新版課標視域下小學數學高階思維的內涵、價值及培養策略

基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃2022年度重點課題“新版課標視域下小學數學高階思維培養實踐研究”（立項號為B/2022/03/215）。

作者簡介：孟慶甲（1974—），正高級教師，江蘇省小學數學特級教師，全國優秀教師，連云港市教育科學研究所研究員。曾獲江蘇省“333高層次人才工程”培養對象、省教科研先進教師、省課程改革先進個人、省“杏壇杯”課堂教學展評特等獎等榮譽，先后主持和參與省級課題7項。

［摘 要］ 數學是思維的科學，數學高階思維能促進學生深刻揭示數學本質屬性。基于此，教師應打造充滿智慧與思辨的數學課堂，通過深度打磨、不斷探索，讓高階思維的觸角延伸力更加犀利；通過精心建模、精益求精，讓高階思維的拓展優化力更加靈活；通過情智在場、具身投入，讓高階思維的內在驅動力更加“魔幻”。

［關鍵詞］ 數學高階思維；內涵；價值；培養策略

數學是思維的科學，它為人們提供了一種理解與解釋現實世界的思考方式。毫不夸張地講，沒有思維就沒有真正的數學學習，也就無法深入研究數量關系和空間形式。學生只有靈活掌握和運用數學思維，才能不斷挖掘自身的數學學習潛能，形成和擁有個性化的數學眼光、數學思維和數學語言。培養和提升學生數學高階思維力，能真正實現“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”［１］。實踐證明，教師只有打造充滿智慧與思辨、靈動與創新的數學課堂，才能引導學生逐步跨越淺表思維、低階思維，才能真正使學生迷戀數學學習，催生高階思維、啟迪靈動智慧、升華數學思想。

一、新版課標視域下數學高階思維的內涵

所謂數學高階思維是指在富有挑戰性的數學學習活動中，教師圍繞明確的數學學習目標和數學任務，讓學生通過觀察分析、積極猜設、實踐操作、思辨驗證，具身經歷和體驗不斷發現問題、提出問題、分析問題與解決問題的探索研究過程，能夠靈活運用數學批判性思維、創造性思維解決問題的高層次認知水平的心智活動或認知能力［２］。

由此可以發現：數學高階思維具有問題性，具備創設情境、巧設問題、驅動引領、追本溯源的功能；數學高階思維具有深刻性，能夠達到聚焦本質、鞭辟入里、逐層推進、透徹深刻的作用；數學高階思維具有靈活性，能夠靈活切入、善于變通、多元思考、舉一反三；數學高階思維具有嚴謹性，并具有過程嚴謹、思考全面、有理有據、嚴絲合縫的特點；數學高階思維具有批判性，能夠促進學生理性面對、敢于質疑、不斷反省、審視思辨；數學高階思維具有獨創性，能夠促使角度新穎、善于發散、思維獨特、追求創新。

二、新版課標視域下數學高階思維的價值

1. 深刻揭示數學本質，促進思維多元鏈接、結構生長

數學高階思維能夠促使學生不斷深入數學知識內核、問題深處，逐步抽絲剝繭、清晰地把握和揭示數學知識、數學問題的來龍去脈與本質屬性，同時不斷喚醒和鏈接直接或間接的數學知識、方法、客觀現象、真實情境與自身經驗，建立多方、多維、多元的知識邏輯聯系、解決問題方法和策略的邏輯聯系，建立網絡化、立體式的知識結構。

2. 深層依據概念原理，驅動邏輯思維推理、智慧思辨

數學高階思維能夠促使學生精準把握、透徹理解和靈活運用數學概念、定理、法則和公式，依據數學事實、生活實際、內在規律以及科學原理進行智慧思辨，開展合乎邏輯的深度分析與邏輯推理，通過多元思考、舉一反三形成有說服力的數學結論，掌握智慧解決問題的策略和思維方式。

