挖掘“變與不變”關(guān)系，培養(yǎng)可持續(xù)學(xué)習(xí)能力

作者簡介：賀曉雯（1991—），本科學(xué)歷，小學(xué)二級教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

［摘 要］ 數(shù)學(xué)中充滿著“變與不變”的關(guān)系，學(xué)生對“變與不變”的理解程度直接影響著自身思維能力的發(fā)展和可持續(xù)學(xué)習(xí)能力的提升。在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生在變化中探尋不變的規(guī)律，讓“變與不變”成為學(xué)生一種主動(dòng)思考的習(xí)慣，讓學(xué)生在“變與不變”的探索中獲得“以不變應(yīng)萬變”的能力。

［關(guān)鍵詞］ 變與不變；思維能力；思考習(xí)慣

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量及圖形變化規(guī)律的學(xué)科，在教學(xué)中教師要充分挖掘其中蘊(yùn)含的“變與不變”的關(guān)系，這有利于揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)，有利于提升學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了讓學(xué)生更好地感知“變與不變”的關(guān)系，教師可以啟發(fā)學(xué)生思考“什么變了”“什么沒變”，讓學(xué)生在觀察、對比、交流中養(yǎng)成“變與不變”的思考習(xí)慣，掌握解決數(shù)學(xué)問題的策略和程序，提升學(xué)習(xí)品質(zhì)。

那么，在教學(xué)中教師應(yīng)如何培養(yǎng)學(xué)生思考“變與不變”關(guān)系的習(xí)慣呢？

一、在運(yùn)算規(guī)律的發(fā)現(xiàn)中培養(yǎng)

小數(shù)數(shù)學(xué)運(yùn)算中蘊(yùn)含著許多有趣的數(shù)學(xué)規(guī)律，教師在教學(xué)中合理利用數(shù)學(xué)規(guī)律不僅可以提高學(xué)生獨(dú)立分析和解決問題的能力，而且可以增加學(xué)生對數(shù)學(xué)的好感，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。小學(xué)數(shù)學(xué)四則運(yùn)算中蘊(yùn)含著許多不變的運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)，比如除法中的商不變性質(zhì)、加法中的結(jié)合律、乘法中的交換律等。在教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生去觀察、對比和聯(lián)想，這樣不僅可以幫助學(xué)生深刻理解知識(shí)，而且可以鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)探究能力。

比如，在探尋“20以內(nèi)加法”運(yùn)算規(guī)律時(shí)，教師不是給出運(yùn)算法則讓學(xué)生模仿套用，而是引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、分析等過程自主發(fā)現(xiàn)運(yùn)算法則，以此培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣。

教學(xué)片段實(shí)錄：

師：觀察圖1，你們有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生積極思考）

生1：部分＋部分＝整體。

師：觀察3+2和13+2，說說你有什么發(fā)現(xiàn)？想一想，什么變了？什么沒變？結(jié)果又是怎樣呢？

生2：前面部分多10，后面部分不變，整體多10。

師：很好，我們在數(shù)軸上驗(yàn)證一下，和你們的想法是否一致呢？

教師給出圖2讓學(xué)生進(jìn)行思考辨析，從而確定剛才的發(fā)現(xiàn)是科學(xué)的、合理的。在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，學(xué)生借助直觀圖形理解了“20以內(nèi)不進(jìn)位加法”的運(yùn)算原則，為接下來的學(xué)習(xí)做好了充分的準(zhǔn)備。

在學(xué)完了“20以內(nèi)進(jìn)位加法”和“20以內(nèi)退位減法”后，教師沒有直接給出大量的試題讓學(xué)生運(yùn)算，而是組織學(xué)生運(yùn)用前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)探索新知識(shí)中蘊(yùn)含著怎樣的“變與不變”的關(guān)系。教師引導(dǎo)學(xué)生從不同角度對比、思考、辨析，使學(xué)生有了如下發(fā)現(xiàn)：一個(gè)加數(shù)加1，一個(gè)加數(shù)不變，和加1；一個(gè)加數(shù)減1，一個(gè)加數(shù)不變，和減1；一個(gè)加數(shù)加1，一個(gè)加數(shù)減1，和不變。

