基于核心素養培養　合理選擇教學內容

【摘要】針對課堂教學與核心素養培養表里不一、課堂教學輕內容重方式的現象，對課堂教學中如何合理選擇教學內容進行了研究，提出了以核心素養為導向，根據建立與真實世界關聯、新舊知識聯系、知識生成、知識多元表征、知識結構化、知識遷移應用的需要選擇教學內容的實施路徑，有助于一線教師準確把握學科核心素養與具體教學內容的關聯，提升學生數學學科核心素養.

【關鍵詞】核心素養；教學內容；直線與平面所成的角

當前，課堂教學與核心素養培養存在表里不一的現象，其原因之一是課堂教學內容與核心素養培養不匹配.教什么永遠比怎么教更重要.合理選擇教學內容，是核心素養教學的關鍵要求.教學內容是傳授給學生的知識、技能、技巧、思想、觀點、信念、言語、行為和習慣的綜合.從目前課堂教學現狀來看，存在著輕內容、重方式，輕本質、重形式的現象，教師對教學內容的關注度遠遠不夠.在學生精力有限、課時有限的情況下，教學內容的選擇應根據學科課程標準的要求，遵循可滿足性、可接受性、多樣性、可實踐性原則，以促進學生學科核心素養發展為導向，合理、合情、合規地選擇確定教學內容，讓教學內容為學生成長、成才助力.

1根據與真實世界關聯的需要確定教學內容

學生學習的過程是建立與真實世界關聯的過程.在數學研究對象的引入階段，比如函數、幾何與代數、統計、概率等都具有比較明確的現實背景或科學情境，需要培養學生的數學抽象、直觀想象等素養，教學內容以現實情境、科學情境為主，讓學生經歷“情境—問題化”的數學水平化過程；在數學研究對象的研究階段，要加強從數學內部提出問題的思考，讓學生經歷歸納、概括事物本質的過程，需要培養學生的邏輯推理、數學運算素養，教學內容以數學情境為主，讓學生經歷“問題—數學化”的數學垂直化過程；在數學對象的應用階段，要注重利用數學概念原理解決問題的過程設計，需要培養學生的數學建模、數據分析素養，教學內容以現實情境、數學情境為主，讓學生經歷“數學—模型化”的數學遷移應用過程.

“直線與平面所成的角”與現實生活密切相關.在引入階段，選擇合適的現實情境作為教學內容，突出數學抽象、直觀想象素養立意，不能只是將現實情境當成一個例子、一種現象.這里，關鍵環節是利用關聯的真實世界提出數學猜想，將“存在性”轉化為“研究性”，培養學生會用數學眼光觀察世界的能力.

真實情境1：珠海港珠澳大橋上橋梁、斜拉索、索塔所在直線構成的線面關系.研究問題是為保證橋梁的安全等問題，斜拉索所在直線的傾斜程度.

真實情境2：電影 《金剛川》中高射炮炮身與地面構成的線面關系.研究問題是為打擊侵略者，高射炮炮身的傾斜程度.

在這些真實情境中，教學內容主要包括：從直線與平面的位置關系看，對應的關系是什么？從數量關系看，有沒有“直線與平面所成角”這樣一個數學概念？這個角恒定嗎？是變量還是常量？如何定義“直線與平面所成的角”？從學科價值看，研究“直線與平面所成的角”有什么價值？這樣，結合真實情境，在數學猜想的學習過程中，數學核心素養會悄然地滲透到學生的學習活動中.

2根據新舊知識聯系的需要確定教學內容

學生學習的過程是建立新舊知識間聯系的過程.從事實性知識入手，設計與新知相關聯的數學事實、數學術語、數學符號等教學內容；從概念性知識入手，設計與新知相關聯的數學概念、數學原理、數學通則等教學內容；從程序性知識入手，設計與新知相關聯的數學技能、數學算法、數學技術、數學方法等教學內容；從元認知知識入手，設計與新知相關聯的數學策略、數學反思、自我認知等教學內容.教師要盡可能從多個角度建立新舊知識間的關聯，因為關聯的知識點越多，認知結構就越符合邏輯，學生越容易理解與應用.在聯系的過程中，特別要注重以“事實—概念—性質（關系）—結構（聯系）—應用”為明線，以“事實—方法—方法論—數學學科本質觀”為暗線，明線暗線相結合，形成知識的關聯結構和抽象拓展結構.

真實情境提供了與“直線與平面所成的角”相關聯的真實世界，教學內容要以情境為載體，體現與“直線與平面所成的角”相關聯的知識內容，將“研究性”轉化為“溯源性”，實現以舊知促新知.

（1）事實性知識：直線、平面、直線與平面相交、直線與平面垂直.

（2）概念性知識：直線與平面構成的線面關系、直線與平面所成的角.

圍繞概念性知識，在教學內容中要強調：根據我們的研究經驗，直線與平面所成的角，基本思路是轉化為直線與直線所成的角，遇到的問題是：到底選哪條直線才能滿足純粹性和完備性呢？[1]這里，要解決兩個問題：其一，斜線與哪條直線所成的角能刻畫斜線與平面所成的角呢？其二，要找到斜線與平面所成的角必須找斜線與射影所成的角嗎？找斜線與平面內的其他直線能行嗎？

（3）程序性知識：求解直線與平面所成的角、三角形的構造、角的度量方式.

