基于“代表”，理解平均數統計意義

基金項目：2021年度廣東省教育科學規劃課題“小學‘深趣數學’教學研究”（2021YQJK113），2021年度廣東省中小學教師培訓中心科研課題“基于理解的小學數學教學表現性評價實踐研究”（GDSP-2021-C007）。

作者簡介：劉賢虎（1975—），本科學歷，正高級教師，廣東省東莞松山湖中心小學副校長，廣東省特級教師，廣東省名教師工作室主持人，曾獲2021年廣東省教育教學成果二等獎（基礎教育）。

［摘 要］ 平均數作為重要的代表量，主要用來刻畫一組數據的集中程度，表達總體的集中狀況。如何體現平均數的代表性，教師要根據核心目標重新設計教學課時與教學任務，以促進學生理解與掌握。

［關鍵詞］ 平均數；代表量；代表；統計意義

一、課前分析

人教版小學數學教材“平均數”安排了兩道例題，其中例1是借助平均分的意義來理解平均數不是指每個學生實際收集的礦泉水瓶數量，而是指“假設”四個學生收集的瓶子同樣多，從而算出平均每人收集的礦泉水瓶數量。例2是讓學生通過比較人數不同時各隊的成績，發現用平均數表示各隊的成績更Knw8YqjMl3VOeg/QgEE4yw==合適，進一步體會平均數的意義。顯然，教材先入為主，直接把平均數這個概念塞給學生，沒有讓學生經歷探索發現的過程，導致學生不能較好地理解平均數的“代表”作用，而“代表”是平均數最基本的特性。

如何凸顯平均數的代表作用，讓平均數的教學指向代表量的統計意義，筆者進行了初步的探索，將平均數的教學分為兩個課時：第一課時教學“代表量和平均數”，讓學生認識代表量和平均數，經歷一組數據的表征和理解，知道平均數、最高分、總分等可以代表一組數據的水平，初步理解平均數可以刻畫一組數據的集中趨勢，反映一組數據的整體水平，發展數據意識；第二課時教學“平均數的再認識”，讓學生理解平均數的意義、感悟平均數的特性。

二、教學實踐

1. 情境導入，問題引發

師：如圖1，大家看過這張圖片嗎？誰知道圖片里的信息？

生1：這是在北京冬奧會比賽的場景。

師：是的，這是2022年在我國舉行的冬奧會上，蘇翊鳴參加單板滑雪男子大跳臺決賽時的精彩瞬間。讓我們一起重溫蘇翊鳴奪金時激動人心的精彩瞬間。（播放單板滑雪男子大跳臺決賽視頻）

