凝煉核心問題聚焦“四能”培養(yǎng)

【摘要】發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是創(chuàng)新的基礎，指向學生數(shù)學核心素養(yǎng)的高中數(shù)學教學設計，應凝煉核心問題，聚焦“四能”培養(yǎng).以“正弦定理和余弦定理”為例，探討聚焦“四能”培養(yǎng)的設計與教學路徑：根據(jù)課程目標和教材編寫意圖提出核心問題，實施“情境—問題”教學，教學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的方法，培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力.

【關鍵詞】正余弦定理；核心問題；“四能”；數(shù)學核心素養(yǎng)

1問題提出

近年來，國家極為重視在基礎教育領域實施拔尖創(chuàng)新人才的早期培養(yǎng).發(fā)現(xiàn)問題和提出問題是創(chuàng)新的基礎.愛因斯坦指出：“提出一個問題往往比解決一個問題更為重要，因為解決問題也許僅是數(shù)學上的或實驗上的技能而已，而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要創(chuàng)造性的想象力，而且標志著科學的真正進步.”從高中數(shù)學教學的現(xiàn)狀來看，教師往往“更為注重對所給出的問題提供解題方法、技能的訓練，至于這個問題怎么發(fā)現(xiàn)、提出的，常常不愿花時間讓學生去探討”，存在“重問題輕引導”“重講解輕感悟”“重技巧輕通法”“重解答輕分析”等教學誤區(qū)[1].

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》提出了“提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（簡稱‘四能’）”的課程目標.如何培養(yǎng)學生的“四能”，特別是“發(fā)現(xiàn)問題”和“提出問題”的能力？教學實踐表明，根據(jù)教材內容，聚焦能驅動學生思維活動的、體現(xiàn)數(shù)學內在邏輯的核心問題，并構建圍繞核心問題展開的、有層次性的一組問題，引導學生用數(shù)學的眼光觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題，用數(shù)學的方法和經驗思考問題、用數(shù)學的語言表達問題[2]，是培養(yǎng)“四能”的有效途徑.下文以“正弦定理和余弦定理”單元的教學設計及實踐為例加以說明.

2聚焦“四能”培養(yǎng)的正弦定理和余弦定理教學設計案例

正弦定理和余弦定理定量地刻畫了三角形邊角之間的內在聯(lián)系，是解三角形的理論依據(jù).在初中，教材通過“畫、剪、疊”定性給出了確定三角形的條件（未證明），即：知道一個三角形的三邊長、兩邊長及其夾角、兩角及其夾邊長、兩角及其對邊長就能唯一確定一個三角形，分別對應于判定三角形全等的四個基本事實：SSS，SAS，ASA及其推論AAS（分別出自《幾何原本》卷Ⅰ命題8、命題4和命題26），即三角形的形狀（由角確定）和大小（由邊長確定）都是確定的.換言之，三角形的其它未知的角或邊可以通過已知的邊或角（正、余弦值）“算”出來.因此，可以從算的角度展開發(fā)現(xiàn)正弦定理和余弦定理的教學.除此而外，正弦定理和余弦定理還是落實數(shù)學美育功能[3]的良好材料.

2.1設計思路

由于“正弦定理和余弦定理的主題相近、教育功能與價值相近、教學目標相近、探究過程所用的思維方法和數(shù)學思想方法相近” [4]，因此，為了發(fā)現(xiàn)的完整性和知識的系統(tǒng)性，把正弦定理和余弦定理整合為一個單元作整體教學設計.為了培養(yǎng)學生的“四能”，變傳統(tǒng)的“教師提出問題”為“學生提出問題”，變“學生解決老師提出的問題”為“學生在老師的指導下分析、解決自己提出的問題”，讓學生自主發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，經歷感受數(shù)學美、欣賞數(shù)學美、運用數(shù)學美、發(fā)展數(shù)學美的過程，重視積累數(shù)學活動經驗.設計突出兩條線：一是“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的數(shù)學問題解決的明線，二是“美觀—美好—美妙—完美”數(shù)學情感的“暗線”.設計分兩個課時完成.

第1課時：（在教師的引導下）發(fā)現(xiàn)和提出要研究的問題，然后用作高法發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理，并在應用環(huán)節(jié)“求出”余弦定理，讓學生經歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學美、證明數(shù)學真、感悟數(shù)學善的過程，重點培養(yǎng)學生用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)問題和提出問題、用數(shù)學的思維分析問題和解決問題的能力，讓學生感受到美觀、美好與美妙（見圖1第一課時）.