（4）元認知知識：平面化的思想、降維的思想.

這樣，根據新舊知識間的聯系，強化線面角獲得的思維過程，使學生在直觀感知、操作確認的基礎之上，體驗線面角的形成過程，培養學生的直觀想象素養；厘清線面角的計算方法，培養學生的數學運算素養；從而進一步提升學生的空間想象能力、運算求解能力，使核心素養不斷內化于心.

3根據知識生成的需要確定教學內容

學生學習的過程是知識自然生成的過程.設置觀察發現的教學內容，讓學生直觀感知、引發思考、生成問題；設置動手實踐的教學內容，讓學生在動手操作中明確問題、尋找方法、體驗思想；設置數學猜想的教學內容，讓學生敢于猜想、提出假設、大膽創造；設置數學驗證的教學內容，讓學生邏輯分析、推理運算、小心驗證；設置類比歸納的教學內容，讓學生類比聯想、建構體系、形成思維；設置靈活變式的教學內容，讓學生在定中尋變、變中尋同、建構本質.在經歷數學化生成的過程中，讓知識活起來，生動起來，實現數學知識的再發展、再創造.

“直線與平面所成的角”形成的過程是知識生成的過程，是數學創造的過程.教學內容的選擇要體現知識生成的過程性，從概念的內涵與外延出發揭示知識的本質.

生成點1：將一副三角板立于桌面上，讓學生觀察斜邊與桌面所成的角，說出自己的度量方式.

生成點2：在學案上，讓學生利用直尺作出斜線與平面所成的角，說明作圖的理由.

生成點3：為刻畫斜線與平面所成的角，需要引入斜足、垂足以及斜線在平面上的射影等概念.

生成點4：在斜線上除斜足以外的點向平面引垂線，思考此點是否具有任意性，通過作圖發現垂足位置的規律，并用反證法證明.

生成點5：讓學生梳理、提煉出斜線與平面所成角的概念，指出概念中的核心要素.

生成點6：從三種不同的位置關系，總結直線與平面所成角的概念，體現完整性、系統性.

生成點7：發現斜線與平面所成的角是斜線與平面內的一切直線所成角中的最小角.

這樣，通過設置直觀感知、操作確認、思辨論證、抽象概括、概念拓展等教學內容，引導學生增強探究能力，提升創新意識，避免機械、低效的學習，有效地培養了學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養，使得核心素養的培養不再是一句空話，不再是兩張皮.

4根據知識多元表征的需要確定教學內容

學生學習的過程是知識多元表征的過程.與動作性表征匹配的教學內容要體現數學化可操作性學具的開發，選取具體實物或數學化替代物進行實際操作，設計具體的動作操作學程，增強學生動作活動體驗；與圖象表征匹配的教學內容要體現外顯可視的直觀圖象與內隱制作的心智圖象的生成，通過外化與內化的圖象表征促進學生內在的思維活動，增強學生直觀理解數學概念的能力；與符號表征匹配的教學內容要體現數學內容本質屬性的抽象化表達，以此實現對現實世界或問題情境的客觀描述、清晰解釋，增強學生抽象概括能力.三種表征的教學內容既相互聯系，又能自由轉換，在不同的學習階段依據學習目標選取學生經驗模型中的已有經驗進行表征聯結，促使教學內容更加“逼近”數學內容的本質[2].

“直線與平面所成的角”的表征方式是多元的，教師要深入挖掘其多元表征方式，通過其多元表征讓學生深刻把握其數學本質.

其一，動作表征.制作旗桿的影子隨著日照光線變化而變化的動畫視頻，讓學生在日常生活中找到其表現樣態.

其二，圖象表征.可以從外顯化表征和內隱化表征兩個方面設計其圖象表征方式.

在外顯化表征時，教學內容要重視對正確圖形、錯誤圖形以及非標準圖形的選擇，呈現出不同形態的圖形，讓學生找到線面角，給學生更多的學習性刺激，如圖1.

提出問題：連接圖形中的兩點A，H，∠PAH是斜線PA與平面α所成的角嗎？解決學生“囫圇吞棗”“淺嘗輒止”“照搬照套”的學習困境，使學生在線面角表征的過程中產生更加深刻的記憶與理解，固化、強化圖象模式.

在內隱化表征時，教學內容要重視三個點（平面外的點、垂足、斜足）、三條直線（垂線、斜線、射影）的選擇與甄別，使學生在線面角表征的過程中形成內隱化的心智圖象，使學生能夠脫離具體的實物與模型，借助想象展開豐富的思維活動.

其三，符號表征.將圖象表征用數學符號表示出來，突出數學語言的準確性、數學推理的邏輯性.在符號表征過程中，要突出射影的形成過程以及線面角的形成原理.