師：比賽中怎么判斷誰是冠軍？

生2：裁判打分，誰得分高誰就是冠軍。

教學意圖：重現蘇翊鳴冬奧會奪冠的真實情境，激發學生的學習興趣。

2. 問題探究，理解概念

oIQ1ykzjvzSCkOaFhgNvkQ==（1）知道數據，理解數據

活動1：2022年2月15日，在北京冬奧會單板滑雪男子大跳臺決賽中，蘇翊鳴的第二跳，四名裁判打分如下：93，93，94，92。

師：觀察裁判給出的四個分數，你知道了什么？

生1：四個分數都高于90。

生2：它們的平均分是93。

生3：成績在92到94之間。最高分是94，最低分是92……

師：你能畫出這四個分數嗎？怎樣畫能讓人一眼就能看清楚？

學生嘗試表征和進行交流。

師：如圖2，這幾幅作品大家能看懂嗎？

生4：圖2中①號、③號、④號都是條形統計圖，②號是統計表，⑤號是數線圖。

生5：圖2中①號和③號有一點不同，一個是從0開始，一個是從90開始。

師：大家想到了畫象形統計圖、條形統計圖、數線圖等，它們都能直觀呈現這四個分數。畫條形統計圖時可以從90開始，這樣比較清楚，方便比較。

師：你們覺得蘇翊鳴這一跳的成績用多少表示合適？說說你的理由是什么？

生6：因為93出現了兩次，出現的次數最多，所以我選93。

生7：因為93不是最多的，也不是最少的，在中間，所以可以用93表示蘇翊鳴的成績。

生8：我認為應該用最高分94來表示蘇翊鳴的成績。

生9：我認為可以用最低分92來表示他的成績。

生10：應該是用總分來表示成績。

師：大家各有各的理由。如果在③號條形統計圖上，畫一條水平線表示這一跳的成績，應該畫在哪里？

生11：我認為要畫在94那里，因為這個分數最高。

生12：94這個分數太高，其他三個數都達不到。應該和93對齊，把94移一個給92，它們都變成93了。

師：你說的93是怎么來的？和其中兩個裁判打的93是一回事嗎？

生13：這個93是把多的勻給少的得到的，是四個裁判的平均分。兩個93是裁判打的實際分數，是不一樣的。

師：這條線表示的93就是這四個分數的平均數。平均數是怎么得到的？

生14：把多的勻一點給少的。

師：其實剛才大家說的把多的勻一點給少的，讓幾個數變得同樣多，就可以得到平均數，這種方法我們可以稱之為“移多補少”。還可以怎么得到平均數？

生15：把這四個數加起來，再除以4。

師：一起來看，94是四個數中最大的一個，92是最小的一個，93是出現兩次的數，它們都是指四個數中的一個、兩個，都是與其中一部分有關。剛才我們畫的這條線，表示的93是和四個數都有關聯，集中了四個裁判的意見，是四個分數整體水平的體現。

教學意圖：發展學生數據意識應首先理解每一個數據，比如看這幾個數據分別表示多少、在哪個范圍、最大值是多少等，并進行描述和表征；然后，基于對數據的認識與表征，進一步思考在理解數據的基礎之上，如何選一個數來代表這一組數據，嘗試數據表達。

（2）認識代表量，了解平均數

活動2：蘇翊鳴第一跳的成績是89，89，90，90，成績用多少表示合適？

師：這一跳的成績應該用多少表示合適？同桌討論。

生1：我覺得用89不合適，用90好像也不合適。

生2：可不可以用89.5？

師：你是怎么想的？

生2：從90里拿出0.5給89，這樣這四個分數都變成89.5。89.5其實是它們的平均數。

生3：如果畫出條形統計圖，平均數畫線的地方就是89.5，也就是90拿出0.5給89。

師：你是把多的勻給少的，得到平均數。還可以怎樣得到平均數？大家為什么都選擇用平均數表示這一跳的成績？

生4：還可以把四個分數相加，再除以4。

生5：因為平均數89.5能表示它們的整體水平，和這四個分數都有關聯。

師：回顧一下我們是怎樣得出兩跳的平均成績的？

生6：把多的勻給少的，就是移多補少。

生7：還可以把這四個分數加起來，再除以4，也能得到平均數。

師：我們可以計算，也可以用移多補少的方法得出平均成績。我們一起看看，裁判是不是用這兩個平均數來表示蘇翊鳴的成績？（出示比賽現場分數）

教學意圖：第一跳的平均數和這組數據的數字都不一樣，需要通過移多補少找出來。學生再一次感受平均數是刻畫一組數據的集中程度和表達總體的集中狀況。學生經過充分的體驗活動進一步感悟平均數的代表作用。

（3）比較成績，理解代表量

活動3：比較一下蘇翊銘第一跳和第二跳，哪一跳成績更好，為什么？

生1：肯定第二跳好，第二跳的最低分都比第一跳的最高分高。

生2：第二跳總分比第一跳高。

生3：因為第二跳用數字93表示，第一跳用數字89.5表示。所以用這兩個數字比較就可以了。

師：如果把這些方法分成兩類，你會怎么分？

生4：一個一個地比分一類，其他的最高分、最低分、總分、平均數分一類。

師：為什么會這樣分？

生5：一個一個地比，比較了全部的數，而另一類只比較一個數。

師：也就是說這一類是用一個數表示了一組數，再進行比較，你的思維真清晰！裁判打了這么多的分數，為什么只用比一個數就可以了？

生6：因為這一個數就能代表裁判的四個分數。

師：代表這個詞表達真準確。當一個數能代表一組數，那么我們就稱這個數為代表量。比較這兩跳的兩組數據，原來我們是一個一個的去比，現在發現可以直接比較平均數、最高分、最低分或者總分，這些都是代表量。