2.2.1發(fā)現(xiàn)并提出問題

2.2.2分析問題

2.2.3解決問題

2.2.4發(fā)現(xiàn)余弦定理

2.2.5小結與作業(yè)

任務7：回顧發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理和余弦定理的過程，并嘗試提出新問題，下節(jié)課分享問題并解決.

教師引導學生回顧課程學習中經歷了“閱讀文本—發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的問題解決全過程，以及發(fā)現(xiàn)數(shù)學美、證明數(shù)學真、感悟數(shù)學善的發(fā)現(xiàn)數(shù)學、應用數(shù)學的過程.請學生整理“學了什么？感悟了什么？有什么結論？積累了什么做數(shù)學的經驗？”

設計意圖：給學生充足的時間，讓學生充分交流和表達課堂所學所做所思，內化知識、思想方法，暴露思維和學習缺憾，找準后續(xù)教學的起點.

第1課時作業(yè)：① 完成課中的兩個遺留問題的求解；②畫出三角形中的邊角關系（勾股定理、正弦定理、余弦定理及其推論）的關系圖；③正弦定理還能解決哪些類型的解三角形的問題？④看正弦定理和余弦定理的關系式，回顧發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理和用正弦定理“求”余弦定理的過程，我們還有遺憾嗎？請同學們寫出你提出的問題，并嘗試解決，下節(jié)課分享；⑤將教材內容精讀一遍.

設計意圖：讓學生自主整理所學知識，形成知識系統(tǒng)；再次感悟發(fā)現(xiàn)并提出問題、分析并解決問題的問題解決過程，培養(yǎng)學生“學—問—思—習—問—思—學”的學習習慣.

上述教學設計的教學實踐表明，較傳統(tǒng)的分兩個課時分別發(fā)現(xiàn)正弦定理和余弦定理的教學設計而言，此教學設計教學效果更好：①第一課時重點在于讓學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題，理清解決問題的思路，并用作高法發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理，利用正弦定理“求出”了余弦定理.同時通過回顧問題解決的過程，提出了新的研究問題，使學生積累了“做數(shù)學”的經驗：閱讀學習材料、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題，經歷了從一般到特殊再到一般的問題解決的完整過程；②第二課時解決上一課時結束后學生自己提出的問題，學生探索、分享不同的證明正弦定理和余弦定理的方法，學生再次經歷了“做數(shù)學”的過程，進一步強化了“做數(shù)學”的活動經驗；③讓學生感悟了數(shù)學美、數(shù)學真、數(shù)學善，并在一定程度上讓學生自己發(fā)現(xiàn)了數(shù)學美，培養(yǎng)了學生對數(shù)學和數(shù)學學習的積極情感；④變傳統(tǒng)的布置作業(yè)題為提出新的問題、畫知識結構圖，有利于培養(yǎng)學生回顧反思、自主整理知識的良好學習習慣.

3聚焦“四能”培養(yǎng)的策略

3.1提出核心問題

“四能”是基于數(shù)學問題提出的，沒有數(shù)學問題就沒有“四能”.課堂教學中的數(shù)學問題按其重要性程度可分為核心問題和輔助問題，核心問題是指向數(shù)學本質的問題，通向數(shù)學理解.輔助問題是圍繞核心問題展開的幫助理解和解決核心問題的問題.

數(shù)學問題是指在情境中提出的，以數(shù)學為內容，或者雖不以數(shù)學為內容，但必須運用數(shù)學概念、理論或方法才能解決的問題.“問題提出是數(shù)學教學的核心” [5]，特別是核心問題，是教學中的關鍵，抓住核心問題有助于學生理解知識本質，促進學生結構化地理解知識.一個經過精心設計的問題能夠強化學生所學的知識，一個精心挑選的問題能夠激發(fā)深入的數(shù)學探究活動[6].數(shù)學“核心問題”是數(shù)學教學中思考性強、數(shù)學味濃、需要合作探究交流的問題 [7].在教學設計時，應根據(jù)課程標準提出的育人目標、教材的編寫意圖，提出章、節(jié)、課時的指向數(shù)學學科本質的核心問題，并根據(jù)學生的數(shù)學認知和經驗預設學生能提出的靠近學生“最近發(fā)展區(qū)”的輔助問題.

