2024年高考數學新課標Ⅱ卷第19題賞析

【摘要】試題以二次曲線中的帕斯卡定理特殊情形為背景，打破固化試題命制模式，創新試題情境生成過程，將數列與解析幾何整合在一起，設置難易梯度合理的三個問題，能有效考查學生的思維過程與創新能力，為課堂教學如何關注學生的核心素養的形成指明了方向.

【關鍵詞】等比數列；雙曲線；帕斯卡定理；變式推廣

1試題分析

2024年高考數學新課標Ⅱ卷已落下帷幕，但整卷所展現的新的變化特征給人留下了深刻的印象.依據高考評價體系，持續深化考試內容改革，創新問題情境生成過程，調減題量為學生預留充足的思考時間，讓學生更專注、更深入地思考；考主干、考能力、考素養，重思維、重創新，突出考查考生的思維過程與創新能力，引導教學關注對學生核心素養的培養.針對這些命題啟示與教考導向，僅以試卷第19題為例進行解讀.

試題簡潔凝練，給人耳目一新之感，寥寥數語，便設置了全新的問題情境生成過程：過雙曲線上的點作斜率為定值的直線與雙曲線交于另一點，再利用雙曲線的對稱性幾何性質作交點關于坐標軸的對稱點，這樣的操作不斷進行下去，便得到關于橫坐標和縱坐標的兩個數列；然后又分層設問，層層推進，環環相扣，設計三個小問為不同水平層次的學生提供了充分展現才華的空間，也向學生傳遞出掌握“三基”的重要性.第一小問較為基礎，但考查的問題卻很典型，直線與雙曲線相交求交點問題，強調借助坐標和方程研究直線與圓錐曲線的位置關系的一般方法，為后續問題討論奠定堅實基礎；第二小問將雙曲線與雙遞推數列結合在一起，創新設計了等比數列的判定等設問方式，突出典型數列性質的研究，創新力度為近幾年新高，但解題方法卻很基礎，既可聯立直線與曲線的方程，又可以列出點的坐標所滿足的等量關系，然后再代點到方程并相減，進而得出結論；第三小問證明面積相等時，可以直接計算面積，也可以將問題轉化為證明兩條直線平行.試題充分體現了“多想少算”的設計理念，引導中學教學充分重視思維能力、探究能力和解決問題能力的培養.

今年新課標Ⅱ卷這道試題打破了固化的命題模式，有助于反對死記硬背和機械刷題等現象.同時，試題始終圍繞圓錐曲線與數列等知識模塊的教學要求進行設計，既適當保留了原有的命題特點，又進行了新的嘗試和突破，能夠反映當前數學教學的趨勢和重點，還為今后數學教學提供有益的啟示.

下面向同仁分享我們對試題的感悟，不當之處懇請指正.

2解法探究

3關聯背景

4變式推廣

5教學建議

（1）注重通性通法教學，突破數學運算障礙.

解析幾何作為新教材的主干知識，蘊涵豐富的數學思想方法，是考查學生直觀想象、邏輯推理、數學運算的重要素材，也是新高考數學壓軸題的重要載體，教師在教學過程中應引起高度重視.縱觀近幾年新高考數學試卷的解析幾何壓軸試題，減少了技巧性問題，強化了通性通法的考查，如本題運用的聯立方程、設點設線等方法.教師在教學過程中要引導學生思考不同方法的差異與本質，組織有效的交流討論，給學生充分展示思維過程的機會，探索解決數學運算卡點的思維途徑，逐步提高學生的數學運算素養，突破數學運算障礙.

（2）關注知識模塊之間聯系，培養創新思維綜合能力.

今年新課標這道試題的命制打破了固有的命題模式，創新性地將不同知識模塊整合在一起，既降低了機械刷題的效益，又給不同層次的考生提供了發揮能力的空間，更有利于學生創新能力的培養.教師在平時教學過程中要引導學生抓住知識內在的邏輯聯系，注重發掘代數運算下的幾何直觀，靈活運用數學思維和數學方法發現問題、分析問題和解決問題，提升學生創新思維綜合能力.

參考文獻

[1]唐宜鐘，楚豪. 帕斯卡定理背景下圓錐曲線問題的命制與解答［J］.中學數學雜志，2024（03）：58-61.

［2］羅碎海，羅家平，麻紅雷. 帕斯卡定理的初等證明與高考題［J］.中學數學研究，2023（07）：17-20.

作者簡介張鵠（1978—），男，中學高級教師，曾獲省市優質課一等獎，被市教科院聘為高三數學備考中心組成員參與調考命題；發表論文30余篇.

龔大暉（1970—），男，正高級教師，武漢市第二中學副校長，武漢市江岸區中學教研室主任；曾獲全國數學優質課特等獎，被人民教育出版社聘為高中課標教材教師用書編者；主持多項省、市教育課題.