷點，分布在給定的區域外部，即N/2個分布在單位圓的外部，另外N/2個分布在小圓的內部。因此雙連通區域數值保角逆變換可以看成是單連通區域內部數值保角逆變換和單連通區域外部數值保角逆變換的組合。故邊界條件也可以看作是單連通區域內部數值保角逆變換邊界條件和單連通區域外部數值保角逆變換邊界條件的組合。因此，未知電荷Qj可以通過滿足下面的邊界條件進行求解：

∑Nj=1Qjlogwi－ζj=logwi－logzi（5）

∑Nj=1Qjlogwi－ζj+logM=logwi－logzi（6）

又由條件g（∞）=0，h（∞）=0，可得：

∑Nj=1Qj=0（7）

其中，zi（i=1，2，…，N）是雙連通區域數值正保角變換的約束點，wi是經過zi數值保角正變換得到的映射結果，即wi有N/2個分布在單位圓上，另外N/2個分布在小圓上。由式（5）到式（7）可得N+1維線性方程組如下：

a11…a1，N/2+1…a1，N0

aN/2+1，1…aN/2+1，N/2+1…aN/2+1，N1

aN1…aN，N/2+1…aNN1

01…10Q1

QN/2+1

QN

logM=logw1－logz1

logwN/2+1logzN/2+1

logwN－logzN

0（8）

其中，aij=logwi－ζj（9）

通過式（3）、式（4）和方程組（8）得到近似保角逆變換函數：

F（w）=weG（w）+iH（w）（10）

最后，利用G（w）、H（w）計算雙連通區域數值保角逆變換。

2?基于修正GramSchmidt法的保角逆變換模擬電荷求解

將約束方程組（8）式寫成標準線性方程組Ax=b的形式，其中Ax=b、x∈RN+1、b∈RN+1，約束方程的系數矩陣A是非對稱的，修正GramSchmidt法（MGS法）是實現系數矩陣A的QR分解非常有效的算法之一。它是對古典GramSchmidt法（GS法）的改進。修正GramSchmidt法（MGS法）可用于求解大型非對稱線性方程組，因為該方法在數值上更穩定且矩陣Q的逆由QT給出。根據參考文獻［13］，可以得到修正GramSchmidt法求解約束方程組（8），其算法步驟如下：

Input?A，b，x.

for?k=1∶n

R（k，k）=‖A（1∶m，k）‖2；

Q（1∶m，k）=A（1∶m，k）/R（k，k）；

for?j=k+1∶n

R（k，j）=Q（1∶m，k）TA（1∶m，j）；

A（1∶m，j）=A（1∶m，j）-Q（1∶m，k）R（k，j）；

end

end

y=Q（1∶m，k）＼b；

x=R（k，k）＼y；

Output?x.

3?數值實驗

為驗證算法的有效性，在MATLAB13b環境下，以橢圓為邊界的雙連通區域為例，利用模擬電荷法對雙方向的雙連通區域數值保角變換進行數值實驗。雙連通區域數值保角逆變換的誤差由error=max（maxC1f（w）－zi，maxC2f（w）－zi）確定［14］，其中zi是雙連通區域數值保角正變換的約束點。為檢驗修正GramSchmidt法求解保角逆變換中約束方程組的有效性，雙連通區域數值保角逆變換計算法的步驟如下：