3.2實施“情境—問題”教學

以核心問題驅動“四能”培養(yǎng)的教學包括創(chuàng)設情境、用數(shù)學的眼光從情境中發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學（核心）問題、用數(shù)學的思維分析問題和解決問題、小結與作業(yè)等環(huán)節(jié)（見圖3），“情境—問題”教學始于情境，發(fā)于問題，終于問題解決，是“情境—發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題—發(fā)現(xiàn)新問題—提出新問題—分析新問題—解決新問題”的問題解決螺旋圈.圖3以核心問題驅動“四能”培養(yǎng)的教學過程情境是孕育問題的土壤，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出：高中數(shù)學教學要“以發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)為導向，創(chuàng)設合適的教學情境，啟發(fā)學生思考，引導學生把握數(shù)學內容的本質”.數(shù)學情境是含有相關數(shù)學知識和數(shù)學思想方法的教學情境[8]，在教學設計階段，教師應根據(jù)學生的認知水平，創(chuàng)設問題顯現(xiàn)型和問題隱蔽型數(shù)學情境，便于在課堂教學時學生能“用數(shù)學的眼光”發(fā)現(xiàn)和提出簡單問題、較復雜問題、復雜問題，讓學生在與情境、問題的有效互動中提升數(shù)學核心素養(yǎng).

3.3教會學生發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的方法

3.3.1發(fā)現(xiàn)問題的方法

發(fā)現(xiàn)問題是指“用數(shù)學的眼光”從特定情境中感知到確定或不確定的數(shù)量或空間的某種關系或結構，并對這種關系或結構有好奇（想知道答案）的認知活動.發(fā)現(xiàn)問題需要“用數(shù)學的眼光”，是對現(xiàn)實世界的數(shù)學解讀，即學生是因為想要知道和理解現(xiàn)實世界，而用數(shù)學的方式表述出具體注意到的問題——“有價值的”“合情理的”“可研究的”“數(shù)學問題”[99805fb5d0bc00c74b52157275798d239].發(fā)現(xiàn)問題與個人的知識儲備、認知水平、思維方式高度相關，具有內隱性，是啟動創(chuàng)造思維的過程，集中體現(xiàn)學生的主動探索精神與思維的開放性.

實踐中，可以通過呈現(xiàn)沖突、矛盾、與已有經驗不一致的現(xiàn)象或事實讓學生發(fā)現(xiàn)問題.如，通過呈現(xiàn)與學生解法不同或結論相反的案例，讓學生發(fā)現(xiàn)自己解法錯誤或結論錯誤的問題；通過“畫、剪、疊”方法得到三角形全等的判定事實與“只有經過邏輯推理證明的命題才是真命題”的經驗不符，可以讓學生發(fā)現(xiàn)“初中學到的判定三角形全等的基本事實均沒有證明”的問題.

3.3.2提出問題的方法

發(fā)現(xiàn)問題不一定能提出問題，生活、工作、教學中“你的問題究竟是什么？”的追問，表明我們經常意識到問題的存在，然而卻不能用恰當?shù)恼Z言將問題提出來.因此，教學過程中應營造良好的“問題場”，讓學生能將問題提出來.

提出問題（或問題提出）是指教師根據(jù)不同的教學目標，設置不同類型的情境（包括現(xiàn)實情境、數(shù)學情境、科學情境三種），讓學生根據(jù)情境提出數(shù)學問題，并引導學生對所提的問題進行修正，對這些問題進行恰當?shù)奶幚?提出問題是發(fā)現(xiàn)問題的深化，是問題的顯性化，即用數(shù)學的語言準確地把問題表達出來.提出問題是一個創(chuàng)造性的思維活動過程，是一個人的科學精神的體現(xiàn).

教學之道“最根本的是要學會提出問題”，因此在教學過程中除了有意與學生分享與交流一些提出問題的“基本套路”[10]外，還可以嘗試以下方法讓學生模仿自主提出問題，讓學生“從平常中見異常、于普遍中見特殊、于特殊中見一般、于無疑處生疑問”[11].

（1）教學生自己備課時精讀教材的方法，提出2W1H（Why，What，How）類問題.一是提出“為什么”型價值判斷、目的或追問類問題，如：為什么要學習正弦定理和余弦定理？為什么設置某情境？為什么提出某問題？為什么安排某例題？（對對數(shù)函數(shù)）為什么要求a＞0且a≠1？等等.二是提出“是什么”型指向本質或事實的問題，如前文中提出的問題：“確定”的含義是什么？等量關系的形式是什么？三是提出“怎么辦”型方法類問題，如：怎么求/證……？還可以怎么求/證……？

（2）變陳述句為疑問句，如前文中的“核心問題1”“核心問題2”的提出.陳述句表達的是數(shù)學思維的結果，而疑問句則指向數(shù)學思維的過程和數(shù)學思維本身，將表達數(shù)學事實（命題、定理、規(guī)則等）的陳述句按句法結構分解為主、謂、賓、定、壯、補，很容易提出為什么、是什么、怎么辦型問題.