師：你們認為用哪個代表量比較更合適？

生7：用平均數更合適。如果兩組數據比較接近，一個一個地比，可能有的高一些，有的低一些，這樣就比較麻煩。

生8：還有可能雖然最高分高一些，但是整體水平要低一些。因此比較平均數更合適。

師：比較兩組數據時，可以選擇不同的代表量。要表示一組數據的整體水平，平均數是很好的選擇。因為平均數作為一種代表量，可以很好地代表一組數據的總體水平。

教學意圖：學生通過辨析，發現兩組數據相差較大時，有多種比法；如果數據比較接近，平均數較為合適。

（4）感悟代表性和虛擬性

活動4：觀察蘇翊鳴這兩跳裁判的打分及這兩跳的平均數，你有什么發現，還有什么疑問？

生1：為什么第二跳的平均分和其中的兩個分數一樣，而第一跳的平均分和所有的分數都不一樣？

師：先看第二跳，第二跳的平均分93和兩個裁判的93分意思一樣嗎？

生2：不一樣，裁判的93分只是其中一人打的分數，而平均成績93是算出四個裁判的總和再除以4得出來的。

師：也就是說平均成績其實是表示了這一組數據的整體水平，而前面的93分只是其中某一個人或兩個人的評分。蘇翊鳴的第一跳89.5跟裁判的分數都不一樣，合理嗎？

生3：合理，因為這89.5是表示四位裁判打分的整體情況，跟他們的實際評分不一樣是可以的。

師：因為平均數不是實際存在的數，所以平均數可能與這組數據中的數一樣，也可能跟所有的數都不同。

教學意圖：學生通過對比發現平均數可以代表一組數據的整體水平，不是真實存在的數據，初步感悟平均數具有代表性、虛擬性等特性。

3. 解決問題，學以致用

問題1：生活中、學習中哪里有平均數？

生答略。

問題2：學校運動會小軍投擲實心球，兩次的成績分別是980cm、1020cm。他的最終成績應該是多少？

生1：我認為用平均數代表最終成績，（980+1020）÷2=1000。

生2：要用最好的成績1020cm代表最終成績。因為投擲實心球要取最好成績，我參加過比賽，裁判老師說的。

問題3：歌唱大賽中，五位評委給小張打分：94，94，92，91，94，用多少代表小張的歌唱成績合適？

生1：我認為要用平均數表示小張的歌唱成績。

師：大家都同意嗎，為什么？

生2：因為平均數可以表示一組數據的整體水平，可以代表這五個裁判打分的整體情況。

師：估一下這組分數的平均分大約是多少？

生3：92多一點。

生4：93。

師：為什么大家不估成是95或90？

生5：這里的分數最高是94，沒有達到95，所以不可能是95。

生6：這里的最低分都是91，其他的分數都比91高，所以平均數肯定比91高。

生7：因為平均數是把多的勻給少的，所以肯定比最小的數要大一點，比最大的數要小一點。

師：大家善于思考，也善于表達。換一句話，平均數在哪兩個數之間？

生8：平均數在最大數和最小數之間。

師：用你喜歡的方式算出這組數據的平均分。

問題4：如圖3，一個破舊的木桶能裝多少水，取決于哪個數據？

生1：取決于最小的數4dm，因為它最低。

師：同學們，對比一下這幾種情境，你們有什么發現？

生2：我覺得不是所有的情況都適合用平均數去表示，有些情境要選最大數，有些情境要選最小數，只有某些情境才選擇用平均數。

師：是的，不同情境的數據要選擇不同的代表量，可能是最大數、最小數，也有可能是總數、平均數等，我們要根據不同的情境選擇合適的數據。

教學意圖：讓學生體會不同的情境需要選擇合適的代表量，感悟平均數是一個很重要的代表量，同時感受平均數的局限性。

4. 回顧總結，反思提升

師：通過這節課的學習，你印象最深的是什么？

生答略。

師：大家評價一下老師的教學，這節課哪些方面做得好，哪些方面還需要提高？如果讓大家給老師打個分，10分是滿分，你們認為可以打幾分？