5根據知識結構化的需要確定教學內容

學生學習的過程是知識結構化、系統化的過程.教學內容的選擇要揭示知識構成要素之間的關系，挖掘知識的內在結構，體現數學知識的內涵、屬性及其特征，把握各要素之間的邏輯建構；教學內容的選擇要體現學習內容的整體性、系統性，將所學知識放在整個學習單元中進行分析和梳理，找到所學內容與單元其他知識的關系，通過彼此之間的相關性來架構整個單元的學習；教學內容的選擇要體現知識學習的完整過程，強調學科觀念的孕育、學科問題的產生、學科知識間的關聯、學科任務活動的設計、學科知識的運用，讓學生在完整的學習鏈條中進行知識的深度加工，提升核心素養.

“直線與平面所成的角”需要納入到“空間角”的結構體系中.在“空間角”結構體系中，通過分析異面直線所成的角與線面角的相同點與不同點，培養學生分析、比較、綜合等高階思維能力.

5.1相同點

（1）思想方法相同：降維、平面化.

（2）轉化結論相同：平面內兩條相交直線所成的角.

5.2不同點

（1）獲取途徑不同：一個是直接平移，一個是找射影.直線與平面所成的角需要借助第三條直線才能完成.

（2）所在的三角形不同：線線角在任意三角形中，線面角在直角三角形中.

（3）計算方法不同：運用平移方法以后，所得到的線線角往往是在一般三角形中，需要運用余弦定理求得；而線面角通過構造以后，是利用銳角三角函數值得到，體現了構造法的思想.

這樣，在結構化、系統化的過程中，才會更加深刻地抓住所學知識的本質，培養學生思維的批判性、深刻性.

6根據知識遷移應用的需要確定教學內容

學生學習的過程是知識遷移運用的過程.教學內容的選擇要根據遷移應用的需要設置現實情境、數學情境、科學情境等情境方式，呈現簡單問題、較為復雜的問題、復雜的問題等層次問題，以了解、理解、掌握、應用為評價要求，揭示其中蘊含的函數與方程、化歸與轉化、數形結合、分類與整合、特殊與一般等思想方法，培養學生直觀想象、推理論證、運算求解、抽象概括、數學建模等關鍵能力.在教學內容上既要體現利用已有的數學知識去觀察、提出、猜測、探求、解決數學學科或其他學科中尚未解決的問題，還要體現直接應用數學知識去解決實際問題，通過數學建模活動體驗實際問題與數學模型的內在遷移性，發展學生的創新意識和實踐能力.教師可以采用匈菲爾德的多重計分制方法，體現學生問題解決的思考過程、實施路徑，反映學生在相應的數學學科核心素養上的水平和特征.

“直線與平面所成的角”的遷移應用體現在利用線面角的基本原理解決數學情境或者現實情境中具體問題，通過數學問題的解決，培養學生空間想象、運算求解等關鍵能力.

數學情境：以正方體為載體，可以設置直線定、平面動或者平面定、直線定等數學問題.如：在正方體ABCD-ABCD中，

（1）求AB與平面ABCD所成的角；

（2）求BD與平面ABCD所成的角；

（3）設E是BB的中點，求AE與平面ABCD所成角的余弦值；

（4）設E是BB的中點，求DE與平面ABCD所成角的余弦值.

現實情境：意大利有一座著名的斜塔——比薩斜塔，它的美讓全世界的人民為之著迷.在我國蘇州也有一座這樣的斜塔——虎丘塔，它被譽為“東方比薩斜塔”.隨著時間的推移，這些塔傾斜的程度都在發生著變化.為了科學地維護斜塔，我們需要對斜塔的傾斜程度進行定量的測量[3].請你設計一個測量方案.

總之，合理選擇教學內容是核心素養培養之基礎.重視教學內容的選擇就是在為核心素養發展尋根.教師要精心選擇教學內容，將教學內容與學科核心素養有機地融為一體，突出數學關鍵能力的培養，弘揚中華優秀傳統文化，突出數學育人價值，助推高中育人方式改革.

參考文獻

[1]章建躍.在一般觀念引領下探索空間幾何圖形的性質（續）：“立體幾何初步”內容分析與教學思考[J].數學通報，2021（0JG5JxY4KvLO7/PCTb7x0E/0uoBgXinEUOCiqirSo0OU=3）；7.

[2]姚建法.形符表征數學概念的三種形式[J].教學與管理（小學版），2020（11）；34-36.

[3]呂兆勇.依托學生認知水平 培養學生核心素養：以“直線與平面所成的角”的教學為例[J].中小學數學（高中版），2020（09）；36-40.

作者簡介鄭金賓（1975—），男，山東泰安人，天津市第一百中學教科處主任，正高級教師；課例多次榮獲國家、省市級一等獎，研究方向以“促使學習發生”為切入點，致力于學生數學學科核心素養的提升；出版教學專著《“實”話高中數學教學》，發表30余篇論文，主持或者參與完成國家級、市級課題10余項.

趙維亮，（1983—），男，山東淄博人，中學一級教師；研究方向是高中數學教學.

張景玲，（1983—），女，內蒙古赤峰人，中學一級教師；研究方向是高中數學教學.