（3）運用歸納、類比、聯(lián)想、一般化、特殊化等思維方法提出問題.如改變（增加或減少、替代等）條件，（用命題間的關系）交換條件和結論、否定條件與結論等.

（4）遺憾（缺陷或不美）、問題解決回顧與反思、直觀想象等是發(fā)現(xiàn)和提出問題的重要途經.比如：通過觀察探索階段發(fā)現(xiàn)的asin A=bsin B=c這個等量關系，發(fā)現(xiàn)“等量關系只包含了三角形六個元素中的五個元素，感覺不美”的問題，進而提出“等量關系是否可以包含三角形的六個元素？”的問題；通過回顧初中全等三角形的判定方法的得出過程，發(fā)現(xiàn)“不經證明而得出結論”的問題，進而提出“為什么兩個三角形的對應邊相等，兩個三角形就全等”的問題；借助幾何直觀，通過作圖發(fā)現(xiàn)“滿足條件的三角形不存在”的問題，進而提出“為什么滿足條件的三角形不存在”的問題[12].

除此之外，還應關注學生提出問題背后的情感因素，及時肯定與鼓勵學生對自己和對他人的數(shù)學思考的反思，感受能提出問題的成功感與成就感，讓學生“形成質疑問難、自我反思和勇于探索的科學精神”.

3.4培養(yǎng)學生分析問題與解決問題的能力

分析問題，即選擇恰當?shù)臄?shù)學語言（文字語言、符號語言、圖形語言）表征問題（已知條件和待求/證），并用數(shù)學的思維探求問題解決思路的思維活動.對數(shù)學問題的分析，通常有兩種方式.一是從問題的條件出發(fā)，“由……知……”或“因為……所以……又因為……所以……”的“由因導果”的“聚合”思維方式；二是從待求/證的結果出發(fā)，“欲求/證……因為……只需求/證……”的“由果索因”的“尋因”思維方式.分析問題就是要弄清楚問題的條件（包括隱含條件）是什么，需要求或證的（隱藏）結論是什么，找到條件和結論之間的邏輯聯(lián)系.

解決問題，即是用數(shù)學語言清晰、準確地表達推理和論證，呈現(xiàn)用數(shù)學思想方法完成從已知到待求或待證結論的完整過程.這一環(huán)節(jié)應主要由學生完成，老師要善于發(fā)現(xiàn)學生解決問題的“不尋常之處”（如好與不足之處），給予及時的鼓勵或指正，并呈現(xiàn)規(guī)范的問題解決過程.

4結束語

教學實踐表明：以“四能”為抓手是促進核心素養(yǎng)落地的有效途徑[13].聚焦“四能”培養(yǎng)的教學，應“圍繞真正的數(shù)學問題，開展有數(shù)學含金量的教學活動，促使學生在獨立思考的過程中形成數(shù)學的思維方式” [14]，這即是要求教師要形成以“四基”“四能”為載體發(fā)展學生核心素養(yǎng)的育人能力：①課前精心設計情境，充分預設學生可能提出的問題，確定引領學生數(shù)學思考的核心問題和幫助學生解決核心問題的輔助問題，弄清楚問題間的關系和破題之法，并預判學生解決問題的方法和可能的困難，做到心中有數(shù)；②課中營造學生敢于提出問題、交流和表達問題、分享分析問題和解決問題的思路和過程的“場”，讓學生經歷完整的“發(fā)現(xiàn)問題—提出問題—分析問題—解決問題”的“問題解決”（不僅僅指數(shù)學建模）的過程，積累“做數(shù)學”的經驗；③課后（結課）要引導學生回顧問題解決的過程，發(fā)現(xiàn)和提出新的問題，實現(xiàn)“學生提問、以問引學”.

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作者簡介李寶（1975—），男，四川達州人，教育碩士，講師；四川省師范生教學能力大賽優(yōu)秀指導教師（2018年至2023年，指導學生2次榮獲一等獎，3次獲得二等獎）;主要研究方向為數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展和數(shù)學教育；發(fā)表文章10余篇.

鮑建生（1960—），男，浙江蘭溪人，博士，教授，博士生導師；主要研究方向為課程與教學論（數(shù)學）；在中外期刊上發(fā)表代表性論文近40篇，出版《數(shù)學學習的心理基礎與過程》《數(shù)學教育研究導引（二）》等代表性著作8部，參與“國家數(shù)學課程標準”的研制與起草工作.