3. 深度發展批判思維，形成科學理性精神、關鍵能力

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：發展學生質疑問難的批判性思維，形成實事求是的科學精神，初步養成講道理、有條理的思維品質，逐步形成理性精神［１］，這是對培養學生數學核心素養的客觀描述。擁有數學高階思維能夠讓學生的思維更加科學理性、嚴謹敏銳，更加善于質疑批判、反省思辨，更加聚焦問題疑難點、矛盾突出點、知識模糊點、方法切入點，追尋和探求數學知識的前世、今生與將來，數學問題的源頭、本質與價值，從而形成科學理性的數學精神。

三、新版課標視域下數學高階思維的培養策略

培養學生的數學高階思維對提升學生的數學核心素養有巨大的促進作用，因此，每位數學教師應立足課堂，聚焦學生高階思維進行深度打磨，不斷反思與建模，實現入“模”后的華麗出“模”，最終發展學生的數學高階思維。

1. 深度打磨，讓高階思維延伸力更加犀利

學生在進行數學學習時，教師要引導學生循序漸進、不斷打磨和探索，尋找知識理解的適切方法、解決問題的不同策略，這樣才能讓學生高階思維的觸角延伸力更加犀利。

（1）精準捕捉認知生長點，在步步追問中不斷推敲

數學學習一環緊扣一環，認知、思維生生不息，學生只有找準數學認知生長點，不斷激活思維，才能讓思維向深處延伸、在高處進階。數學認知生長點包知識學習、問題解決、規律探索、思維拓展等方面。在這些數學認知思維生長節點上，教師要循序漸進、步步追問、不斷深入、遞進引領學生進行思考。

①數學知識的概念內涵是什么？本質特征是什么？優點和用途是什么？它后續生長點、連接點在哪兒？

②在解決問題時，是從問題入手反向思維簡單明了，還是從條件入手正向分析思考清晰快捷？

③除了已展示的思路外，還可以從什么方向入手，如何列式解答，這幾種解法有哪些相同點及不同點？這些方法、策略對今后解決問題有怎樣的啟發？

比如，教學“平均數”時，教師出示例題：四年級第一小組的男生、女生進行套圈比賽，每人套15個圈。如圖1，統計圖表示男生、女生套中的個數。男生套得準一些還是女生套得準一些？你想怎樣比？你打算怎樣求男生平均每人套中的個數？

當學生通過學習和探究，認識到“要先分別求出男生和女生平均每人套中的個數再比較，這種比較方法才合理”后，教師循序漸進、步步引領：如何操作才能直觀、清晰看出“男生平均每人套中的個數”？學生經過自主思考、同桌討論，積極交流想法：可以把小明9個中的1個移給小剛，1個移給小杰，每人的成績都是7個。

教師追問：為什么要這樣操作？你能給這種操作方法起個恰當的名字嗎？學生紛紛答道：把小明多的個數移出來，補給少的，這樣每個人套中的數量就是同樣多；這種方法可以叫作“移多補少”。

在學生理解掌握“移多補少”方法后，教師啟發：除了動手操作“移多補少”的方法外，還可以怎樣得出“男生平均每人套中的個數”？學生紛紛回答：可以通過計算，先求出4個人套中的總個數，再平均分成4份。列式為：（6＋9＋7＋6）÷4=28÷4=7（個）。

教師追問：（6＋9＋7＋6）表示什么？28÷4表示什么？7表示什么？這種方法可以怎樣簡稱？這樣在學生充分理解算式的同時，清晰歸納出計算策略，即先合并（求總和），再平均分。

雖然學生已探索出“移多補少”及計算這兩種方法，已經完成解答任務，但是教師應進一步啟智引思：除了以上兩種方法外，還有不同的方法嗎？有部分學生經過個人深思及小組共同研討，拓展出新的思路：在6的上面畫一條線，求出6后面的平均數，再和6相加，即：（3+1）÷4=1（個），6+1=7（個），所以7是這組數的平均數（如圖2）。

教師佯裝不懂：這種方法和第二種方法有什么異同？學生的思維在深度反思中不斷拓展進階：雖然同樣是計算，但是第二種方法是平均分總數，第三種方法是平均分6后面的部分，平均分的總數少。