生答略。

師：這么多分數，用什么數表示老師的最終得分呢？這個問題大家下課后思考。

教學意圖：總結這節課師生的收獲，同時將對教師的評價與平均數教學巧妙結合，讓學生的思考進一步深入。

三、課后思考

有研究表明，學生數據意識的建立會經歷三個階段，由最初的關注單個數據，到分析一定范圍內的數據，再到整體觀察分析數據［１］。平均數的認識處于第二個階段，屬于《義務教育數學課程標準（2022年版）》“統計與概率”板塊的主題之一“數據的收集、整理與表達”。在教學過程中，教師要讓學生初步感受現實生活中存在大量有價值的數據信息，利用平均數等可以呈現和刻畫這些數據信息，以形成初步的數據意識［２］。

1. 理解“代表”，感悟平均數是重要的代表量

小學生對平均數的理解有三個水平：算法水平、概念水平、統計水平。算法水平主要表現為會計算一組數據的平均數（總和除以個數、移多補少），這是深入理解平均數的基礎。概念水平主要體現在會求平均數，知道平均數是代表一組數據整體（平均）水平的量值、平均數的大小易受極端數據影響（敏感性）等特性。統計水平是指在前兩個水平的基礎上，能夠解釋并體會平均數作“代表”的合理性［３］。

統計教學研究專家達尼·本茲威（Dani Ben-zvi）認為：“對學生而言，最先考慮的其實是代表性，而不是平均數，所以應該先讓學生思考你會選擇誰來代表班級里女生的身高。學生會給出很多他們自己的理由，比如她的數學最好，她是我的好朋友，她是班級里最漂亮的女生等。這就是統計的代表量。上述方式是人們最先接觸統計時的思考方式。”［４］

教學中教師要讓學生經歷用一個數代表一組數據的思考過程和表達過程，同時感受不同的數所“代表”的思考和理由，在對話交流中體會每一種代表量的好與壞，進而感悟平均數是刻畫一組數據的集中趨勢的良好統計量。

2. 選擇“代表”，體會平均數不是唯一的代表量

在教學中，學生在對第二跳的成績進行數據表達時，其認識處于較低層次。學生首先認識到要以一個實際存在的樣本來代表整體水平，如最高分、出現次數最多的數、最低分和其中某個樣本相等的平均數等。在學生充分理解了這個層次的“代表”之后，再去理解實際存在的樣本都不是整體水平的情況，需要以一個計算出來的數值——平均數來代表整體水平［５］。這一環節，學生能初步體會平均數是代表量，但不是唯一的。

在解決問題環節，學生運用代表量的知識解決不同情境的實際問題，體會不同的情境需要選擇不同的代表量，再次深入體會平均數并不是唯一的代表量，在某些情境下有比平均數更合適的代表量。通過不同層次的感受，學生能深入理解平均數的“代表”意義。

平均數是統計應用中常用的一個指標，教師要引導學生理解它不僅可以描述一組數據本身的總體情況，而且可以作為幾組個數不同的數據比較的代表量。

參考文獻：

［１］ （美）道格拉斯·Ｈ. 克萊門茨，朱莉·薩拉馬. 兒童早期的數學學習與教育——基于學習路徑的研究［Ｍ］.張俊，陶瑩，李正清，等，譯. 北京：教育科學出版社，２０２０.

［２］ 中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（２０２２年版）［Ｓ］. 北京：北京師范大學出版社，２０２２.

［３］ 劉加霞. “平均數”的本質及小學生理解水平解析［Ｊ］. 湖北教育（教育教學），２０２１（０２）：３６－３８.

［４］ 章勤瓊，達尼·本茲威. 統計素養：小學階段“統計教學”關注的重點——以色列海法大學教授達尼·本茲威訪談錄［Ｊ］. 小學教學（數學版），２０１６（１２）：４－７.

［５］ 章勤瓊. 計算平均成績是否合適——小學階段統計量教學的一些思考［Ｊ］. 教學月刊小學版（數學），２０２０（Ｚ１）：９５－９８.