在教學(xué)中，教師要經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生去探尋“變與不變”的規(guī)律，久而久之學(xué)生就會(huì)形成一種思考習(xí)慣：在看到有序排列的算式時(shí)會(huì)主動(dòng)思考“什么變了”“什么沒變”，從而通過對“變與不變”的探索發(fā)現(xiàn)運(yùn)算規(guī)律。

在拓展練習(xí)中，教師設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：觀察圖3，寫出你的發(fā)現(xiàn)。

有了前面的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生很快就有了自己的發(fā)現(xiàn)。

生3：可以先一行一行地觀察，對于第1行，從左往右看，0這個(gè)加數(shù)保持不變，另一加數(shù)逐漸加1，和也逐漸加1。其他各行從左往右看，也是這樣。

師：不錯(cuò)的發(fā)現(xiàn)，只能從左往右看嗎？

生4：還可以從右往左看，其中一個(gè)加數(shù)不變，另一個(gè)加數(shù)逐漸減1，其和也逐漸減1。

師：你們還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？

生5：還可以從上往下看或者從下往上看……

生6：還可以斜著看。

師：請上臺(tái)給大家演示一下，說一說你們發(fā)現(xiàn)了怎樣的規(guī)律？

對斜著看的情況，教師請學(xué)生邊舉例邊說明。

生7：我們可以這樣看，從左上第一個(gè)看起，0+0=0，1+1=2，2+2=4，……一個(gè)加數(shù)增加1，另一個(gè)加數(shù)也增加1，其和增加2。

生8：還可以從右下往左上看，每個(gè)加數(shù)減少1，其和減少2。

生9：我也是斜著看的，從右上開始，0+10=10，1+9=10，……發(fā)現(xiàn)一個(gè)加數(shù)增加1，一個(gè)加數(shù)減少1，其和保持不變。

學(xué)生從不同視角觀察，給出其他“變與不變”的規(guī)律。其實(shí)，不論是教材中，還是練習(xí)上，或者是在其他拓展資料上，都有許多類似于找規(guī)律的問題。在面對此類問題時(shí)，教師不要急于呈現(xiàn)規(guī)律，應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生去思考、感悟、歸納，讓學(xué)生通過經(jīng)歷活動(dòng)過程獲得真實(shí)的感悟，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象等素養(yǎng)。

二、在概念、公式教學(xué)中培養(yǎng)

數(shù)學(xué)是一門具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯結(jié)構(gòu)的學(xué)科，從教材的安排和教學(xué)的設(shè)計(jì)上看，這種邏輯結(jié)構(gòu)是清晰可見的。教學(xué)中，教師要通過適度的啟發(fā)和引導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生知識(shí)體系建構(gòu)的意識(shí)和能力，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探尋“變與不變”的規(guī)律，讓學(xué)生在對比分析中理解并掌握概念的本質(zhì)屬性，提高思維品質(zhì)。

比如，在教學(xué)“平行四邊形”這一概念時(shí)，教師沒有直接給出概念，而是鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手做，如改變邊的長短、改變角的大小等。學(xué)生通過經(jīng)歷操作、觀察、比較等過程后發(fā)現(xiàn)，只要“兩組對邊分別平行”這一本質(zhì)屬性不變，它仍然是平行四邊形。在學(xué)習(xí)“梯形”這一概念時(shí)，教師給出概念后，為了幫助學(xué)生形成正確的認(rèn)識(shí)，教師給出多個(gè)圖形讓學(xué)生辨析。如果學(xué)生能夠抓住“只有一組對邊平行”這一本質(zhì)屬性，那么問題自然迎刃而解。

比如，在研究“平行四邊形”的周長和面積時(shí)，教師給出一個(gè)平行四邊形框架讓學(xué)生“拉一拉”，通過經(jīng)歷“操作—猜想—驗(yàn)證—比較”等過程，學(xué)生不僅能發(fā)現(xiàn)“面積變化，周長不變”這一規(guī)律，而且能深刻理解“周長和面積”兩個(gè)不同的概念。在研究“梯形的面積”時(shí)，教師通過延長和縮短將其轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形，讓學(xué)生在“變與不變”的探索中發(fā)現(xiàn)不同圖形間的聯(lián)系，感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)聯(lián)性，能培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)體系的能力。