探索到這里，教師可以進一步啟發學生：女生平均套中的個數如何求？通過上面的思考與探索，對今后你的數學學習有怎樣的啟發？這樣的思考使得學生的數學思維、數學學習形成整體性、結構化。

（2）精準把脈思維困惑點，引導學生在“憤悱處”反復琢磨

數學思維困惑點包括自我生成的思維困惑點和學生提出自己不理解的思維困惑處。當然，數學思維的困惑點不一定是低階思維，是學生從低階思維走向高階思維的必經路線及突破口。針對學生自我生成的思維困惑點，教師要引導學生不能急躁與氣餒，而應冷靜思考、清晰審視：“我是沒有真正理解概念還是不會動手操作實踐？是不會舉例驗證欠缺邏輯推理，是思維過于機械還是鉆進了牛角尖，方向跑偏了？”對于學生提出自己有同感的思維困惑處，教師也要引導學生進行深刻剖析、深度思考、反復琢磨，不斷逼近問題的本質，只有如此學生才能打通思維堵點和思維斷點。

比如教學“三角形三邊關系”時，當學生通過操作、思考歸納出“三角形三邊關系”即“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”時，其實學生的理解大多只是明面上的理解，還比較膚淺，沒有真正理解透徹。當學生面對教材練習題“先量出兩根小棒的長度，再想一想，能和它們圍成三角形的第三根小棒的長可能是多少厘米”時，學生反應不一：通過測量發現兩根小棒分別長8厘米、3厘米，有的學生根據已經學的“三角形三邊關系”，認為可以是8厘米，有個別學生不假思索地認為3厘米也是可能的，由此可見少數學生沒有真正理解“三角形三邊關系”，即怎樣的三條線段能圍成一個三角形。

為紓困解疑，打通學生思維困惑點，激活高階思維培育路徑，教師可以引導學生不斷打磨，通過觀察、思考3厘米是否是三條邊中最短的，為什么？通過思辨推理，學生發現如果比3厘米還短肯定無法圍成三角形。

教師再次追問打磨：8厘米這條小棒呢，一定是最長邊嗎？它存在幾種情況？學生思考后發現8厘米可以是最長的，也可以不是最長的。如果8厘米是最長的，另外一條邊最短是多少厘米？學生思考后得出應該最短6厘米，這樣符合“三角形任意兩邊長度的和大于第三邊”，同時可以引導學生，8-3=5，5<6，說明“三角形任意兩邊長度的差小于第三邊”。如果8厘米不是最長邊，那么可以用8＋3=11，說明最長邊應該小于11，最長邊最大為10厘米。綜上可見，能和8厘米、3厘米它們圍成三角形的第三根小棒長度小于11厘米、大于5厘米，即可能是10厘米、9厘米、8厘米、7厘米、6厘米。

2. 精心建模，讓高階思維拓優力更加靈活

數學學習過程中，學生如果能將數學思維恰當貫穿于學習的發生、發展與結果之中，多用“我是這樣思考的……”“為什么這樣做”“如果不這樣還可以怎樣”“除了這種策略外，我還想到”等具有思維深度的句式，就能真正關注思維的內在機理，讓思維的火花不斷綻放。

（1）精準剖析切入點，在比較中精益求精

數學學習過程中既要講究思維方法的多樣性，力求多點開花，又要從中尋找適合的、恰當的乃至最佳的思維方法。因為在學與教的過程中教師必須面對的是：是否需要對因思維發散而產生的各種方法進行必要的優化？答案不言而喻，數學中絕不是為了刻意追求“與眾不同”的方法多樣化與思維多樣化。因為與單一追求“多元化解題方法”相比較，數學應力倡與踐行思維的深化與優化，即應通過層層遞進的關鍵問題將學生的思維引向深入，而不只是簡單滿足于“越多越好”。

比如教學“乘法運算律”時，當學生理解并探索出乘法交換律、乘法結合律及乘法分配律后，教師可以出示：44×25，讓學生用簡便方法計算，并思考能想出哪幾種簡便方法？學生經過獨立思考后，分別得出以下幾種方法：

