知識圖譜在小學數學計算教學中的應用研究

作者簡介：黃燕玲（1978—），本科學歷，中小學一級教師，從事小學數學教學工作。

［摘 要］ 教育知識圖譜可促進精準教學，增強學生對計算的理解，發展學生的數學核心素養。研究者從三個方面進行闡述：多層圖譜歸納計算方法，多元圖譜理解計算結構，多維圖譜輻射計算范圍。

［關鍵詞］ 知識圖譜；計算；教學

知識圖譜的概念應用范圍廣泛，尤其在教育領域應用廣泛。教育知識圖譜是指將學科知識作為研究對象，通過可視化的空間結構揭示知識的發展情況或學科間的聯系。知識圖譜一方面具有查找、獲取、匹配、推送、共享知識的功能，另一方面還具有智能工具化特征。心理學家皮亞杰認為：所有的數學內容都可以基于結構化的角度來分析，結構的建構始終都是開放的。數學運算教學如何借助知識圖譜輔助教學呢？筆者對此進行了多方面嘗試。

一、多層圖譜歸納計算方法

小學數學計算對學生而言比較抽象，在計算教學中教師要注重學生對相關的概念、命題或公式的理解，促使學生自主從程序化的操作逐漸邁向理解性的應用，獲得靈活計算的自覺性。實踐證明，計算的理解和應用是從學生已有經驗出發，與學生產生思維碰撞，直至形成結構化的理解，最終實現計算的遷移，建立知識的聯系。

從計算的形成與發展過程和學生認知的發展規律出發，教師要引導學生建構線性發展的圖譜。理解計算需要經歷“初步理解—交流比較—獲得計算方法—實際應用—理解算理—內化算法”等過程，但部分教師常常忽略學生的思維在可視化背景下前后思維的結構變化歷程。為了讓學生明確“這么算的原因是什么”時，教師常常采用圖示法增進學生的理解，導致學生計算思維生長出現斷層，無法全面理解運算的實際價值與意義。

鑒于此，關于計算方法的教學，教師要結合學生思維線性發展特征，逐層推進教學，促進學生的理解。具體過程為：①揭示學生初始思維；②類比、歸納獲得算法；③揭示算法背后隱藏的算理；④突破思維定式，獲得靈活運算意識；⑤借助算法發展史滲透數學文化。

案例1 “兩位數乘法”的教學

以“18×12”的教學為例，結合學情與計算特征，教師可將教學分成四層圖譜，逐層遞進地實施。

第一層圖譜：算法層面。

教師要求學生自由表征算法，并分析不同算法之間存在怎樣的區別和聯系。學生自主表達、交流、思考與總結，教師展示點陣圖，鼓勵學生在圖上應用圈畫的方法將自己的想法表達出來。

小結：學生將式子中的一個因數拆解為兩數相加（減或乘），不論用哪種方法來計算，結論都一樣。如圖1，根據不同運算定理實施分類整理，可獲得18×10+14×2或18×6×2，由此可明確不同計算方法背后算理之間存在的聯系。

師：從17×11出發，分析用哪種方法來計算兩位數相乘更便捷？

生1：將一個乘數拆分成整十數與另外一個數相加的情況，更適合作為兩位數相乘的通用方法。

第二層圖譜：算理層面。

師：如何用豎式形式表達兩位數相乘的通用算法？

如圖2，學生經自主嘗試、分析與交流，將乘法豎式與點陣圖結合在一起獲得乘法豎式的基本計算方法。

第三層圖譜：靈活應用。

豎式是兩位數乘兩位數的一般計算方法，但在實際解題時并不一定要列豎式，應結合乘數的特征靈活應用乘法運算。如圖3，關于25×12就可轉化為25×4×3，口算即可獲得結論；37×19可轉化為37×20-37。

第四層圖譜：滲透數學文化。

如圖4，將乘法運算與古意大利的格子乘法、中國古代的鋪地錦以及古印度的畫線法等有機地聯系到一起進行比較分析，讓學生對不同運算方法產生不同的體驗。數學史的滲透一方面能提升學生的數學文化素養；另一方面能讓學生感知人類的智慧與數學的魅力，提升學習信心。

四層圖譜構成了兩位數相乘的線性圖，如圖5所示，學生的思維經歷“多樣算法—通用算法—理解算理—靈活應用—發展數學文化”的過程。由此，學生明確了筆算乘法背后所蘊含的道理，從真正意義上增強了運算的靈活性。

教師結合學情與教材所編排的運算內容，采取多層圖譜實施教學，不僅能增強學生的實踐體驗，讓學生更好地理解算理，還能通過數學文化的滲透激活學生的內心體驗，促進學生運算素養的發展。

二、多元圖譜理解計算結構

不同表征間的靈活轉換是數學理解的本質。教師要引導學生理解運算算理，讓學生多元聯結實物、算式、圖形、符號等，構成網狀結構的知識圖譜，形成縱橫交錯、條理清晰的知識脈絡。平面與立體圖譜的形成，可進一步增強學生對算理的理解。