數(shù)學(xué)知識(shí)是相互關(guān)聯(lián)的。在實(shí)際教學(xué)中，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用舊知識(shí)和舊經(jīng)驗(yàn)去探索新知識(shí)，從而通過新舊知識(shí)的相互聯(lián)系幫助學(xué)生建構(gòu)一個(gè)縱橫交織的知識(shí)框架，讓學(xué)生在知識(shí)的建構(gòu)與遷移中感悟數(shù)學(xué)魅力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

三、在質(zhì)疑、釋疑過程中培養(yǎng)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要改變以往的“師講生聽”的教學(xué)模式，提供時(shí)間讓學(xué)生思考，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生質(zhì)疑，以“主角”的身份參與課堂教學(xué)活動(dòng)，進(jìn)而提高課堂教學(xué)的有效性。因?yàn)樾W(xué)生的知識(shí)水平和思維能力有限，教師在教學(xué)中只提供時(shí)間和空間讓學(xué)生質(zhì)疑還不夠，還應(yīng)該教給學(xué)生適合的方法。培養(yǎng)學(xué)生思考“變與不變”關(guān)系的習(xí)慣，是形成學(xué)生質(zhì)疑精神的法寶。教學(xué)中，當(dāng)看到“變化”時(shí)，教師要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探尋“不變”的因素；在看到“不變”時(shí)，教師要讓學(xué)生去思考是否還有“變化”的可能，由此通過抓住“變與不變”的規(guī)律，揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

比如，在學(xué)習(xí)“三角形內(nèi)角和”時(shí)，學(xué)生通過“剪拼”等過程發(fā)現(xiàn)三角形內(nèi)角和為180°。這一結(jié)論給出后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生提出這樣的問題：“是不是無論三角形如何變化，這一結(jié)論都成立呢？”這勢必會(huì)引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探索，使學(xué)生有意識(shí)地設(shè)計(jì)大小不同、形狀不同的三角形進(jìn)行“折”“剪”“量”。通過這一系列操作能幫助學(xué)生深刻地理解三角形內(nèi)角和為180°，同時(shí)讓學(xué)生充分感受分類討論的重要價(jià)值。

當(dāng)然，在此基礎(chǔ)上，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生將這一性質(zhì)推廣至其他圖形，思考四邊形、五邊形的內(nèi)角和是否也不變呢？這一問題能激發(fā)學(xué)生的探索熱情。問題給出后，學(xué)生調(diào)用已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行深入探索，通過分割發(fā)現(xiàn)四邊形的內(nèi)角和永遠(yuǎn)是360°，五邊形的內(nèi)角和永遠(yuǎn)是540°。在此基礎(chǔ)上，學(xué)生進(jìn)一步拓展即可推導(dǎo)出n邊形的內(nèi)角和公式為180°×（n-2）。顯然，n邊形的內(nèi)角和是變化的，不過它只是隨著邊數(shù)的變化而變化，而不會(huì)隨著形狀和大小的變化而變化。

此外，在得到n邊形的內(nèi)角和公式后，教師還可以提出這樣的問題：“探索了多邊形的內(nèi)角后，若繼續(xù)研究，你還想研究什么？”學(xué)生自然會(huì)想到探索多邊形的外角。在已有經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生得到三角形的外角和是360°，四邊形的外角和是360°，接下來勢必會(huì)得出這樣的猜想：“n邊形的外角和是360°。”學(xué)生先通過測量、運(yùn)算等多種形式來感知外角不變的規(guī)律，然后給出相應(yīng)的證明，會(huì)理性認(rèn)識(shí)不變的依據(jù)（證明過程略）。

在教學(xué)中，教師要學(xué)會(huì)放慢腳步，預(yù)留時(shí)間和空間讓學(xué)生去思考、聯(lián)想，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑，讓學(xué)生在釋疑的過程中更好地認(rèn)識(shí)知識(shí)、理解知識(shí)、應(yīng)用知識(shí)，提高學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)性，發(fā)展自主學(xué)習(xí)能力。