方法一： 44×25

=（40+4）×25

=40×25+4×25

=1000+100

=1100；

方法二：44×25

=（4×11）×25

=4×25×11

=100×11

=1100；

方法三：44×25

=（2×22）×25

=2×25×22

=50×22

=1100；

方法四：44×25

=44×5×5

=220×5

=1100；

方法五：44×25

=44×（20+5）

=44×20+44×5

=880+220

=1100；

方法六：44×25

=44×（10+10+5）

=44×10+44×10+44×5

=440+440+220

=1100。

當學生的思考與算法一一呈現在黑板上時，教師引導學生進行比較與優化：請大家仔細觀察這幾種簡便方法，比較一下哪一種方法更簡便快捷、易懂易掌握？說一說你的理由。

學生通過逐一比較和組內研討，紛紛指出：第二種方法最簡便，其次是第一種方法。理由是第二種可以運用乘法結合律，先算出4×25=100，然后再計算100×11=1100；第一種可以運用乘法分配律，分別計算出40×25及4×25的和，然后再相加。通過這樣的拓展與優化，在考慮算法多樣性時，能使學生的數學思維更加靈活與嚴謹，促進了學生高階思維的培養。

（2）精準聚焦發散點，在變式中求變創新

倡導聚焦思維發散點，即啟迪學生不拘泥于常規思維、常態思考，思維敢于發散、善于拓展、勇于創新，善于從不同的角度解決，力求一題多解，不斷挖掘學生自身的智慧潛力、思維潛能。學生在問題解決過程中可以不斷進行反思和發散思維：除了教材例題所展示的思路及教師講解的方法外，是否還有其他的思考角度、解題策略？當面對的問題已經順利解決后，我們還應思考對于所得到的結果能否做進一步的深磨和延伸？

比如教學“解決問題的策略——畫圖”時，在學生學習例題（小寧和小春共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有郵票多少枚）的過程中，理解了畫線段圖能使數量關系更直觀、更清楚，而且看線段圖分析數量關系更容易找到解題方法。同時通過學習和探索，絕大多數學生掌握了“兩人郵票的總數減去12枚，等于小寧郵票枚數的2倍，先算出小寧有多少枚”及“兩人郵票的總數加上12枚，等于小春郵票枚數的2倍，先算小春有多少枚”這兩種方法。

在此基礎上，教師可以聚焦思維發散點進行變式拓展，比如：小寧和小春共有72枚郵票，小春給小寧12枚郵票后，兩人的郵票同樣多。兩人原來各有郵票多少枚？

變式拓展后，讓學生再次審題可以發現原來兩人郵票枚數的相差關系發生了變化，不是“小春比小寧多12枚”了，而是“小春給小寧12枚郵票后，兩人的郵票同樣多”。如果學生不能透徹理解這句話“小春比小寧多兩個12枚”，就不能透徹分析數量關系和解決問題。因此，教學時，教師引導學生首先根據條件畫出線段圖，并且在線段圖上標出條件和問題（如圖3）。教師通過步步深入啟發學生：你是如何理解“小春給小寧12枚郵票后，兩人的郵票同樣多”的？它們的數量關系式是什么？你準備先算什么、再算什么？除了可以按照例1中的兩種解法外，是否還有不同的解法？

在上述的變式練習中，學生不但進一步理解了畫圖策略在解決問題中的重要性，而且在聚焦思維發散點時拓展了思路，思考出第三種解法：小春郵票枚數72÷2=36（枚），36+12=48（枚）；小寧郵票枚數36－12=24（枚）。

3. 情智在場，讓高階思維內驅力更加“魔幻”

數學是思維的體操，數學思維像體操一樣充滿陽光、健康和無限活力，像體操一樣具有韻律美、協調美、動感美。教師要運用自身的教育智慧（智慧的思想和設計），讓學生情智在場、具身投入，讓數學學習、數學問題和數學思維充滿“魔幻”，擁有無限的吸引力。

（1）內驅：適饑讓高階思維點燃“無限渴望”