案例2 “乘法分配律”的教學

1. 橫向聯結不同表征形式

解釋與說明乘法分配律的方法較多，但每種方法的論證方式與作用不一樣。比如，不完全推理可用來進行算式驗證，類比推理則適用于矩陣圖或生活實例方面的運算，演繹推理適用于解釋乘法算理。各種方法都可用來解釋與說明乘法分配律，但每種方法又存在自身的局限性與片面性。教師應將這些不同的表征方式羅列到一起，形成結構完整的多元圖譜，將各種表征間的優勢聯合起來形成一個有機的整體（見圖6）。

2. 縱向聯結知識發展過程

教師將與乘法分配律相關的知識按照前后發展歷程構建脈絡圖——“兩位數乘一位數、多位數乘一位數、兩位數乘兩位數”，再將前后知識間的聯系建成圖譜，可讓學生從縱向的角度理解乘法分配律。

3. 運算律之間的區別

教師將容易和乘法分配律混淆的乘法結合律進行類比分析，比如2×3×4與2×（3+4），引導學生借助對應的圖形表象來分析這兩個式子的表征的方式，促使學生從真正意義上理解乘法結合律：即若干個相同長方形的總面積，而乘法分配律則為兩個寬相等的長方形面積的和（見圖7）。

4. 辨析正誤

教師比較學生在解題過程中容易發生的錯誤點，如25×（40+8）×125可以通過圖形表征的方式促使學生明確為什么25×（40+8）×125=25×40×125+25×8×125（見圖8）；若表示為25×40+125×8，那么25×40可借助圖式表達，但125×8卻不行（見圖9）。

這是基于系統化的邏輯關系而實施的教學，乘法分配律不同表征形式的網狀結構、知識的縱向發展結構、各種運算律之間的區別以及正誤辨析等圖譜的應用，促進了乘法分配律知識的建構，讓學生從真正意義上理解什么是乘法分配律。學生對乘法分配律做到了“知其然且知其所以然”，實際應用時則得心應手，而非簡單、機械地模仿。

綜上分析，多元圖譜的應用一方面強化了學生的類比思想，讓學生深入理解了知識間的縱橫聯系，另一方面拔高了學生的數學思維，發展了學生的數學核心素養。

三、多維圖譜輻射計算范圍

學生想要從真正意義上掌握知識的本質，最好的辦法就是在不同的場景中靈活應用該知識。教師要引導學生從不同的維度來表征所學內容，讓學生從更深層次理解這部分內容，使知識的輻射更廣泛。調查發現，學生對于計算的場景意識不強，不少學生處于純粹計算的狀態。學生想要創造性地應用計算，則需通過多維譜圖統籌計算與其他知識的聯系，確保深度學習的發生。實際操作時，教師可為學生提供豐富的情境，讓學生的思維超越單純計算的范疇，提升到發展運算素養的境界。

案例3 “等差數列求和”的教學

教師若直接展示公式“（首項+尾項）×項數÷2”，會使學生無法理解該公式的本質，而提供豐富的場景則能促進學生思維的發展。

1. 求和

如圖10，計算“3+5+7+9+11+13”，可從梯形面積公式著手，分析待求式子與梯形面積公式之間存在的聯系。學生結合梯形面積公式的推導過程，借助數形結合思想深化對等差數列求和的認識，使自己的思維在此過程中實現從有限到無限的轉變。

2. 求項數

教師利用“植樹”問題引導學生認識求等差數列的項數，實則為求植樹類問題中的棵數。若求解數列“3+5+7+…+13”存在幾個數，就是求“從第3m開始種樹，每隔2m種一棵，一直種到第13m時（兩端均種樹），一共種了幾棵樹”的問題。

3. 拓展

教師將等差數列與數角、數長方形或數線段類問題聯系到一起，通過對等差數列求和應用場景的增加，深化學生對這一類計算的理解。如圖10所提出的問題，僅需計算出等差數列“1+2+3+4+5+6”的和，即可解決問題。

教師將等差數列求和、植樹、梯形面積、數圖形等不同分數的問題羅列到一起進行計算教學，有效拓寬了學生的視野，增強了課堂的場域，豐富了計算的場景，讓學生的思維在多元圖譜中聯結，有效提升了教學成效。

如圖11，探索“比的應用”問題時，教師可引導學生將教學內容與生活實際中的行程問題以及圖形知識等聯系到一起，讓學生感知比的應用場景的廣泛性。

總之，知識圖譜實現了計算的層級關系、互聯互通以及應用輻射情況的可視化，體現了計算教學的新范式。新課改背景下，這是一種值得探索與研究的方向。學生通過知識圖譜的描繪與閱讀，不僅對知識間的聯系有了更進一步的認識，還建構了計算的理解模型，發展了運算素養。