四、在數(shù)學(xué)問題的解決中培養(yǎng)

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生既要學(xué)會(huì)在變化中尋找不變的本領(lǐng)，也要掌握在不變中理解變化的技能，并能從辯證的角度思考問題，把握問題本質(zhì)，理解“萬變不離其宗”的內(nèi)涵。

在小學(xué)階段，學(xué)生會(huì)接觸許多“變化中抓不變”的例子：加法運(yùn)算中，當(dāng)一個(gè)加數(shù)增加的數(shù)與另一加數(shù)減少的數(shù)相同時(shí)，其和不變；被除數(shù)與除數(shù)同時(shí)乘以或除以一個(gè)不為0的數(shù)，其商不變；分?jǐn)?shù)、比的基本性質(zhì)等。有些內(nèi)容只不過是形式上發(fā)生了變化，但其本質(zhì)并未變化。在學(xué)習(xí)中學(xué)生只有“抓住不變的本質(zhì)”，才能靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問題。當(dāng)然，教師在強(qiáng)調(diào)“抓不變”的同時(shí)要重視“抓變化”：比如對于商不變性質(zhì)，對于有余數(shù)的除法，雖然其商沒有變化，但是其余數(shù)發(fā)生了變化；在研究分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)時(shí)，雖然分?jǐn)?shù)的大小沒有發(fā)生變化，但是分?jǐn)?shù)的單位卻變了。教師只有讓學(xué)生從矛盾的兩個(gè)方面去理解和分析，才能讓學(xué)生全面、深刻地理解和掌握知識(shí)。

教師要引導(dǎo)學(xué)生善于抓住不變來解決問題：在解決年齡問題時(shí)，雖然兩個(gè)人的年齡一直在變化，但是他們的年齡差卻始終不變；在解決追擊問題時(shí)，雖然他們之間的距離在不斷變化，但是他們的速度差不變。只要認(rèn)清了問題的本質(zhì)，上述問題就迎刃而解。常見的“歸一應(yīng)用題”，同樣是以“不變”為基礎(chǔ)，在“變化”中尋找解決問題的突破口。比如，3個(gè)工人2個(gè)小時(shí)生產(chǎn)120個(gè)零件，照這樣計(jì)算，如果這120個(gè)零件由6個(gè)工人同時(shí)完成，需要多長時(shí)間？這里要生產(chǎn)的零件總數(shù)和每人每小時(shí)生產(chǎn)零件的數(shù)量是不變的，變化的是人數(shù)和時(shí)間，解題時(shí)先根據(jù)每人每小時(shí)生產(chǎn)零件的數(shù)量不變這一特征求得每人每小時(shí)生產(chǎn)20個(gè)零件，再用120÷20÷6便能得出需要的時(shí)間。

當(dāng)然，有些題目的不變量給得比較含蓄，只要學(xué)生養(yǎng)成了良好的思考習(xí)慣，問題亦可解決。比如，學(xué)校共有180個(gè)籃球和排球，其中籃球占40%，為了滿足上課需求，學(xué)校又購買了一些籃球，此時(shí)籃球占50%，問學(xué)校又買了多少個(gè)籃球？這一問題看上去好像很難解決，但是認(rèn)真分析不難發(fā)現(xiàn)此題中排球是一個(gè)不變量，因此學(xué)生在解題時(shí)如果能緊緊抓住這一不變量，就能輕松解決問題。

為了增加數(shù)學(xué)問題的難度，命題者會(huì)在題設(shè)中增加許多干擾信息。解題者若想順利解決問題，需要在繁雜的變化中把握數(shù)量關(guān)系，找到不變的量，以“不變”為突破口。因此，在教學(xué)中，教師要以解題為抓手，通過數(shù)學(xué)問題的解決深化學(xué)生對“變與不變”關(guān)系的理解。

總之，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要重視培養(yǎng)學(xué)生“變與不變”的意識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、發(fā)現(xiàn)、探索、應(yīng)用的過程中形成良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生可持續(xù)學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。