Step1?通過雙連通區域數值保角正變換得到約束點zi和映射點F（zi），將F（zi）的位置作為雙連通數值保角逆變換的約束點wi的位置，即wi=F（zi）。

Step2?根據約束點wi設置保角逆變換模擬電荷點ζj及其他參數。

Step3?通過修正GramSchmidt法求解約束方程組（8）得到模擬電荷Qj。

Step4?對同心圓的邊界及外部區域的每一個點通過式（3）和式（4）計算得到G（w）和H（w）后，代入近似保角逆變換函數（10）中計算對應的變換點。

例?橢圓為邊界C1：x2a21+y2b21=1，C2：x2a22+y2b22=1，這里a1=7，b1=5，a2=5，b2=1。

圖2—圖5中粗實線表示邊界，細實線表示等高線，約束點分布在邊界上，黑色“+”表示模擬電荷點，約束點和模擬電荷點一一對應。圖2表示雙橢圓邊界C1和C2圍成的區域及其等高線和模擬電荷點位置。圖3表示將雙橢圓區域通過數值保角正變換后得到的同心圓區域及其等高線。從圖2和圖3可以看出對于C1和C2所圍成的區域內的任意部分經過數值保角變換對應的仍然是變換后圍成區域的內部，同時雙橢圓邊界經過保角變換對應變成了同心圓的邊界。圖5表示同心圓的邊界及其等高線和模擬電荷點位置，圖4是將圖5通過F（w）映射成雙橢圓區域。從圖4和圖5可以看出，通過數值保角逆變換又將同心圓邊界及其圍成的內部區域變換成了由C1和C2所圍成的邊界和內部區域。從而驗證了修正GramSchmidt法的雙連通區域數值保角逆變換計算法的有效性。圖6給出的是雙連通區域數值保角逆變換當N=95時邊界及模擬電荷的分布情況。圖7表示雙連通區域數值保角逆變換的誤差曲線，由圖可看出，隨著電荷點數的增加，保角逆變換誤差減小，在N=95時，誤差值為6.1×10－2。

4?結論

利用修正GramSchmidt法求解雙連通區域數值保角逆變換模擬電荷法中的約束方程組，進而構造保角逆變換函數，提出了基于修正GramSchmidt法的雙連通區域數值保角逆變換計算法。利用橢圓為邊界進行了雙連通區域數值保角逆變換數值實驗，數值實驗驗證了所提計算法的有效性，并用等高線模擬了雙連通區域數值保角逆變換的計算結果。

參考文獻：

［1］祝穎潤，曹俊飛，王瑞庭.保形映射的一個充分必要條件［J］.東北師大學報（自然科學），2016（1）：159160.

［2］余宗璞，楊懿昕，王儼錚，等.三維人臉測量與分割系統研究［J］.應用光學，2021，42（4）：664670.

［3］Ghosh?N，Karmakar?T，·?G?P?Raja?Sekhar.Application?of?conformal?mapping?to?twodimensional?flows?in?an?anisotropic?aquifer［J］.Indian?Journal?of?Pure?and?Applied?Mathematics，2021（2）.

［4］Sangawi?A?W?K，Murid?A?H?M，Nasser?M?M?S.Annulus?with?circular?slit?map?of?bounded?multiply?connected?regions?via?integral?equation?method［J］.Bulletin?of?the?Malaysian?Mathematical?Society，2012，4（4）：945959.

［5］Kim?J?W，Lee?D?J.Optimized?compact?finite?difference?schemes?with?maximum?resolution［J］.Aiaa?Journal，1996，34（5）：887893.

［6］Singer?H，Steinbigler?H，Weiss?P.A?Charge?Simulation?Method?for?the?Calculation?of?High?Voltage?Fields［J］.Power?Apparatus?&?Systems?IEEE?Transactions?on，1974，PAS93（5）：16601668.

［7］Amano?K.Numerical?Conformal?Mapping?of?Exterior?Domains?Based?on?the?Charge?Simulation?Method［J］.Ipsj?Journal，1988，29（1）：6272.

［8］呂毅斌，王堅，王櫻子，等.基于LSQR法的外部數值保角逆變換計算法［J］.數學雜志，2019，39（02）：287296.

［9］Amano?K，Dai?O，Ogata?H，et?al.Numerical?conformal?mappings?onto?the?linear?slit?domain［J］.Japan?Journal?of?Industrial?and?Applied?Mathematics，2012，29（2）：165186.

［10］Amano?K.A?charge?simulation?method?for?the?numerical?conformal?mapping?of?interior，exterior?and?doublyconnected?domains［J］.Journal?of?Computational?&?Applied?Mathematics，1994，53（3）：353370.

［11］Amano?K.Numerical?conformal?mappings?of?interior?both?directions?domains?based?on?the?charge?simulation?method［J］.Trans?Inform?Process?Soc?Japan，1990，5：623632.

［12］王櫻子，賴富明，呂毅斌，等.基于Padé迭代法的數值保角變換計算法［J］.數值計算與計算機應用，2016，37（4）：299306.

［13］G.H.戈盧布，C.F.范洛恩.矩陣計算［M］.北京：科學出版社，2001.

作者簡介：王堅（1992—?），男，陜西西安人，碩士，助教，主要從事科學計算研究。