“適饑”即適度饑餓，饑餓感是得不到滿足而產生的，因追求補充能量具有進取的動力。因此保持思維的適度“饑餓感”，能激發思維的工作積極性和創造活力。數學教學中，教師不能將問題塞滿整個教學過程，這樣會導致學生不停“趕路急思”，無法喘息休息，沒有真正的思考時間，無法思考與回味。教師應不僅讓學生擁有思維的適度饑餓感，滿足自身思維的基本需求，還要循循善誘，激發學生在數學學習的過程中思維的“無限渴望”——無限探索欲。

比如教學“分數的初步認識”時，在學生認識了蛋糕的后，教師要引導學生將實物抽象成圖形，一起探索圖形的。教師可從“做思共生”“且做且思”角度和理念進行引領：“剛才，我們認識了蛋糕的，如果老師給你一個圖形，你能先折一折再涂色表示它的嗎？”學生動手操作后，教師依次展示出學生的作品：正方形、三角形、平行四邊形、長方形。

教師提問啟思：①涂色部分是這個圖形的嗎？為什么？

②選擇的圖形不同，為什么涂色部分都表示呢？

③根據涂色部分表示這個圖形的，你還能想到什么？（目的是讓學生自主提出問題：沒有涂色的部分呢？）

然后通過折與涂不同圖形表示，教師逐步拓展：“同學們還想不想進一步探秘分數？如果老師給你們每人一個大小相同的圓，還能表示出它的幾分之一呢？”學生的探索激情被徹底激發出來，紛紛拿出圓進行操作研究，并用分數展示出來。教師追問：“形狀相同的圖形，為什么可以表示不同的分數？這些圖形還可以繼續平均分下去嗎？通過觀察，你發現了什么？”（目的是讓學生清晰認知：一個圖形平均分成幾份，每份就是它的幾分之一）

（2）外引：創境讓高階思維走向“自主生長”

很多時候學生數學思維是被動的、他主的，從而使其思維具有較大局限性。因此，教師要引導學生進行深度思維，讓學生的思維“自主生長”：即倡導自主提出問題、自主思考問題、自主探尋規律、自主反思觀點、自主歸納升華。教師通過精心創設情境，讓學生身臨其境，在點上觸擊、在線上觸碰、在面上觸摸，自然地觸動思維的自主生發、生長。

比如教學“可能性及可能性的大小”時，當學生理解和初步掌握了可能性及可能性的大小后，在練習階段，教師將問題置于現實生活中及學生喜聞樂見的情境中，不斷激發學生的學習熱情，引導學生進行數學思考，讓高階思維從“被動開展”走向“自主生長”。比如轉盤問題：五一國際勞動節期間，超市開展回報顧客活動，凡是在超市一次性購物滿98元可以轉動抽獎轉盤1次，一等獎是電風扇1臺，二等獎是電水壺1個，三等獎是牙膏1盒。如果你是超市老板，您會怎樣設置一、二、三等獎？（引導學生利用可能性的大小來說一說）

比如，教師可以創設砸金蛋問題情境（如圖4）：有6個金蛋，其中內有筆記本的1個，內有鋼筆的2個，其他是空的。

①在不知情的情況下，砸到筆記本、鋼筆的可能性哪個大？

②在不知情的情況下，砸不到獎的可能性和砸到獎的可能性哪個大？

隨著學生的熱情參與，在金蛋被一一砸開時，教師不斷圍繞“可能性及可能性大小”問題開展提問引思。問題情境的精巧創設，使學生由被動的需要轉化為學生探索數學知識和數學規律的主動意識與自覺選擇。

總之，聚焦新課標、立足數學課堂、著眼深度思維，引導學生不斷追尋數學高階思維力，讓學生養成數學素養，是每一位數學教師的不懈追求。

參考文獻：

［１］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０２２年版）［Ｓ］. 北京：北京師范大學出版社，２０２２.

［２］ 陳珍妮，吳仁芳. 數學高階思維的基本蘊涵、教育價值及培養途徑［Ｊ］. 教學與管理，２０２２（１８）：６４－６８.